Zadanie III 22 Term 2009 Kleniewski Marcin P-51 [e-mail]

Zakładając, że powierzchnie gwiazd zachowują się tak jak ciała doskonale czarne, wyznaczyć a następnie obliczyć wartość temperatury T_s powierzchni Słońca i temperatury T_p Gwiazdy Polarnej wiedząc, że długości fal promieniowania dla których funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania
osiąga maksimum, w przypadku Słońca jest równa
zaś Gwiazdy Polarnej
. Wyznaczyć również a następnie obliczyć wartość gęstości strumienia emisji energii promieniowania tych gwiazd. Stała Wiena
, stała Boltzmanna
, Stała Plancka
oraz prędkość światła w próżni
.

1. Wyznaczenie funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania.

Średni zasób energii promieniowania w przedziale całego pola dozwolonych stanów energetycznych (stopni swobody) ma postać:

- w funkcji długości fali

- w funkcji częstotliwości

Elementarny przyrost objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w przedziale długości fal od λ do λ+dλ określony jest zależnością:

gdzie funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w polu długości fal określona jest związkiem:

Uwzględniając związek między długością fali a jej częstotliwością w próżni:

otrzymano elementarny przyrost objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w przedziale częstotliwości fal od
do

Gdzie funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w polu częstotliwości fal określona jest związkiem:

Objętościowa gęstość zasobu ilości oscylatorów jest równa:

Funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania w polu długości fal określona jest zależnością:

zaś funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania w polu częstotliwości fal jest równa

2. Wyznaczenie objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania

Całka z funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania określa objętościową gęstość zasobu energii promieniowania

Przyjmując oznaczenie

otrzymano:

3. Wyznaczenie maksimum funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania.

Funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania w polu długości fal określona jest zależnością:

Przyrównując pochodną funkcji po długości fali do zera:

otrzymano równanie

Przyjmując oznaczenie:

powyższe równanie przyjmuje postać:

z którego wyznaczono wartość

x = 4,965

Dla tej wartości x funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania osiąga maksimum zaś długość fali osiąga wartość:

4. Prawo przesunięć Wiena

Uwzględniając wyrażenie

dla x = 4,965

otrzymano

Stąd

Powyższa zależność definiuje prawo przesunięć Wiena które głosi, że odwrotnie proporcjonalna zależność długości fal
od temperatury T opisuje ilościowo mechanizm przesuwania się maksimum funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania
w miarę wzrostu temperatury w stronę fal krótszych.

5. Wyznaczenie funkcji rozkładu widmowego gęstości strumienia emisji energii promieniowania

Gęstość strumienia wymiany ilości cząsteczek gazu określany jest zależnością

Stosując analogie dla fotonów można napisać wyrażenie określające gęstość strumienia wymiany ilości fotonów

Jeżeli w ostatniej zależności w miejsce objętościowej gęstości zasobu ilości fotonów n wstawimy funkcje układu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania
, to wówczas otrzymamy zamiast gęstości strumienia wymiany (emisji) ilości fotonów
, funkcję układu widmowego gęstości strumienia wymiany (emisji) energii promieniowania w polu długości fal

6. Wyznaczenie gęstości strumienia emisji energii promieniowania

Całkując funkcję rozkładu widmowego gęstości strumienia emisji energii promieniowania w całej przestrzeni pola długości fal

gdzie stała Stefana Boltzmanna

Otrzymano gęstość strumienia emisji energii promieniowania

7. Obliczenie wartości temperatury Słońca i Gwiazdy Polarnej

Z prawa przesunięć Wiena otrzymano

8. Obliczenie wartości gęstości strumienia emisji energii promieniowania Słońca i Gwiazdy Polarnej

---