Zadania domowe - cześć 3
LICZBY ZESPOLONE, FUNKCJE HOLOMORFICZNE,
ODWZOROWANIA KONFOREMNE.
1. Wykonać dzialania na liczbach zespolonych, wynik przedstawić w postaci a + ib, gdzie a, b " R:
1+2i
a) (1 + i)(2 + i) + (1 - i)(2 - i), b) (1 + 2i)(3 - i)(5 - 5i), c)
3+i
2. Zapisać w postaci trygonometrycznej nastepujace liczby zespolone:
" " "
1-i
"
a) 3 + i, b) c) -2 + 2 3i d) - 3 + i.
1+ 3i
3. Wykazać tożsamość |z1+z2|2+|z1-z2|2 = 2 |z1|2 + |z2|2 i podać jej interpretacje geometryczna.
4. Korzystajac ze wzoru de Moivre a obliczyć:
"
" 2004
3 1
a) (-1 + 3i)30, b) (1 + i)2013, c) - + i .
2 2
" " " "
4
4
5. Obliczyć pierwiastki: a) -16, b) -8 - 6i, c) 3 - 4i, d) 8 3i - 8.
6. Rozwiazać w dziedzinie zespolonej równania:
a) z3 = 8i, b) z4 = 16, c) z6 + 64 = 0, d) (zz)2 - z2 + z2 - 1 = 0,
Ż Ż
e) zz + (z - z) = 3 + 2i, f) z6 - z4 + 4z2 - 4 = 0 g) iz2 + 3z + i = 0
Ż Ż
h) z2 + 2(1 + i)z + 2i = 0 i) |z| + z = 2 + i.
7. Zaznaczyć na plaszczyz
nie zespolonej zbiory:
"
a) {z " C : 1 < |z| < 4}, b) {z " C : |z - 1 - 2i| = 5}, c) {z " C : |z - 2i| e" 1},
d) {z " C : |z - 2| < 9 '" |z + 2| < 9}, e) {z " C : |z - 1| < |z + 1|}
f) {z " C : 1 < |3i + z| < 3} g) {z " C : |z - i| e" |z - 1| i arg(z2) " (Ą , Ą)}
Ż
2
8. Wyznaczyć cześć rzeczywista i cześć urojona funkcji f(z) = z3 + iz2.
Ż
9. Dana jest cześć rzeczywista u(x, y) i cześć urojona v(x, y) funkcji zespolonej f. Przedstawić te
funkcje jako funkcje zmiennej zespolonej z:
a) u(x, y) = x4 - 6x2y2 + y4 - x, v(x, y) = 4x3y - 4xy3 - y
x -y
b) u(x, y) = + x, v(x, y) = - y.
x2 + y2 x2 + y2
Rez
10. Czy funkcja dana wzorem f(z) = jest ciagla na C?
1+|z|
11. Niech f(z) = eiz. Wyznaczyć wszystkie z " C. dla których
a) f(z) jest rzeczywiste b) f(z) jest czysto urojone c) |f(z)| < 1.
12. Wyznaczyć cześć rzeczywista i cześć urojona funkcji : a) sinh z b) cosh z.
13. Czy dla dowolnego z " C prawdziwa jest równość: | cos2 z| + | sin2 z| = 1 ?
Jeśli nie, to dla jakich z jest falszywa?
14. Wykazać, że sin z = sin z oraz cos z = cos z.
Ż Ż
"
15. Obliczyć: a) wartości ln(1 + i) b) wartość glówna ln(1 + i 3) c) wartości 11+2i.
16. Sprawdzić w jakich punktach z " C nastepujace funkcje spelniaja warunki Cauchy-Riemanna:
a) f(z) = z2 b) f(z) = |z|2 + 2z.
17. Zbadać istnienie pochodnej funkcji f(z) = zRez oraz znalez
ć jej pochodna w punktach, w
których istnieje.
