Liczby zespolone - teoria

Historia liczb zespolonych

Wiek XVI, który dał początek współczesnemu rozwojowi nauki, zaznaczył się silnym rozwojem algebry. Między innymi zostały w tym czasie podane wzory wyrażające pierwiastki równań stopni 3 i 4 przez współczynniki tych równań za pomocą pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia.

Wówczas pojawiło się zjawisko paradoksalne: Rozwiązać można tymi wzorami równanie stopnia trzeciego, które ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste, tylko wtedy, gdy umie się obliczyć
. Oczywiście w zakresie liczb do tego okresu znanych pierwiastek kwadratowy z -1 nie istniał. Nie kłopocząc się tym zbytnio, niektórzy z matematyków założyli jego istnienie i nazwali go liczbą urojoną, a poprzednio znane liczby nazwali rzeczywistymi.

Wprowadzenie tych liczb w wieku XVI nie miało żadnego uzasadnienia logicznego, ani oparcia o bezpośrednią intuicję kierowaną przez zjawiska przyrodnicze. Wskutek tego powstały kontrowersje między matematykami, z których jedni używali tych liczb bez skrępowania, inni zaś zaprzeczali ich istnieniu.

Zwolennicy istnienia tych liczb działali nimi tak jak liczbami rzeczywistymi, dodając, odejmując, mnożąc i dzieląc. Oznaczali
przez i przyjmując , że
.

Swobodnie dodając i mnożąc liczby rzeczywiste i "urojone" tworzyli nowe "liczby" a+bi, które dziś nazywamy liczbami zespolonymi.

Arytmetyka tych liczb nie doprowadziła do sprzeczności. W 1748 roku Euler wprowadził je do analizy w swym fundamentalnym dziele "Introductio in analysin infinitorum", nie tylko nie dochodząc do sprzeczności, lecz powodując tym istotny postęp analizy.

Wkrótce stało się jasne, że liczby zespolone - mimo że brak im uzasadnienia logicznego - są jednym z najważniejszych narzędzi matematycznych dla badań zjawisk przyrodniczych, wskutek czego używanie ich jest w tej samej mierze słuszne, co używanie liczb rzeczywistych.

Początek wieku XIX zdarł wszelką mistykę z tych liczb, gdyż przyniósł ściśle ich uzasadnienie. Pierwsze z nich - Gaussa - wykazało, że liczby zespolone są to właściwie punkty płaszczyzny euklidesowej, w której wprowadzono pewne działania zwane dodawaniem i mnożeniem punktów czyli liczb zespolonych. Drugie uzasadnienie - Hamiltona - wprowadza liczby zespolone jako pary liczb rzeczywistych, z tym że określa się specjalny sposób mnożenia i dodawania par.

Z całej mistyki pozostała używana jeszcze do dziś nazwa liczby urojone, lecz w istocie rzeczy, są one równie rzeczywiste jak liczby rzeczywiste.

Obecnie liczby zespolone są codziennym narzędziem nie tylko matematyka czy fizyka zajmującego się działami teoretycznymi, lecz również inżyniera, któremu oddają ogromne korzyści w elektrotechnice, aerodynamice itd..

Liczby zespolone i ich interpretacja geometryczna

Liczbą zespoloną nazywamy parę uporządkowaną liczb rzeczywistych (a,b). Często taka parę zapisuje się w postaci sumy

, gdzie
.

Tą postać liczby zespolonej nazywamy postacią kanoniczną. Liczbę (rzeczywistą) a nazywamy częścią rzeczywistą, zaś liczbę b częścią urojoną liczby zespolonej z. Część rzeczywista oznaczamy Re z, a część urojoną symbolem Im z, mamy więc:

Re z = a
Im z = b.

Liczby zespolone postaci a + 0i zapisujemy jako a i utożsamiamy z liczbami rzeczywistymi. Liczba zespolona jest równa zero, wtedy i tylko wtedy, gdy Re z = 0 i Im z = 0. Zauważmy również, że kolejność liter w zapisie
nie gra roli:

a + bi = a + ib = bi + a = ib + a.

