Całka nieoznaczona
Niech funkcja f(x) będzie określona w przedziale (a, b)
Def.: Funkcja F(x) różniczkowalna w (a, b) spełnia warunek

to finkcja pierwotna funkcji f(x) w (a, b). Przykład:
,

Def.: Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych do f(x) w (a, b) nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f(x) w (a, b). Piszemy:

Tw.: (Wniosek z tw. Lagrange'a) Dwie funkcje pierwotne funkcji f(x) w (a, b) różnią się o stałą:

to

Def.: Mówimy, że f(x) jest całkowalna w (a, b), jeżeli ma funkcję pierwotną w (a, b).
Tw.: Jeżeli funkcje f(x), g(x) są całkowalne w przedziale (a, b) to funkcje:
są również całkowalne w (a, b) i zachodzą związki:




Całkowanie przez części:








Tw.: Jeżeli funkcje
, to:


Całkowanie przez podstawianie:
Jażeli
i odwzorowuje przedział
na przedział [a,b], w którym funkcja f(x) jest całkowalna. Przykład:

Całkowanie funkcji wymiernych:
Def.: FunkcjÄ… wymiernÄ… zmiennej x nazywamy funkcjÄ™ w postaci
, gdzie
sÄ… wielomianami zmiennej x.
Tw.: Każdą funkcję wymierną można przedstawić w postaci sumy wielomianu f wymiernej właściwej.
wynika to z twierdzenia o dzieleniu wielomianu z resztÄ….
Tw.: Dla każdego z dwóch wielomianów W(x) i Q(x) (Q(x)≠0) istnieją wielomiany P(x) i R(x) takie, że:

UÅ‚amki proste
Def.: UÅ‚amki proste I rodzaju

Def.: UÅ‚amki proste II rodzaju

Tw.: Każdą f. nazywaną właściwą można rozbić na sumę ułamków prostych (jednoznacznie)
Całka oznaczona
Def.: Jeżeli dla każdego ciągu normalnego podziału {P_n} istnieje skończona granica ciągu sum całkowitych S_n - zawsze taka sama, niezależnie od wyboru ciągu normalnego {P} i wyboru punktów pośrednich ƞ_i - to granicę tą nazywamy całką oznaczoną funkcji f(x) w przedziale [a,b] i piszemy
. O funkcji f(x) mówimy, że jest całkowalna na [a,b] w sensie Riemmana.
Tw.: Jeżeli funkcje f(x), g(x) są całkowalne w [a,b], to funkcje f(x)±g(x), c*f(x) (c∊R) są całkowalne e [a,b] i zachodzą związki jak przy całkach nieoznaczonych.
Tw₁.: Funkcja ciÄ…gÅ‚a w [a,b] jest caÅ‚kowalna w przedziale [a,b].
Tw₂.: Funkcje monotoniczne w [a,b].
Tw₃.: Jeżeli funkcja f(x) jest caÅ‚kowalna w [a,b] to jest caÅ‚kowalna w przedziale ⟨α,β⟩⊂⟨a,b⟩
Tw.: Jeżeli funkcja F(x) jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f(x) ciągłej w [a,b], to
. Umowa:

Zastosowanie całki oznaczonej:
1) Obliczanie pól figur płaskich:
Tw.: Jeżeli funkcja f₁(x), f₂(x) sÄ… ciÄ…gÅ‚e w [a,b] i
to pole obszaru ØÜ: ØÜ≤ØÜ≤1ØÜ≤ØÜ≤ØÜØÜwyraża siÄ™ wzorem: ØÜ=ØÜØÜØÜ2ØÜ−ØÜ1ØÜØÜØÜ
2) Obliczanie Å‚uku krzywej
Tw.: Jeżeli
, to długość łuku krzywej w tym przedziale wyraża się wzorem:

3) Objętość i pole powierzchni obrotowej
Niech
, C⁰- f. ciÄ…gÅ‚a, y=f(x)
Obracamy f(x) dookoła osi OX otrzymujemy bryłę obrotową.



Całki niewłaściwe
Przy konstrukcji całki oznaczonej zakładaliśmy że: f(x) jest ograniczona w przedziale skończonym [a,b].
Jeżeli warunki te nie są spełnione mamy do czynienia z całkami niewłaściwymi.
1) Jeżeli f(x) jest ograniczona i całkowalna w przedziale [a, T] to:

2) Przedział całkowania skończony, funkcja podcałkowa nieskończona, f(x) jest ograniczona w każdym [a,b], a≤T<b-i nieograniczona w każdym przedziale [T,b]
Liczby zespolone
Liczba zespolona to liczba postaci

a - część rzeczywista liczby Z: Re(Z) b - część urojona liczby Z: Im(Z) i - jednostka urojona
Działania w zbiorze liczb zespolonych
Niech

