Zad 3.31 Łukasz Sołtysiuk P-52
W początkowym stadium ewolucji Wszechświat wypełniony był promieniowaniem o bardzo wysokiej temperaturze, ponieważ Wszechświat rozszerza się adiabatycznie temperatura promieniowania spada. Obecnie wartość temperatury we Wszechświecie szacowana jest na T=2,8[K].Wyznaczyć a następnie obliczyć promień i objętość Wszechświata przyjmując oszacowanie ,że gdy gdy promień Wszechświata w stanie początkowym był równy ro = 109 (porównywalny z promieniem Słońca),jego temperatura wynosiła T=10 17 [K].
Wyznaczanie zasobu energii wewnętrznej gazu fotonowego.
Z równania stanu gazu fotonowego.
p=
εIV
wyznaczono objętościową gęstość zasobu energii wewnętrznej gazu fotonowego.
εIV =3p
Z definicji objętościowej gęstości zasobu energii wewnętrznej
εIV=
określono zasób energii wewnętrznej gazu fotonowego
EI = εIV •V = 3pV
Wyznaczanie adiabaty rozgęszczania gazu fotonowego.
dEI=
Dla przemiany adiabatycznej
= 0
pierwsza postać pierwszej zasady termodynamiki zredukuje się do wyrażenia
dEI + pdV =0
Uwzględniając w powyższym równaniu związek określający zasób energii wewnętrznej gazu fotonowego otrzymano zależność
3d(pV)+ pdV = 0
z której po przekształceniu uzyskano równanie różniczkowe
= -
Całkując powyższe równanie ze stałą całkowania otrzymano równanie adiabaty rozgęszczania gazu fotonowego w funkcji ciśnienia i zasobu objętości gazu fotonowego
pV4/3 =const1 = poVo4/3
gdzie po i Vo to znane parametry stanu gazu fotonowego dla ustalonego stanu układu.
Uwzględniając w równaniu stanu gazu fotonowego
p=
εIV
związek określający objętościową gęstość zasobu energii wewnętrznej gazu fotonowego w funkcji temperatury.
εIV = β T4
i podstawiając ten wynik do równania adiabaty rozgęszczenia gazu fotonowego
β T4 V4/3 = poVo4/3
otrzymano po przekształceniach
T3V=(
)3/4V0= const2
równanie adiabaty zagęszczenia gazu fotonowego w funkcji temperatury i zasobu objętości gazu fotonowego.
Z równania adiabaty rozgęszczania gazu fotonowego w funkcji temperatury i zasobu jego objętości, wyznaczono zasób objętości gazu fotonowego.
V=(
)3/4V0
i podstawiono ten wynik do równania adiabaty rozgęszczenia gazu fotonowego w funkcji ciśnienia i zasobu jego objętości uzyskując po przekształceniu wynik:
=
=const3
który jest równaniem adiabaty rozgęszczenia gazu fotonowego w funkcji jego ciśnienia i temperatury.
3.Wyznaczenie objętości Wszechświata.
Z równania adiabaty rozgęszczania gazu fotonowego w funkcji jego temperatury i zasobu objętości
T3V=T3o Vo
oszacowano aktualną objętość Wszechświata.
V=(
)3V0
Wyznaczanie promienia Wszechświata.
Uwzględniając zależność szacującą aktualną objętość Wszechświata
V=(
)3V0
oraz objętość kuli o promieniach aktualnego i początkowego Wszechświata.
V=
πr3
i
V0=
πr30
otrzymano związek określający aktualny promień Wszechświata
r=
r0
5. Obliczenie wartości oszacowania aktualnego promienia Wszechświata.
r=
r0=
•10 9=
•1025 =3.57143 •1025[m]
6. Obliczenie wartości oszacowania aktualnej objętości Wszechświata.
V= (
)3 •
πr30 = (10/2.8)3 •1048 • 4/3 • 3.14•1027=
= 3,571433 • 4,18879 •1075=
=45,5539 • 4,18879 •1075 [m3 ] =
=1,90816 •1068[km3]