Liczby zespolone interpretujemy geometrycznie jako punkty płaszczyzny. Liczbie zespolonej a + bi odpowiada punkt o współrzędnych (a,b) płaszczyzny zaopatrzonej w prostokątny układ współrzędnych. Punktom osi OX odpowiadają liczby rzeczywiste. Płaszczyznę, na której umieściliśmy liczby zespolone, nazywamy płaszczyzną Gaussa.

Liczbą przeciwną do
nazywamy

.

Natomiast liczbę

nazywamy liczbą sprzężoną do z lub sprzężeniem liczby z. Zauważmy, że podwójne sprzężenie liczby z jest równe dokładnie liczbie z.

Natomiast modułem liczby zespolonej
nazywamy liczbę

Istniej pewien związek między modułem liczby z a jej sprzężeniem
:

Działania na liczbach zespolonych

Niech teraz
,
. Liczby zespolone są równe, gdy mają jednakowe zarówno części rzeczywiste i części urojone:

Dodajemy, odejmujemy i mnożymy liczby zespolone tak, jak wyrażenia algebraiczne pamiętając, że
. Tak więc:

Trochę trudniej jest z dzieleniem, a dokładniej do doprowadzenia ilorazu do postaci Re z + Im z i. Zastosujemy tu wzór:

Obliczmy teraz iloraz
oczywiście zakładając, że
:

Działania arytmetyczne na liczbach zespolonych są rozszerzeniem działań na liczbach rzeczywistych, tzn. w przypadku liczb rzeczywistych jest obojętne czy np. mnożymy je jako liczby rzeczywiste czy zespolone z częścią urojoną równą zero. (Powyższe wzory można przyjąć za definicję działań.) Wynika z nich, że działania dodawania i mnożenia liczb zespolonych są łączne i przemienne oraz mnożenie jest rozdzielne względem dodawania. Zachowane są również znane własności odejmowania i dzielenia. Powyższe stwierdzenia powodują, że dla liczb zespolonych prawdziwe są wzory skróconego mnożenia, wzór dwumianowy Newtona, twierdzenie Bezout itd.. Nie określamy natomiast nierówności liczb zespolonych innych niż rzeczywiste. Więc mówiąc, że liczba jest dodatnia nie musimy dodawać, że jest ona rzeczywista.

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Liczbę zespoloną możemy przedstawić w postaci trygonometrycznej:

, gdzie

Liczbę
nazywamy modułem
, a kąt skierowany
(dokładniej jego miarę) argumentem liczby
i oznaczamy arg z. Wartość argumentu liczby z czyli
określamy na podstawie wartości funkcji cosinus i sinus dla
, które są dane wzorami:

i
.

Ta postać liczby zespolonej także ma interpretację geometryczną:

Wygodniej jest nie ograniczać zakresu zmienności argumentu
, ale tracimy przez to jednoznaczność. Liczbie zespolonej różnej od zera odpowiada nieskończenie wiele argumentów. Jeżeli
jest argumentem liczby
, to każdy inny argument tej liczby wyraża się wzorem

, gdzie k jest liczbą całkowitą.

Dwie liczby zespolone są sobie równe, wtedy i tylko, gdy mają równe moduły i argumenty różniące się o całkowitą wielokrotność liczby
. Jeżeli
to nazywamy argumentem głównym i oznaczamy Arg 
.(Niektóre podręczniki nieco inaczej definiują argument główny: Argumentem głównym nazywają
, gdy
.)

Trygonometryczna postać liczby zespolonej bardzo ułatwia mnożenie i dzielenie, natomiast niezbyt nadaje się do dodawania i odejmowania.
Jeżeli
i
, to

, gdzie
.

Potęga i pierwiastek z liczby zespolonej

Postać trygonometryczna liczby zespolonej jest również wykorzystywana do liczenia potęg i pierwiastków liczb zespolonych. Gdy weźmiemy wzór na mnożenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej dla
i rozszerzymy na dowolną ilość liczb zespolonych, to otrzymamy wzór na n-tą potęgę liczby zespolonej zwany wzorem Moivre'a:

.

Natomiast pierwiastki z liczby zespolonej są dane wzorem:

, gdzie
.

