III-21 Piotr Podolski MP-71

Zakładając, że w przypadku ciała rozżarzonego do „czerwonego żaru” długość fali λ_max1=7,6∙10^-7 [m] odpowiadająca maksimum wartości funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania przypada w bliskiej podczerwieni, zaś dla „niebieskiego żaru” długość fali λ_max2=4,3∙10^-7 [m] przypada na bliski nadfiolet, określić temperatury jakie na mocy prawa przesunięć Wiena odpowiadają tym długością fal. Określić również wartości funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania dla tych długości fal jak również wartość objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania. Wiedząc, że stała Wiena
=2,898∙10^-3[mK], stała Boltzmana k=1,3806∙10^-23[J/K], stała Plancka h=6,6262∙10^-34[Js], prędkość światła w próżni c=3∙10⁸[m/s]

Dane: Szukane

λ_max1=7,6∙10^-7[m] T₁=?

λ_max2=4,3∙10^-7[m] T₂=?

δ_w=2,898∙10^-3[mK] ε(λ_m1)=?

k=1,3806∙10^-23[
] ε(λ_m2)=?

h=6,6262∙10^-34[Js]
=?

c=3∙10⁸

=?

=?

1. Wyznaczenie funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania.

Średni zasób energii promieniowania w przedziale całego pola dozwolonych stanów energetycznych (stopni swobody) ma postać:

-w funkcji długości fali

-w funkcji częstotliwości

Elementarny przyrost objętościowy gęstości zasobu ilości oscylatorów w przedziale długości fal od λ do λ+dλ określony jest zależnością

Gdzie funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w polu długości fal określone jest związkiem

Uwzględniając związek między długością fali a jej częstotliwością w próżni

otrzymano elementarny przyrost objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w przedziale częstotliwości fal od
do
+d

gdzie funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w polu częstotliwości fal określona jest związkiem

Objętościowa gęstość zasobu ilości oscylatorów jest równa

Funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania w polu długości fal określona jest zależnością:

zaś funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania w polu częstotliwości fal jest równa:

2. Wyznaczenie objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania.

Całka z funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania określa objętościową gęstość zasobu energii promieniowania

Przyjmując oznaczenie:

3. Wyznaczenie maksimum funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania.

Funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania w polu długości fal określona jest zależnością

Przyrównując pochodną powyższej funkcji po długości fali do zera

otrzymano równanie

przyjmując oznaczenie

powyższe równanie przyjmuje postać

z którego wyznaczono wartość

x=4,965

Dla tej wartości x funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania osiąga maksimum zaś długość fali osiąga wartość

4. Prawo przesunięć Wiena

Uwzględniając wyrażenie

dla x=4,965

otrzymano

Stąd

Powyższa zależność definiuje prawo przesunięć Wiena które głosi, że odwrotnie proporcjonalna zależność długości fal
od temperatury T opisuje ilościowo mechanizm przesuwania się maksimum funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania
w miarę wzrostu temperatury w stronę fal krótszych.

5. Obliczanie wartości stałej Wiena

6. Obliczanie wartości temperatur „czerwonego żaru” i „niebieskiego żaru”

7. Obliczanie wartości funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania dla wartości
   

8. Obliczanie wartości objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania dla wartości temperatury
   

Objętościowa gęstość zasobu energii promieniowania określona jest zależnością:

gdzie

Dla

Dla

---