Zad 3.31 Łukasz Sołtysiuk P-52

W początkowym stadium ewolucji Wszechświat wypełniony był promieniowaniem o bardzo wysokiej temperaturze, ponieważ Wszechświat rozszerza się adiabatycznie temperatura promieniowania spada. Obecnie wartość temperatury we Wszechświecie szacowana jest na T=2,8[K].Wyznaczyć a następnie obliczyć promień i objętość Wszechświata przyjmując oszacowanie ,że gdy gdy promień Wszechświata w stanie początkowym był równy r_o = 10⁹ (porównywalny z promieniem Słońca),jego temperatura wynosiła T=10 ¹⁷ [K].

1. Wyznaczanie zasobu energii wewnętrznej gazu fotonowego.

Z równania stanu gazu fotonowego.

p=
ε_IV

wyznaczono objętościową gęstość zasobu energii wewnętrznej gazu fotonowego.

ε_{IV =}3p

Z definicji objętościowej gęstości zasobu energii wewnętrznej

ε_IV=

określono zasób energii wewnętrznej gazu fotonowego

E_I = ε_IV •V = 3pV

2. Wyznaczanie adiabaty rozgęszczania gazu fotonowego.

dE_I=

Dla przemiany adiabatycznej

= 0

pierwsza postać pierwszej zasady termodynamiki zredukuje się do wyrażenia

dE_I + pdV =0

Uwzględniając w powyższym równaniu związek określający zasób energii wewnętrznej gazu fotonowego otrzymano zależność

3d(pV)+ pdV = 0

z której po przekształceniu uzyskano równanie różniczkowe

= -

Całkując powyższe równanie ze stałą całkowania otrzymano równanie adiabaty rozgęszczania gazu fotonowego w funkcji ciśnienia i zasobu objętości gazu fotonowego

pV^4/3 =const₁ = p_oV_o^4/3

gdzie p_o i V_o to znane parametry stanu gazu fotonowego dla ustalonego stanu układu.

Uwzględniając w równaniu stanu gazu fotonowego

p=
ε_IV

związek określający objętościową gęstość zasobu energii wewnętrznej gazu fotonowego w funkcji temperatury.

ε_{IV =} β T⁴

i podstawiając ten wynik do równania adiabaty rozgęszczenia gazu fotonowego

β T⁴ V^4/3 = p_oV_o^4/3

otrzymano po przekształceniach

T³V=(
)^3/4V₀= const₂

równanie adiabaty zagęszczenia gazu fotonowego w funkcji temperatury i zasobu objętości gazu fotonowego.

Z równania adiabaty rozgęszczania gazu fotonowego w funkcji temperatury i zasobu jego objętości, wyznaczono zasób objętości gazu fotonowego.

V=(
)^3/4V₀

i podstawiono ten wynik do równania adiabaty rozgęszczenia gazu fotonowego w funkcji ciśnienia i zasobu jego objętości uzyskując po przekształceniu wynik:

=
=const₃

który jest równaniem adiabaty rozgęszczenia gazu fotonowego w funkcji jego ciśnienia i temperatury.

3.Wyznaczenie objętości Wszechświata.

Z równania adiabaty rozgęszczania gazu fotonowego w funkcji jego temperatury i zasobu objętości

T³V=T³_o V_o

oszacowano aktualną objętość Wszechświata.

V=(
)³V₀

3. Wyznaczanie promienia Wszechświata.

Uwzględniając zależność szacującą aktualną objętość Wszechświata

V=(
)³V₀

oraz objętość kuli o promieniach aktualnego i początkowego Wszechświata.

V=
πr³

i

V₀₌
πr³₀

otrzymano związek określający aktualny promień Wszechświata

r=
r₀

5. Obliczenie wartości oszacowania aktualnego promienia Wszechświata.

r=
r₀₌
•10 ⁹=
•10²⁵ =3.57143 •10²⁵[m]

6. Obliczenie wartości oszacowania aktualnej objętości Wszechświata.

V= (
)³ •
πr³₀ = (10/2.8)³ •10⁴⁸ • 4/3 • 3.14•10²⁷=

= 3,57143³ • 4,18879 •10⁷⁵=

=45,5539 • 4,18879 •10⁷⁵ [m³ ] =

=1,90816 •10⁶⁸[km³]

---