Zauważmy, że liczba różnych pierwiastków liczby
jest równa dokładnie stopniowi pierwiastka, który liczymy. Są to pierwiastki dla
. Możemy liczyć wartości pierwiastków dla innych całkowitych k, ale otrzymamy wtedy wartości, które już wyliczyliśmy dla
.

Jeżeli się przyglądniemy wartościom pierwiastków liczby zespolonej, to zauważymy, że ich moduły są takie same i argumenty różnią się o wielokrotność
. Z tej obserwacji wnioskujemy, że pierwiastki leżą na jednym okręgu o środku w punkcie 0 i promieniu równym modułowi pierwiastka oraz że pierwiastki dzielą okręg na n równych części. Jest to bardzo użyteczny wniosek przy zaznaczaniu pierwiastków na płaszczyźnie Gaussa, ponieważ wystarczy narysować okręg o promieniu
, policzyć i zaznaczyć jeden pierwiastek danej liczby oraz podzielić okrąg na n równych części tak, aby policzony pierwiastek był jednym z punktów podziału. W ten sposób otrzymujemy wszystkie pierwiastki liczby
.

Pierwiastki szóstego stopnia z 1 - x₀ ... x₅.

Rozwiązywanie równań w zbiorze liczb zespolonych

Zasadnicze twierdzenie algebry
W zbiorze liczb zespolonych każdy wielomian stopnia n posiada dokładnie n pierwiastków (licząc z krotnościami pierwiastków) i rozkłada się na iloczyn wielomianów stopnia pierwszego.

W zbiorze liczb rzeczywistych mogliśmy rozłożyć wielomian na czynniki stopnia pierwszego i na nierozkładalne czynniki stopnia drugiego. Stąd też wynika, że w zbiorze liczb rzeczywistych wiemy tylko, że pierwiastków jest conajwyżej n. Wnioskiem z zasadniczego twierdzenia algebry jest fakt, że w zbiorze liczb zespolonych nie ma nierozkładalnych wielomianów stopnia drugiego. I rzeczywiście: gdy wyróżnik jest większy lub równy 0, to nic się nie zmienia, natomiast gdy wyróżnik jest mniejszy od zera, to istnieją dwa różne pierwiastki.

Postępujemy w następujący sposób: Liczymy wyróżnik i jeżeli jest on mniejszy od zera, to liczymy pierwiastki z wyróżnika - wystarczy wybrać jeden z nich - i podstawiamy do wzoru na pierwiastki wielomianu.

Uwaga. W przypadku niektórych równań w których występuje moduł liczby z, warto liczbę z przedstawić w postaci
i rozwiązać równanie jako równanie z dwoma niewiadomymi.

Liczby zespolone - zadania 1

1) Zaznaczyć w układzie współrzędnych następujące punkty:
a\

b\ spełniające zależność
.

Wskazówka 1:Gdy z = a + bi, to sprzężenie liczby z jest dane wzorem

,
natomiast liczba przeciwna do z

.

Wskazówka 2: Interpretacją geometryczna modułu liczby zespolonej z jest odległość liczby z od zera.

Rozwiazanie:

a\
b\

2) Dane są następujące liczby zespolone:


Wykonaj działania:

W 1: Najpierw sprowadź liczbę do najprostszej postaci (wsk. szczególnie przydatna w przypadku liczby d).

W 2: Przy dzieleniu pomnóż licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika, aby pozbyć się liczby i z mianownika (metoda podobna jak przy pozbywaniu się niewymierności z mianownika).

Rozwiązanie:

3) Policzyć moduły liczb zespolonych:

W 1: Moduł liczby zespolonej to odległość jej od punktu 0 na płaszczyźnie Gaussa - odległość na płaszczyźnie można policzyć na podstawie twierdzenia Pitagorasa.

Rozwiązanie:

4) Znaleźć w układzie współrzędnych zbiory opisane następującymi nierównościami:

W 1: Moduł liczby zespolonej jest równy odległości liczby od zera.

W 2: W drugim przykładzie wskazówką niech będzie pytanie: w zbiorze liczb rzeczywistych odległość x od czego opisuje zależność | x - a |.