Def.:

Def.:

Def.:

Sprzężenie
Def.:



Własności:
1)
2)
3)
4)

Moduł liczby zespolonej
Def.:

Własności:
1)
2)
3)
- tzw. Nierówność trójkątna
Postać trygonometryczna liczby zespolonej


Twierdzenie Eulera:


Postać wykładnicza


Mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie liczb zespolonych w postaci wykładniczej i trygonometrycznej



Mnożnie:




Dzielenie:




Potęgowanie:




Pierwiastkowanie liczb zespolonych


Istnieje dokładnie n różnych pierwiastków stopnia n-tego z liczby Z. Wyrażają się wzorem:






Wszystkie te pierwiastki leżą na okręgu o promieniu
i tworzą n-kąt foremny (o środku w początku układu współrzędnych).
Macierze
Def.: Iloczyn kartezjański zbiorów:


(a,b) - para uporzÄ…dkowana (porzÄ…dek odgrywa rolÄ™)
(1,2)≠(2,1)
Def.: MacierzÄ… o m wierszach i n kolumnach i elementach rzeczywistych (zespolonych) nazywamy dowolnÄ… funkcjÄ™:

ta funkcja każdej parze liczb
przypisuje liczbę rzeczywistą (zespoloną), którą oznaczamy
.
Funkcję tą w sposób jawny zapisujemy w postaci tablicy o m-wierszach i n-kolumnach.





Własności (dodawanie):
1)
przemienność dodawania
2)
dodawanie macierzy jest Å‚Ä…czne
3)
macierz zerowa
4)
macierz przeciwna
Mnożenie macierzy przez liczbę (skalar)
Niech

Własności (mnożenie przez skalar):


1)

2)

3)

4)

Mnożenie macierzy






Umowa:




Iloczyn skalarny wektorów w postaci



Uwaga:
Element
w iloczynie macierzy
jest równy iloczynowi skalarnemu
-tego wiersza macierzy
i
-tej kolumny macierzy
.
Własności (mnożenie):


1)
mnożenie jest łączne
2)
rozdzielność mnożenia względem dodawania
3)
mnożenie nie jest przemienne
4)

5)

Def.: Macierz transponowana


, gdzie:


6)

Wyznaczniki
Def.: Wyznacznikiem nazywamy funkcjÄ™:

określoną indukcyjnie:
1)

2)
gdzie:





, tzn. wyznacznik który powstał z naszego wyznacznika przez wykreślenie
-tego wiersza i
-tej kolumny.
Własności wyznaczników:
Umowa: linia wyznacznika - wiersz bądź kolumna dwie linie równoległe to dwa wiersze bądź dwie kolumny
1)

2) Jeżeli jedna linia wyznacznika składa się z samych zer to

3) Jeżeli zamienimy miejscami dwie ||/ to wyznacznik zmieni znak na przeciwny.
4) Jeżeli dwie ||/ wyznacznika są identyczne to

5) Jeżeli w wyznaczniku dwie ||/ są proporcjonalne to

6)Jeżeli jedna linia wyznacznika jest pomnożona przez skalar
, to skalar ten można wyłączyć przed znak wyznacznika.
Umowa: Niech

- wektory
Wyrażenie
nazywamy kombinacją liniową wektorów

Umowa: linie wyznacznika można potraktować jak wektory z odpowiedniej postaci

7) Jeżeli jedna / wyznacznika jest kombinacją liniową innych /||, to

8) Jeżeli do jednej / wyznacznika dodamy kombinację liniową innych /||, to wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie.
9) Twierdzenie Laplace'a



- dopełnienie algebraiczne elementu




- minor dopełniający
Uwaga (metoda obliczania wyznaczników):
korzystając z własności 1-8 doprowadzamy wybraną linię do stanu, w którym zawiera ona dużą ilość zer (patrz np. własność 8) i stosujemy twierdzenie Laplace'a do tej linii.
Macierz odwrotna
Def.: Macierz
nazywamy nieosobliwą jeżeli

Tw.: Jeżeli macierz A jest nieosobliwa to istnieje macierz odwrotna do niej



Procedura wyznaczania macierzy odwrotnej
1)

2) wyznaczamy macierz transponowanÄ…

3) wyznaczamy
- macierz dopełnień algebraicznych macierzy transponowanych: każdy element macierzy
zastępujemy jego dopełnieniem algebraicznym

4) Macierz odwrotna

Rozwiązywanie układów równań


układ
-równań liniowych o
-niewiadomych.
Macierz współczynników układu (x):


Kolumna niewiadomych:


Kolumna wyrazów wolnych:



Postać macierzowa układu


Przykład:








