Zadanie III 32

Jakub Tomkalski Wznowienie [e-mail]

Wyznaczyć, a następnie obliczyć wartość maksymalną funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania ε_λ (λ)=ρ_T (λ) dla źródła temperatury T_S=6000[K], oraz gęstość strumienia emisji promieniowania w zakresie długości fal od λ₁=0.75[
m] do λ₂=0.8[
m].

Stała Plancka h= 6, 6262
10^-34 [ J
s] Stała Boltzmana k= 1,3806* 10^-23 [
],

prędkość światła c= 3
10⁸ [
], stała Wiena σ_w = 2,898
10^-3[mK],
=7.56
10^-16[
]

1.Wyznaczenie funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania . Średni zasób energii promieniowania w przedziale całego pola dozwolonych stanów energetycznych (stopni swobody)ma postać:

-w funkcji długości fali:

(λ)=
[J]

-w funkcji częstotliwości :

(λ)=
[J]

Elementarny przyrost objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w przedziale długości fal od λdo λ+dλ określony jest zależnością

dn(λ)=
dλ [
]

gdzie funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w polu długości fal określona jest związkiem

(λ)=
[
]

Uwzględniając związek pomiędzy długością fali a jej częstotliwością w próżni

otrzymano elementarny przyrost objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w przedziale częstotliwości fal

dn(
)=
d (
)=
d
[
]

gdzie funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w polu częstotliwości fal określona jest związkiem:

(
)=
[
]

Objętościowa gęstość zasobu ilości oscylatorów jest równa

n=

=
[
]

Funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania w polu długości fal określona jest zależnością

=
=
(λ)E(λ)=
[


]

Zaś funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w polu częstotliwości fal, jest równa

=
=
(ν)E(ν)=
[


]

2.Wyznaczenie objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania.

Całka funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania określa objętościową gęstość zasobu energii promieniowania.

[
]

Przyjmując oznaczenie

=

Otrzymano

=

3.Wyznaczenie maksimum funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania .

Funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania w polu długości fal określona jest zależnością:

=
=
[


]

Przyrównując pochodną powyższej funkcji w długości fali do zera:

Otrzymano wyrażenie

5
-
=0

Przyjmując

=x

powyższe równanie ma postać

Z którego wyznaczono wartość

x=4,965

Dla tej wartości x funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania osiąga maksimum zaś długość fali osiąga wartość:

λ=λ_m

4. Prawo Przesunięć Wiena

Uwzględniając wyrażenie

=x

Dla x=4,965

=4,965

otrzymano

=
σ_w

Powyższą zależność definiuje prawo przesunięć Wiena.

5 Wyznaczenie funkcji rozkładu widmowego gęstości strumienia emisji energii promieniowania.

Gęstość strumienia wymiany ilości cząsteczek gazu określona jest zależnością:

[
]

Stosując analogię dla fotonu można napisać wyrażenie określające gęstość strumienia wymiany ilości fotonów:

[
]

Jeżeli w ostatniej zależności w miejsce objętościowej gęstości zasobu ilości fotonów wstawimy funkcje rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania
, to wówczas otrzymamy zamiast gęstości strumienia wymiany emisji ilości fotonów
funkcję rozkładu widmowego gęstości strumienia wymiany (emisji) energii promieniowa w polu długości fal R_T(λ)

R_T(λ)=
=
=
[


]

6.Wyznaczanie gęstości strumienia emisji energii promieniowania w zakresie długości fal od

λ₁ doλ₂ =λ₁+Δλ

Elementarny przyrost gęstości strumienia emisji energii promieniowania jest równy

dR_T=R_T(λ)dλ [
]

Całkując powyższe równanie w granicach zastosowano przybliżenie numeryczne całkowania metodą trapezów ,polegające na uśrednianiu funkcji podcałkowej, czyli określeniu jej wartości dla długości fali

λ_śr=

i pomnożeniu tak określonej funkcji podcałkowej przez przyrost zmiennej niezależnej

R_T=


R_T(λ_śr)

Gdzie λ₂ -λ₁=Δλ

Ilustracja funkcji rozkładu widmowego gęstości strumienia emisji energii promieniowania

7.Obliczenie wartości długości fali dla źródła temperatury T_S=6000[K]

Z prawa przesunięć Wiena określona długość fali

=
=
=483[nm]=483
[m]

8.Obliczenie maksymalnej wartości funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania dla temperatury T_S=6000[K]

=
[


]

Uwzględniając prawo przesunięć Wiena

= σ_w

Otrzymano:

=

[


]

9.obliczenie wartości funkcji rozkładu widmowego gęstości strumienia emisji energii promieniowania dla długości fali λ_śr

Wartość średniej długości fali w rozważanym przedziale długości fal jest równa

λ_śr =(λ₂ +λ₁)
0,5 =

Stąd :

R_T(λ_śr)=
=

[


]

10.obliczanie wartości gęstości strumienia emisji energii promieniowania w zakresie długości fal od

λ₁=0.75[
m] do λ₂=0.8[
m].

Wartość przedziału długości fal jest równa

Δλ=λ₂ -λ₁=0.8-0.75=0.05[
m].

Zatem

R_T=R_T(λ_śr) Δλ=
*0.05

=90,7550

[

]

---