W 3: W trzecim przykładzie występują dwa warunki połączone koniunkcją czyli rozwiązanie musi spełniać oba warunki. Stąd rozwiązaniem będzie część wspólna rozwiązań poszczególnych warunków.

Rozwiązanie:

nierówność 1.


Rozwiązaniem jest zbiór zaznaczony na szaro bez brzegu.

nierówność 2.


Rozwiązaniem jest zbiór zaznaczony na szaro bez brzegu.

nierówność 3.


Rozwiązaniem jest zbiór zaznaczony na szaro z brzegiem.

5) Udowodnić, że następujące związki są prawdziwe:

W 1: Rozpisz liczby zespolone ze wzoru z = a + bi i przekształć wzór zaczynając od jednej strony doprowadzając go do drugiej strony.

Rozwiązanie:

1\

2\

3\

Liczby zespolone - zadania 2

1) Przedstawić następujące liczby zespolone w postaci trygonometrycznej:

W 1: Najpierw policz moduł danej liczby.

W 2: Określając wartość argumentu na podstawie wartości funkcji sinus i cosinus najpierw zastanów się do której ćwiartki należy dana liczba zespolona - jest to równoważne faktowi do jakiego zakresu należy argument.

Rozwiązanie:

2) Stosując postać trygonometryczną wykonać działania:

W 1: Po sprowadzeniu liczb do postaci trygonometrycznej sięgnij do odpowiednich wzorów:



,

Rozwiązanie:

3) Podnieść do danej potęgi liczby zespolone:

W1: Zastosuj wzór Moivre'a:

.

Rozwiązanie:

4) Policzyć następujące pierwiastki liczb zespolonych:

W1: Przed zastosowaniem wzoru na pierwiastki zespolone, sprowadz liczbę pierwiastkowaną do najprostszej postaci.

W 2: Pamiętaj: liczba pierwiastków zespolonych jest równa stopniowi pierwiastka.

Rozwiązanie:

5) Obliczyć i zaznaczyć w układzie współrzędnych pierwiastki liczb zespolonych:

W 1: Pierwiastki leżą na okręgu o promieniu |z| i dzielą go na tyle równych części ile wynosi stopień pierwiastka.

W 2: Aby zaznaczyć pierwiastki na płaszczyźnie Gaussa wystarczy zaznaczyć jeden pierwiastek i kierować się wskazówką 1.

Rozwiązanie:

Liczby zespolone - zadania 3

1) Rozwiąż równanie w zbiorze liczb zespolonych:

.

W 1: Przyjmij
, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi.

W 2: Rozpatrz oddzielnie równość między składnikami w których występuje i oraz między składnikami bez i.

Rozwiązanie:

2) Rozwiąż w zbiorze liczb zespolonych równania:

W 1: Gdy otrzymasz wyróżnik mniejszy od zera, postępuj analogicznie jak w zbiorze liczb rzeczywistych: policz pierwiastek z wyróżnika (w tym przypadku zespolony - wystarczy tylko jeden) i podstaw do wzorów na x₁ i x₂.

Rozwiązanie:

liczę pierwiastki czwartego stopnia z liczby i, a ponieważ otrzymam cztery różne pierwiastki oraz to równanie jest czwartego stopnia, to na podstawie zasadniczego tw. algebry są to wszystkie rozwiązania tego równania

3) W równaniu kwadratowym, gdy wyróżnik jest mniejszy od zera, otrzymujemy dwa różne zespolone pierwiastki kwadratowe z wyróżnika. W takiej sytuacji po podstawieniu do wzoru na x₁ dwóch różnych pierwiastków z wyróżnika i analogicznie do wzoru na x₂, dostaniemy cztery pierwiastki. A równocześnie wiemy, że równanie kwadratowe ma dokładnie dwa rozwiązania w zbiorze liczb zespolonych. Jak to można wytłumaczyć?

W 1: Licząc rozwiązania równania kwadratowego, zwróć uwagę na postać pierwiastków kwadratowych z wyróżnika.

Rozwiązanie:

1

---