6.Podst. rów. róż. ruchu c. szt:

mȑ_s=∑F_i - tw. o ruchu środka masy

dK_s/dt=M_gs - tw o kręcie

∑F_i=W_g - wektor gł. sił zew.

dK_s=ƍ x V_wd_m (Vw-prędko. wzg)

K_s=ʃ(ƍ x V_w)dm - kręt c. wzg śr. masy

7.Rów. różniczkowe ruchu

R. postępowy

War. Aby ciało poruszało się r. postęp. M_isi x F_i=0

Rów. róż r. post: mȑ_s=∑F_i=W_g

Praca sił w ruchu postępowym:

dLi=Fi◦dr

r_i=r_s + ƍ_i

dr_i=dr_s + dƍ_i

dr_i=dr_s

dLi=Fi◦dr_s

dL=∑dLi=(∑Fi)◦dr_s=Wg◦dr_s

L₁₂=ʃWg◦dr_s=ʃWg_xdx_s + W_gydy_s + W_gzdz_s E_k=1/2*mV_s²+E_wzg V_w≡0 => E_wzg=0

Ruch obrotowy:

V= dr/dt = ω x r

K_o=ʃ(r x V)dm

K_z=ωI_z kręt ciała wzg osi z (osi obr)

dK_z/dt=∑M_z(F_i)

K_z=I_zω

dK_z/dt=I_zώ=I_zε=I_zφ′′

I_zφ′′=∑M_z(F_i)

Praca sil w r. obrotowym

φ=φǩ

dφ=kdy

dr_i=dφ x r_i

r_i=dr_i/dt=ω x r_i

dr_i/dt=dφ/dt x r_i

dr_i=dφ x r_i

dL_i=F_i◦dr_i=F_i◦(dφ x r_i)

F_i(dφ x r_i)

dL_i=dφ◦(r_i x F_i)

dL=∑[dφ◦(r_i x F_i)]=dφ◦∑(r_i x F)= M_go◦dφ

M_go=∑r_i x F_i

dφ=kdφ

dL=(M_go◦k)dφ

dL=M_zdφ (M_z - suma momentów wszystkich sil wzg osi z)

M_z=∑M_z(F_i)

L₁₂=ʃM_zdφ

MOC: N=dL/dt=M_zdφ/dt=M_zφ′′=M_zω

Energia kinetyczna: V=ω x r

|V|=|ω||r|sinα |r|sinα=h |r|=|ω|h V²=ω²h²

dE=1/2V²dm=1/2 ω²h²dm

E=1/2 ω²ʃh²dm

E=1/2 I_zω² (Iz-momęt bezwładn.)

Zas. Zach. e. kinet i pracy:

∆E=E₂-E₁ ∆E=L₁₂½Iz(ω₂²-ω₁²) =ʃM_zdφ (przyrost en kin= praca)

Ruch płaski

mr_s′′=∑F_i

K_z1=K_s=I_sφ′ (kręt wzg osi przech. przez srodek masy)

dK_s/dt=∑M_z1(F_i)

∑M_z1(F_i)=M_gs

dK_s/dt=I_sφ′′

I_s= φ′′=M_gs

Rów róż ruch płaskiego:

mx_s′′=∑F_ix

my_s′′=∑F_iy

I_sφ′′=M_gs

Praca sił w ruchu płaskim

dL_i=F_i◦dr_i

r_i=r_s+ƍ_i

dr_i=dr_s + dƍ_i

φ=kφ (k-wersor osi z)

dƍ_i=dφ x ƍ_i

dL_i=F_i◦dr_s+F_i◦dƍ=

=F_i◦dr_s+F_i◦(dφ x ƍ_i)=

=F_i◦dr_s+dφ◦(ƍ_i x F_i)=

=F_i◦dr_s+k◦(ƍ_i x F_i)dφ

M_iz1=k◦(ƍ_i x F_i) - moment siły wzg. osi z czyli osi przechodzący przez środek masy

dL=∑dL_i=∑F_i◦dr_s+(∑M_iz1)dφ

dL=W_g◦dr_s + M_gsdφ

W_g==∑F_i◦dr_s

M_gs=∑M_iz1

dL= W_gxdx_s+W_gy dy_s+M_gsdφ

W_gx=∑F_ix

W_gy=∑F_iy

Energia kinetyczna w ruchu pł.

E=1/2 mV_s² +1/2 ∫V_w²dm

V_w-pr wzgledna elementu wzgledem ukl(x1,y1)

V_w=ω x ƍ ω﬩(x,y); ω﬩ ƍ

|Vw|=|ω|| ƍ |

V_w²= ω² ƍ²

ω=φ′

E=1/2mV_s² + ½ ω²∫ ƍ²dm

I_s=∫ ƍ²dm

E=1/2mV_s² + ½I_sω²

V_s²=x_s²+y_s²

ω²= φ′²

Zasada zachowania energii:

E+U=const

(1/2m₁+3m₂)*x²-(m₁+4m₂)*g*sinαx=const / *(d/dt)

2*(1/2m₁+3m₂)*x′*x′′-(m₁+4m₂)*g*sinα*x′=0

(m₁+6m₂)*x′′-(m₁+4m₂)*g*sinα=0

x′′=[(m₁+4m₂)*g*sinα]/(m₁+6m₂)

8.Wahadlo fizyczne

I_oφ′′= - mglsinα

φ′′+(mgl/I_o)sinφ=0 (scisłe rów róż wahadła fizycznego)

Gdy φ-male =>sinφ≈φ φ′′+(mgl/I_o)φ=0

Ω²=mgl/I_o

φ′′+ Ω²φ=0 - rów oscylat harmo

φ=AcosΩt+BsinΩt rów ogólne

T=2π/ω=2π√(I_o/mgl) -okr wahan

l_r=Io/ml (tw Stainera-I_o=I_s+ml²)

l_r=Is/ml +l (l_r - odl od sr wahan)

9.Reakcje dynamiczne łożysk w ruchu obrotowym

Z zas d'Alamberta

dB=ω²rdm

dB_x=ω²xdm

dB_y=ω²ydm

∑F_ix:R_ax+R_bx+ω ²∫xdm=0

∑ F_iy:R_ay+R_by+ω ²∫ydm=0

-R_byl- ω ²∫yzdm=0

R_bxl+ ω ²∫xzdm=0

∫xdm=mx_s

∫ydm=my_s

∫y_zdm=Dy_z

∫x_zdm=Dx_z

R_ax+R_b+ ω ²mx_s=0

R_ay+R_by+ ω ²my_s=0

R_byl+ ω ²+Dy_z=0

R_bxl+ ω ²+Dx_z=0

R_bx= -( ω ²/l)Dx_z

R_by= -( ω ²/l)Dy_z

R_ax= ω ²(Dx_z/l - mx_s)

R_ay= ω ²(Dy_z/l - my_s)

Reakcje dynamiczne beda = 0 jezeli:

Dx_z=Dy_z=0

x_s=y_s=0

---