18. Zbadać, czy podane funkcje maja pochodna w punkcie z = 0:
a) f(z) = |z|2 b) f(z) = Rez + Imz.
19. Niech f(z) = |z| + 2z, z = x + iy.
"f "f
a) obliczyć pochodne oraz , b) obliczyć pochodna formalna "f ,
"x "y "z
Ż
c) sprawdzić, w jakich punktach plaszczyzny istnieje f (z).
20. Niech f(z) = |z|2(z + 1), z = x + iy.
"f "f
a) obliczyć pochodne oraz , b) obliczyć pochodna formalna "f ,
"x "y "z
Ż
c) sprawdzić, czy f jest holomorficzna w C.
21. Wykazać, że funkcja odwrotna do funkcji f(z) = sin z wyraża sie wzorem
arcsin z = -i ln(iz + 1 - z2).
Jakim wzorem wyraża sie pochodna tej funkcji?
22. Niech f " H(D(0, R)). Udowodnić, że jeśli f(z) " R dla dowolnego z " D(0, R) to f jest stala
w D(0, R).
23. Niech f " H(D(0, R)). Udowodnić, że jeśli Ref(z) jest funkcja stala w D(0, R) to f jest stala
w D(0, R).
24. Niech f " H(D(0, 1)) i niech g(z) = f(z). Wykazać, że g " H(D(0, 1)).
Ż
25. Znalez
ć funkcje holomorficzna f(z) = u(x, y) + iv(x, y) (a nastepnie zapisać ja w postaci
zespolonej) wiedzac, że:
x2-y2
a) u(x, y) = x3 + 6x2y - 3xy2 - 2y3, b) u(x, y) = .
(x2+y2)2
26. Wykazać, że jeśli v1, v2 sa funkcjami harmonicznymi sprzeżonymi z funkcja harmoniczna u w
obszarze D to v1 - v2 jest funkcja stala w tym obszarze.
27. Wyznaczyć funkcje harmoniczna sprzeżona z funkcja u(x, y) = x3-3xy2. Nastepnie wyznaczyć
funkcje holomorficzna f (jako funkcje zmiennej z), której cześcia rzeczywista jest u(x, y).
z-i
28. Znalez
ć obraz obszaru D = {z " C : |z| < 1} przy homografii f(z) = .
z+i
29. Znalez
ć odwzorowanie konforemne f(z), które przeksztalca obszar
D = {z " C : |z| > 1} na obszar D1 = {z " C : Imz > 0}.
30. Znalez
ć odwzorowanie konforemne, które przeksztalca pas
Ą
D = {z " C : 0 < Imz < } na pólkole D = {z " C : Imz > 0 '" |z| < 1}.
2
ODPOWIEDZI
1 1
1. a) 2, b) 50, c) + i
2 2
"
2
2. a) 2(cos(Ą ) + i sin(Ą )), b) (cos(17Ą ) + i sin(17Ą )),
6 6 2 12 12
c) 4(cos(2Ą ) + i sin(2Ą )), d) 2(cos(5Ą ) + i sin(5Ą )).
3 3 6 6
1006
4. a) 23, b) (-1 - i), c)" "
1.
"2 " " " " "
5. a) z0 = 2 + i 2, z1 = - 2 + i 2, z2 = - 2 - i 2, z3 = 2 - i 2,
b) -1 + 3i, 1 - 3i, c) -2 + i, 2 - i,
d) z1 = 2(cos(Ą ) + i sin(Ą )), z2 = 2(cos(2Ą ) + i sin(2Ą )), z3 = 2(cos(7Ą ) + i sin(7Ą )),
6 6 3 3 6 6
z4 = 2(cos(5Ą + i sin(5Ą ))
3 3
") "
6. a) z0 3 + i, z1 = - 3 + i, z2 = -2i, b) z0 = 2, z1 = 2i, z2 = -2, z4 = -2i,
"= " " "
c) z0 = 3 + i, z1 = 2i, z2 = - 3 + i, z3 = - 3 i, z4 = -2i, z5 = 3 - i,
"- "
d) z0 = i, z1 = -1, z2 = 1, z3 = -1, e) z1 = 2 + i, z2 = - 2 + i,
f) z1 ="1, z2 = -1, z3 = 1 + i, z4 = -1 + i, z5 = -1 - i, z6 = 1 - i.
