11.a) Różniczkowalność funkcji zespolonej
w punkcie z_0. Definicja funkcji holomorficznej. Definicja funkcji całkowitej.

Niech

będzie funkcją zespoloną określoną na otoczeniu U_zo punktu z₀.

def. Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w pkt. z₀ jeśli istnieje operator liniowy f'(z₀)
L(C(R),C(R)) oraz funkcja
o własnościach:

• w(0) = 0

• 
  

taka, że f(z₀+z)-f(z₀)=f'(z₀)z+w(z). Operator f'(z₀) nazywamy pochodną funkcji f w punkcie z₀, a wyrażenie df (z₀)= f'(z₀) z -różniczką w p. z_ dla przyrostu z .

def. (funkcji holomorficznej)

Mówimy, że funkcja f jest holomorficzna w punkcie z₀, jeżeli jest różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu z_0. tj. spełnia warunki Couchy-Riemana:

f(x,y)=u(x,y)+jv(x,y)

u(x,y) i v(x,y) są różniczkowalne i

i

def. (funkcji całkowitej)

Funkcją całkowitą nazywamy funkcję holomorficzną na całym C (w każdym punkcie)

11.b) Uzasadnić z definicji że funkcja
jest funkcją całkowitą

z=x+jy

u(x,y)=x

v(x,y)=y

,
i
, stąd 1=1 i 0=0 spełnione zawsze dla każdego z
C.

Stąd funkcja f(z)=z jest funkcją całkowitą. c.n.d.

---