Maciej Mazur MP-72

Zadanie III.25

Dla jakiej długości fali
funkcja rozkładu widmowego gęstości strumienia emisji energii promieniowania R_T (λ) osiąga maksimum i jaka jest jej wartość dla źródła promieniowania o temperaturze T=6000 [K]. Stała Plancka h=6,6262⋅10^-34[J⋅s] , stała Wiena
stała Boltzmanna k=1,3806⋅10^-23 [
] , prędkość światła w próżni c=3⋅10⁸[
. Wyznaczyć a następnie obliczyć wartość funkcji rozkładu widmowego gęstości strumienia emisji energii promieniowania dla długości fali λ_m oraz gęstość strumienia emisji energii promieniowania dla rozważanego źródła promieniowania.

1. Wyznaczenie funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania.

Średni zasób energii promieniowania w przedziale całego pola dozwolonych stanów energetycznych (stopni swobody) ma postać:

- w funkcji długości fali

Ē(λ)
J]

- w funkcji częstotliwości

Ē(ν)

Elementarny przyrost objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w przedziale długości fal od λ do λ+dλ określony jest zależnością:

gdzie funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w polu długości fal określona jest związkiem :

Uwzględniając związek między długością fali a jej częstotliwością w próżni:

Otrzymano elementarny przyrost objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w przedziale częstotliwości fal od ν do ν+dν

=

gdzie funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w polu częstotliwości fal określona jest związkiem:

Objętościowa gęstość zasobu ilości oscylatorów jest równa:

Funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania w polu długości fal określona jest zależnością:

zaś funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w polu częstotliwości fal jest równa:

2. Wyznaczenie objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania

Całka funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania określa objętościową gęstość zasobu energii promieniowania.

Przyjmując oznaczenie:

otrzymano

3. Wyznaczenie maksimum funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania.

Funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania w polu długości fal określona jest zależnością:

Przyrównując pochodną funkcji po długości fali do zera:

Otrzymano równanie

przyjmując oznaczenie

powyższe równanie przyjmie postać

z którego wyznaczono wartość

Dla tej wartości x funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania osiąga maksimum, zaś długość fali osiąga wartość

4. Prawo przesunięć Wiena

Uwzględniając wyrażenie

dla

otrzymano

stąd

Powyższa zależność definiuje prawo przesunięć Wiena, które głosi, że odwrotnie proporcjonalna zależność długości fal
od temperatury T opisuje ilościowo mechanizm przesuwania się maksimum funkcji rozkładu widmowego objętościowego zasobu energii promieniowania
w miarę wzrostu temperatury w stronę fal krótszych.

5. Wyznaczenie funkcji rozkładu widmowego gęstości strumienia emisji energii promieniowania

Gęstość strumienia wymiany ilości cząsteczek gazu określony jest zależnością:

Stosując analogię dla fotonów można napisać wyrażenie określające gęstość strumienia wymiany ilości fotonów:

Jeżeli w ostatniej zależności w miejsce objętościowej gęstości zasobu ilości fotonów n wstawimy funkcję rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania
, to wówczas otrzymamy zamiast gęstości strumienia wymiany (emisji) ilości fotonów
, funkcję rozkładu widmowego gęstości strumienia wymiany (emisji) energii promieniowania w polu długości fal

6. Wyznaczenie gęstości strumienia emisji energii promieniowania. Całkując funkcję rozkładu widmowego gęstości strumienia emisji energii promieniowania w całej przestrzeni pola długości fal.

gdzie stała Stefana Boltzmanna

otrzymano gęstość strumienia emisji energii promieniowania

]

7. Obliczenie wartości długości fali
   dla temperatury T=6000[K]

Z prawa przesunięć Wiena otrzymano

8. Obliczenie wartości funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania dla długości fali
   

uwzględniając prawo przesunięć Wiena

otrzymano

9. Obliczenie wartości gęstości strumienia emisji energii promieniowania

---