-3ą 13 3
g) h) z = -i - 1 i) + i
2i 4
7. a) pierścień {(x, y) " R2 : 1 < x2 + y2 < 4},
b) okrag {(x, y) " R2 : (x - 1)2 + (y - 2)2 = 5},
c) zewnetrze kola wraz z okregiem {(x, y) " R2 : x2 + (y - 2)2 e" 1},
d) cześć wspólna dwóch kól {(x, y) " R2 : (x - 2)2 + y2 < 81 '" (x + 2)2 + y2 < 81},
e) pólplaszczyzna z brzegiem {(x, y) " R2 : x e" 0}
f) pierścień o środku w punkcie (0, -3),
g) {(x, y) " R2 : x < 0 i y < x}.
8. u(x, y) = x3 - 3xy2 + 2xy, v(x, y) = 3x2y + x2 - y3 - y2.
1
9. a) f(z) = z4 - z, b) f(z) = + z.
Ż
z
Ą
10. tak 11. a) z = kĄ + iy, gdzie k " Z, y " R, b) z = + kĄ + iy, gdzie k " Z, y " R,
2
c) Imz > 0.
12. sinh z = sinh x cos y + i cosh x sin y, cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y
13. falszywa gdy Imz = 0

1
15. a) ln 2 + (Ą + 2kĄ)i, k " Z b) ln 2 + iĄ , c) e-4Ąk, k " Z.
2 4 3
16. a) dla dowolnego z " C b) tylko dla z = 0.
17. pochodna istnieje tylko dla z = 0, f (0) = 0.
18. a) tak b) nie
"f "f
19. a) nie istnieje (0, 0) i (0, 0)),
"x "x
"f "f y
x
" "
dla pozostalych punktów: (x, y) = + 2, (x, y) = + 2i,
"x
x2+y2 "y x2+y2
"f
1
"x+iy , c) f (z) nie istnieje w żadnym punkcie z " C.
b) (x, y) =
"z 2
Ż
x2+y2
"f "f
20. a) (x, y) = 3x2 + y2 + 2x + i2xy, (x, y) = 2yx + 2y + i(x2 + 3y2),
"x "y
"f
b) (x, y) = x2 - y2 + x + i(2xy + y), c) f nie jest holomorficzna.
"z
Ż
1
"
21. (arcsin) (z) =
1-z2
22. Jeśli cześć urojona funkcji f jest tożsamościowo równa zero, to z warunków Cauchy-Riemanna
otrzymujemy, że ux = uy = vx = vy = 0.
24. Rozważyć limh0 g(z+h)-g(z).
h
25. a) v(x, y) = -2x3 + 3x2y + 6xy2 - y3 + c, f(z) = (1 - 2i)z3 + ic,
b) v(x, y) = -(x22xy + c, f(z) = z-2 + ic.
+y2)2
27. v(x, y) = 3x2y - y3 + C, f(z) = z3 + iC, gdzie C " R.
28. f(D) = {z " C : Rez < 0}
1
29. f = f2 ć% f1, gdzie f1(z) = (przeksztalca D na kolo jednostkowe), zaś f2(z) jest homografia
z
odwrotna do tej, która przeksztalca górna pólplaszczyzne na kolo jednostkowe (zadania z ćwiczeń).
z-1
30. f1(z) = ez przeksztalca pas D na D = {z " C : Rez > 0 '" Imz > 0}, homografia f2(z) =
z+1
przeksztalci D na D1, czyli f2 ć% f1 jest szukanym przeksztalceniem.