Wykład 13

Zasada d^'Alemberta

Równanie ruchu Newtona punktu materialnego i (rys.31)

m_j S_ji S_ij
m_i

P_i

Rys.31

stąd
(a)

jeśli oznaczymy
to (a) ma postać

(36)

B_i siła bezwładności d^'Alemberta

Z przedstawionej zasady d^'Alemberta wynika, że suma sił zewnętrznych i wewnętrznych oraz sił bezwładności danego układu punktów materialnych, jak również suma momentów tych sił względem punktu stałego lub środka masy C równają się zeru. Wynikają stąd następujące dwa równania wektorowe

(37a)

(37b)

ponieważ
i
i uwzględniając ,że równania (37) są równaniami wektorowymi można je zapisać pod postacią równań skalarnych

Przykład 16

Wyznaczyć największe przyśpieszenie a, które może osiągnąć samochód przy starcie, jeżeli napędzane są koła

tylne lub przednie. Na rys.32 dana jest geometria samochodu. Współczynnik tarcia μ.

Rozwiązanie y F_t = μN_t ; F_p = μN_p

+a

C -ma

mg

ω c ω

F_p F_t x

A N_p b B N_t

l Rys.32

Napęd na tylne koła F_p = 0, F_t = μN_t

Ponieważ samochód porusza się ruchem postępowym równania momentów sił można zapisać jak niżej

stąd dla tylnego napędu:
; dla przedniego napędu

Jeśli l = 3 m, m = 1000 kg, b = 1 m, c = 0.8 m, μ = 0.9

Momenty bezwładności i dewiacji

Moment bezwładności I₀ względem punktu 0

dm

A
(a)

0 r Rys.34

Moment bezwładności względem osi l

l h dm

90⁰

Rys.35
(b)

Moment bezwładności względem płaszczyzny

dm

h
(c)

90⁰

π Rys.36

z

dm A

r

z y

y x

x Rys.37

Oznaczmy:
;
;

Momenty bezwładności względem osi mają postać

(38)

(39)

Moment bezwładności względem punktu

Po dodaniu stronami (38) otrzymamy

(40)

Momenty dewiacji lub momenty zboczenia

;
;

(40)

Przykład 17

Wyznaczyć momenty bezwładności względem osi 0y i osi

centralnej Cy_C, jednorodnego pręta o masie m = 12 kg

i długości l = 2 m (rys.38).

y y_C x₁ dx₁

C x

x₁

x dx l/2

l Rys.38

Rozwiązanie

(d)

Z po podstawieniu (d) do wzoru (b) mamy

Twierdzenie Steinera

Momenty bezwładności względem osi równoległych

z'

z

dm

z'

C y'

y' x'

z = z_C + z'

x' z_C z_C

0 y

y_C d x_C x

y = y_C + y' Rys.40

x

;
;
(b)

Moment bezwładności względem płaszczyzny 0yz

z (26) wynika, że

stąd:

(41)

Moment bezwładności względem osi z

twierdzenie Steinera

(42)

Twierdzenie Steinera odnosi się również do

momentów dewiacji

Z (26) wynika, że
=0 =0 stąd

(43)

Przykład 18

Wyznaczyć moment bezwładności cienkiej jednorodnej płytki, w kształcie trójkąta (rys.41), względem osi Cx^' równoległej do podstawy i przechodzącej przez środek masy C. Dane: b (wysokość trójkątas) i m (masa trójkąta).

Rozwiązanie:

y

dm

b dy y_c=b/3

u

y_c x' y

x dx x Rys.41

a

;
;
;

(42) mamy

35dyn

36dyn

38dyn

37dyn

39dyn

40dyn

41dyn

C

---