Rozwiązaniem układu, nazywamy każdy układ
-liczb:
o tej własności, że po podstawieniu tych liczb do układu odpowiednio:
uzyskujemy układ tożsamości.
Układy równań Crammera
Układ


gdzie:

- nazywamy układem Crammera.
Tw.: układ Crammera
ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorami:

, gdzie:
1)

2)
- wyznacznik powstały z wyznacznika
przez zastÄ…pienie
-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.
RzÄ…d macierzy
Def.: Rzędem macierzy nazywamy największy ze stopni jej podwyznaczników (minorów) różnych od 0.
Procedura wyznaczania rzędu macierzy:
Poruszamy się od wyznaczników stopnia mniejszego do wyznaczników stopnia wyższego: jeżeli znaleźliśmy wyznacznik różny od zera, stopnia
, zaÅ› wszystkie zawierajÄ…ce go wyznaczniki stopnia
są równe 0, to rząd macierzy równa się


Układy równań liniowych - sytuacja ogólna
Mamy układ:

układ
-równań o
-niewiadomych

macierz układu

macierz poszerzona (uzupełniona)
Twierdzenie (Kroneckera-Capellego):
Układ równań ma rozwiązanie
, nadto, jeżeli:
to:
1)
- układ ma dokładnie 1 rozwiązanie
2)
- układ ma nieskończenie wiele rozwiązań

-układ sprzeczny

- układ ma rozwiązanie, należy je znaleźć
Procedura wyznaczania rozwiązań niesprzecznego układu równań
Jeżeli
oznacza to, że w macierzy A istnieje niezerowy wyznacznik stopnia k. Równania, których współczynniki nie tworzą tego wyznacznika opuszczamy (są one liniowo zależne od pozostawionych). Niewiadome, których współczynniki nie tworzą naszego współczynnika stopnia
przenosimy na drugą stronę układu równań i traktujemy jako tzw. Zmienne swobodne (można im nadać dowolną wartość rzeczywistą). Uzyskaliśmy układ
-równań z
-niewiadomymi i wyznacznikiem różnym od zera. Jest to układ Crammera. Rozwiązujemy go.
Elementy rachunku wektorowego
Def.: Wektorem nazywamy uporządkowaną parę punktów przestrzeni:
-
poczÄ…tek wektora,
koniec wektora

Def.: Długość wektora
to długość odcinka
. Wektor
którego początek pokrywa się z końca to tzw. wektor zerowy:

Def.: (równość wektorów) dwa wektory
są równe tylko i tylko wtedy gdy:
1)
długość
2)
kierunek
3)
majÄ… ten sam zwrot
Wektor swobodny - zbiór wszystkich wektorów równych wektorowi


- zbiór wszystkich wektorów przestrzeni (na płaszczyźnie)
Dodawanie wektorów

to wektor uzyskany w następujący sposób: z końca wektora
odkładamy wektor
. Wektor którego początek jest początkiem wektora
, zaś koniec końcem wektora
to wektor
.
Własności:
1)
przemienność
2)
łączność
3)
istnienie wektora zerowego
4)
istnienie wektora zerowego

to tzw. grupa przeciwna
Mnożenie wektora przez skalar

- skalar

- wektor
Def.:

1)

2)
kierunek
3)
, to wektory
i
majÄ… ten sam zwrot,
, to wektory majÄ… przeciwne zwroty
Własności:

,

1)

2)

3)

4)

Iloczyn skalarny wektorów



Def.:

Własności:
1)

2)

3)
=

4)

5)

6)

7)

Def. kartezjański ukł. współrzędnych - to układ trzech wzajemnie prostopadłych osi o wspólnym początku i tej samej jednostce długości.


wersory
Własności:















1)

2)

3)

4) |

5)
warunek prostopadłości wektorów
6)
warunek równoległości wektorów
7)






Iloczyn wektorowy
Def.:
to wektor:
1)
długość
2)
kierunek
3)
jest zgodnie skrętna z przyjętą orientacją układu współrzędnych, tzn. jest zgodnie skrętna z trójką wersorów.
Jeżeli

Własności
1)

2)

3)

4)




symboliczny zapis


5)


Iloczyn mieszany wektorów
Def.:

Własności:






1)
patrz własności wyznaczników
2)

3) wektory
są współ płaszczyznowe

PÅ‚aszczyzna w przestrzeni
1. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt
i ⊥








Równanie ogólne płaszczyzny:

Odległość punktu od płaszczyzny:

Mamy dwie płaszczyzny:







Kiedy
?



?



?


Prosta w przestrzeni



równanie kanoniczne prostej
Równanie parametryczne prostej




Równanie płaszczyznowe (krawędziowe) prostej



Mamy dwie proste:








warunek prostopadłości prostych



Odległość punktu od prostej


prosta:

---