Zadanie III.7 Maternik Arkadiusz IZM-71 [e-mail]

Sól paramagnetyczna o zasobie masy m = 10 [kg] traktowana tak jak paramagnetyk doskonały (energia wewnętrzna jest funkcją tylko temperatury) podlegająca równaniu stanu Curie.

gdzie stała Curie

została w przemianie izomagnetycznej o stałym natężeniu pola magnetycznego

H=10⁵

poddana pracy przemiany powodującej wzrost jej temperatury od T_p=1[K] do T_k=3 [K].

Molowe ciepło właściwe paramagnetyka doskonałego przy stałej polaryzacji indukcji magnetycznej określone jest zależnością

gdzie stała

Elementarny przyrost objętościowej gęstości ilości pracy wykonanej nad magnetykiem doskonałym równy jest iloczynowi skalarnemu siły uogólnionej i elementarnego przyrostu objętościowej gęstości zasobu przesunięcia uogólnionego

Siłą uogólnioną jest wektor natężenia pola magnetycznego
zaś objętościową gęstością zasobu przesunięcia uogólnionego jest wektor momentu objętościowej gęstości zasobu polaryzacji indukcji magnetycznej
.

Przenikliwość magnetyczna próżni
, zaś molowa gęstość zasoby masy soli paramagnetycznej jest równa
. Różnica molowych ciepeł właściwych przy stałym natężeniu pola magnetycznego
oraz przy stałej polaryzacji indukcji magnetycznej
jest równa

.

Wyznaczyć i obliczyć przyrosty ilości ciepła
, zasoby energii wewnętrznej
oraz pracy
w przemianie izomagnetycznej.

Dane:

2.Bilans zasobu energii wewnętrznej układu substancjalnego soli paramagnetycznej.

Bilans zasobu energii wewnętrznej układu substancjalnego soli paramagnetycznej z uwzględnieniem sił uogólnionych działających na układ na przesunięciach uogólnionych określony jest równaniem

gdzie

jest wyrażeniem określającym prace uogólnione.

Ponieważ rozważane jest tylko oddziaływanie pola magnetycznego na paramagnetyk, zatem
i praca uogólniona jest zredukowana do postaci

Układ substancjalny soli paramagnetycznej jest układem o stałym zasobie objętości

V=const

stąd

dV=0

i bilans zasobu energii wewnętrznej zredukuje się do postaci

Dzieląc obie strony powyższego równania przez stały zasób objętości układu soli paramagnetycznej

po uwzględnieniu , że objętościowe gęstości zasobu zgodnie z definicją są równe

otrzymano bilans objętościowej gęstości zasobu energii wewnętrznej

Uwzględniając, że siła uogólniona jest wektorem natężenia pola magnetycznego

zaś objętościową gęstością zasobu przesunięcia uogólnionego jest wektor momentu objętościowej gęstości zasobu polaryzacji indukcji magnetycznej

otrzymano

i bilans objętościowej gęstości zasobu energii wewnętrznej paramagnetyka przyjmuje postać

Uwzględniając relacje między wektorami momentów objętościowych gęstości zasobu polaryzacji indukcji magnetycznej i polaryzacji magnetycznej

bilans objętościowej gęstości zasobu energii wewnętrznej zapisano równaniem

Mnożąc powyższe równanie prze molową gęstości zasobu objętości soli paramagnetycznej

otrzymano bilans molowej gęstości zasobu energii wewnętrznej paramagnetycznej

Uwzględniając, że poniższe związki

- molowa gęstość zasobu energii wewnętrznej paramagnetyka

-molowa gęstość ilości ciepła

-wektor momentu molowej gęstości zasobu polaryzacji indukcji magnetycznej

-wektor momentu molowej gęstości zasobu polaryzacji magnetycznej

otrzymano ostatecznie bilans molowej gęstości zasobu energii wewnętrznej paramagnetyka , będący pierwszą postacią pierwszej zasady termodynamiki dla paramagnetyka

3. Wyznaczenie elementarnego przyrostu zasobu entalpii układu substancjalneg paramagnetyka

Uwzględniając przekształcenie Legendre'a.

w równaniu bilansu molowej gęstości zasobu energii wewnętrznej paramagnetyka

otrzymano równanie

Przyjmując dla molowej gęstości zasobu entalpii paramagnetyka oznaczenie

określono drugą postać pierwszej zasady termodynamiki dla paramagnetyka

Dla przemiany izomagnetycznej

zatem jego przyrost równy jest zeru

i druga postać pierwszej zasady termodynamiki dla paramagnetyka zredukuje się do związku

Zgodnie z drugą zasadą termodynamiki elementarny przyrost molowej gęstości ilości ciepła w przemianie izomagnetycznej jest równy

gdzie
jest elementarnym przyrostem molowej gęstości zasobu entropii.

otrzymano zatem następujące równanie różniczkowe przemiany izomagnetycznej paramagnetyka

Dzieląc powyższe równanie przez elementarny przyrost temperatury dT

i uwzględniając

określono z definicji

molowe ciepło właściwe paramagnetyka przy stałym natężeniu pola magnetycznego.

