Temat 2a:

„Wybrane pojęcia matematyki finansowej.”

Istotną przesłanką racjonalizacji procesu decyzyjnego w przedsiębiorstwie jest czas.

Proces inwestycyjny ściśle wiąże się z bieżącym angażowaniem kapitału:

• im wcześniej zwróci się zainwestowany kapitał, tym szybciej będzie go można wykorzystać do finansowania innych inwestycji (uzyskując z nich dochód);

• „zamrożenie" kapitału przez dłuższy okres:

• pozbawia dodatkowego kapitału z innych źródeł,

• odzyskany pieniądz posiada inną wartość realną niż w chwili jego inwestowania (inflacja).

Wartość pieniądza jest funkcją czasu: w zależności od czasu, w którym pieniądz znajduje się w naszej dyspozycji, jego wartość jest różna. Generalnie im później określona kwota znajdzie się w dyspozycji, tym jej wartość jest niższa.

Zmienność wynika z:

• działania inflacji,

• większej płynności (dyspozycyjności) pieniądza posiadanego w stosunku do tego, który zostanie uzyskamy (posiadane w danej chwili pieniądze charakteryzują się najwyższym stopniem płynności - można nimi dobrowolnie dysponować).

Konsekwencja zmiennej wartości pieniądza w czasie:

KONIECZNOŚĆ PORÓWNYWANIA KWOT PIENIĘŻNYCH POCHODZĄCYCH Z RÓŻNYCH OKRESÓW.

Porównywanie ma sens, gdy wartości pieniężne dotyczą tego samego okresu (mają wspólny punkt odniesienia - okres bieżący lub okres w przyszłości).

Wybór bazy porównawczej wynika z preferencji podmiotu dokonującego analizy:

• Jeśli punktem odniesienia jest pewien moment w przyszłości - mówimy o przyszłej wartości pieniądza (Future Value - FV);

• Jeśli bazą porównawczą jest okres prowadzenia rozważań (okres bieżący) - mówimy o bieżącej (obecnej, teraźniejszej) wartości pieniądza (Present Value - PV).

Określanie przyszłej i bieżącej wartości pieniądza związane jest z dwoma odmiennymi operacjami rachunkowymi (odwrotnymi względem siebie):

1. Operacją oprocentowania. Poszukiwanie przyszłej wartości pieniądza: ustalanie kwoty, do jakiej wzrośnie uruchomiony kapitał po określonym czasie.

2. Operacją dyskontowania. Poszukiwanie bieżącej (obecnej) wartości pieniądza na podstawie znajomości przyszłej jego wartości.

Ocena efektywności projektów inwestycyjnych wymaga porównań bieżących nakładów inwestycyjnych z przyszłymi dochodami.

Następstwo: CAŁY proces inwestycyjny związany jest z koniecznością uwzględnienia zmiennej wartości pieniądza w czasie (zapewnienie ciągłej porównywalności czasowej składników rachunku finansowego).

Osiąga się to sprowadzając wartość strumieni pieniądza do określonego czasu. Zazwyczaj do czasu sporządzania decyzji inwestycyjnych.

Dla potrzeb omówienia metod oceny projektów inwestycyjnych, niezbędna jest więc znajomość podstawowych elementów matematyki finansowej.

Procent prosty i składany.

Oprocentowanie kredytu wyraża się za pomocą tzw. rocznej (nominalnej) stopy procentowej:

Jest to procent kwoty kredytu, jaki należy zapłacić z tytułu odsetek za jeden rok przy założeniu, że w międzyczasie nie są płacone żadne raty.

Odsetki od kredytu płaci się częściej niż raz w roku, więc wartość odsetek za kolejne okresy wyznaczane datami ich płatności określa się zależnością:

gdzie

I_t - odsetki od kredytu należne po t dniach,

P - kwota zaciągniętego kredytu,

i - roczna stopa procentowa, przy założeniu, że l rok równa się 360 dni,

t - okres pomiędzy kolejnymi płatnościami odsetek (liczony w dniach).

Stopę procentową i_t kredytu za t dni określa zależność:

W przypadku zdeponowania pieniędzy w banku (lokata terminowa) sytuacja ulega odwróceniu, odsetki płaci bank.

Rodzaje odsetek (oprocentowania):

• odsetki proste (procent prosty) - odsetki w całym okresie trwania lokaty naliczane są od tej samej podstawy (równej początkowej kwocie lokaty),

• odsetki składane (procent składany) - całkowity okres lokaty podzielony jest na podokresy. Odsetki za kolejne podokresy naliczane są od początkowej kwoty lokaty powiększonej o odsetki naliczone za poprzednie podokresy.

Kapitalizacja odsetek - dodawanie odsetek do kwoty lokaty.

Okres bazowy - okres, po upływie którego doliczane są odsetki. Wynik stanowi podstawę do naliczania odsetek w kolejnym okresie bazowym.

Końcowa wartość lokaty P_n dla odsetek prostych:

gdzie:

P₀ - początkowa wartość lokaty,

n - liczba okresów bazowych,

i - oprocentowanie lokaty za jeden okres bazowy,

I - odsetki za cały okres trwania lokaty.

Końcowa wartość lokaty P_n dla odsetek składanych:

Gdy okres kapitalizacji jest taki sam jak okres stóp procentowych mówimy o kapitalizacji zgodnej.

Kapitalizacja niezgodna:

• kapitalizacja w podokresach - gdy okres kapitalizacji jest mniejszy od okresu stóp procentowych,

• kapitalizacja w nadokresach - gdy okres kapitalizacji jest większy od okresu stóp procentowych,

Wtedy:

gdzie:

m - liczba kapitalizacji w okresie stóp procentowych (dla kapitalizacji w nadokresach m < 1).

Kapitalizacja ciągła (m → ∞) końcowa wartość lokaty P_n wynosi:

gdzie:

r - stopa procentowa przy kapitalizacji ciągłej.

Dyskonto proste i składane.

Dyskontowanie - obliczanie wartości początkowej P₀ kapitału na podstawie jego wartości końcowej P_n .

Dyskonto - różnica wartości początkowej P₀ kapitału i jego wartości końcowej P_n: (P_n - P₀).

Dyskonto proste - odpowiednik oprocentowania prostego:

Dyskonto składane - odpowiednik oprocentowania składanego:

gdzie:

i - stopa dyskontowa (stopa procentowa za 1 okres).

Nominalna i efektywna stopa procentowa.

Roczna stopa procentowa i nazywana jest nominalną stopą procentową.

Efektywna stopa procentowa i_e - rzeczywisty przyrost kapitału:

• 
  odsetki od lokaty kapitalizowane częściej niż raz do roku:

• odsetki od lokaty kapitalizowane rzadziej niż raz do roku:

Przyszła wartość pieniądza (FV) określana jest zależnością:

gdzie:

P_n - przyszła wartość kapitału,

P₀ - wartość początkowa,

n - moment w przyszłości, dla którego liczona jest wartość końcowa kapitału,,

i - stopa procentowa dla okresu bazowego,

q - roczny współczynnik procentowy (1+i).

Bieżąca wartość pieniądza (PV) (obecna wartość pieniądza, którego otrzymanie jest oczekiwane w przyszłości) określana jest zależnością:

Inflacja a stopa procentowa. W przypadku występowania inflacji, realną stopę procentową określa się wzorem:

Strona 8 z 8

---