Zatem bilans wartości zasobu entalpii dla paramagnetyka doskonałego przyjmuje postać

4. Wyznaczenie molowego ciepła właściwego paramagnetyka przy stałym natężeniu pola magnetycznego

Uwzględniając dane związki

oraz

wyznaczono molowe ciepło właściwe paramagnetyka przy stałym natężeniu pola magnetycznego

5. Wyznaczenie przyrostu ilości ciepła przemiany izomagnetycznej w układzie substancjalnym paramagnetyka doskonałego

Uwzględniając bilans gęstości zasobu entalpii dla paramagnetyka doskonałego w postaci

i całkując powyższy związek w granicach

otrzymano przyrost molowej gęstości ilości ciepła w przemianie izomagnetycznej w układzie substancjalnym paramagnetyka doskonałego

Mnożąc obustronnie powyższy związek przez zasób ilości materii soli paramagnetycznej

Przyrost ilości ciepła jest równy

gdzie zasób ilości materii soli paramagnetycznej
równy jest ilorazowi zasobu masy soli
przez jej molową gęstość zasobu masy

otrzymano przyrost ilości ciepła w przemianie izomagnetycznej w układzie substancjalna soli paramagnetycznej

6. Wyznaczenie przyrostu zasobu energii wewnętrznej w przemianie izomagnetycznej w układzie substancjalnym soli paramagnetycznej.

Zasób energii wewnętrznej paramagnetyka doskonałego określony jest zależnością

Układ paramagnetyka jest układem substancjalnym, zatem

Paramagnetyk jest parmagnetykiem doskonałym, zatem

stąd

Uwzględniając, iż molowe ciepło właściwe paramagnetyka doskonałego przy stałej polaryzacji indukcji magnetycznej jest związkiem

Otrzymano przyrost ilości ciepła w przemianie izomagnetycznej w układzie substancjalnym soli paramagnetycznej

7. Wyznaczenie przyrostu zasobu energii wewnętrznej układu substancjalnego paramagnetyka doskonałego .

Biorąc pod uwagę pierwszą postać pierwszej zasady termodynamiki dla układu substancjalnego paramagnetyka doskonałego

oraz drugą zasadę termodynamiki

to dla przemiany izopolaryzacyjnej

const.

czyli

0

powyższe dwa równania zredukują się do postaci

oraz

Uwzględniając powyższe dwa równania otrzymano

Dzieląc ostatnie równanie przez różniczkę temperatury dT

i uwzględniając , że wektor moment molowej gęstości zasobu polaryzacji indukcji magnetycznej

const.

określono z definicji molowe ciepło właściwe paramagnetyka doskonałego przy stałej wartości polaryzacji indukcji magnetycznej

Zatem bilans gęstości zasobu energii wewnętrznej dla paramagnetyka doskonałego przyjmie postać

Uwzględniając zależność określającą molowe ciepło paramagnetyka doskonałego przy stałej polaryzacji magnetycznej

oraz mnożąc je obustronnie prze stały zasób masy soli paramagnetycznej, otrzymano wyrażenie określające elementarny przyrost zasobu energii wewnętrznej w układzie substancjalnym paramagnetyka doskonałego

Całkując ostatnie równanie w granicach

otrzymano po uwzględnieniu , iż

przyrost zasobu energii wewnętrznej w układzie substancjalnym paramagnetyka doskonałego w przemianie izomagnetycznej

8. Wyznaczam przyrost ilości pracy wykonanej na paramagnetyku doskonałym w przemianie izomagnetycznej.

Uwzględniając pierwszą postać pierwszej zasady termodynamiki dla układu substancjalnego paramagnetyku doskonałego

oraz całkując powyższe równanie w granicach

otrzymano związek

z którego wyznaczono przyrost ilości pracy uogólnionej wykonanej na układzie substancjalnym paramagnetyka doskonałego w przemianie izomagnetycznej

9. Obliczanie wartości przyrostu ilości ciepła w przemianie izomagnetycznej soli paramagnetycznej

10. Obliczanie wartości przyrostu zasobu energii wewnętrznej soli paramagnetycznej

11 . Obliczanie wartości przyrostu ilości pracy przemiany izomagnetycznej soli paramagnetycznej

Tk

Tp

DQ

1.Ilustracja pracy i ciepła przemiany izomagnetycznej w współczynnikach
oraz T,S.

---