Całka nieoznaczona- jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale I to ma na tym przedziale funkcje pierwotną. Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na danym przedziale I. Całkę nieoznaczoną funkcji f nazywamy zbiór funkcji
i oznaczamy
iloczyn f(x)dx nazywamy wyrażeniem podcałkowym a funkcję f(x) funkcją podcałkową

Całki nieoznaczone są często używane do obliczania całek oznaczonych. Jeżeli
to wówczas całka oznaczona dana jest wzorem
jest to I główne tw. Rachunku całkowego. Newtona-Leibniza

Jeżeli istnieje granica
to nazywamy ją pochodną cząstkową funkcji f w punkcie
względem x i oznaczamy ją symbolem

Różniczką n-tego stopnia 2 zmiennych definiujemy następującym wzorem

Wzór Teylora

Jeżeli funkcja f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie
, ma ekstremum w punkcie
,
,
oraz jeżeli
to w punkcie
funkcja osiąga swoje minimum lokalne

Jeżeli funkcja f jest ciągła w prostokącie
to

Jeżeli funkcja jest ciągła na prostopadłościanie

Jeżeli macierz kwadratowa A stopnia n ma n liniowo niezależnych wektorów własnych to istnieją macierze A' i T takie że macierz T jest nieosobliwa a macierz A' jest diagonalna oraz

Iloczynem skalarnym wektorów v i w nazywamy liczbę spełniającą warunek

Iloczynem wektorowym
wektorów v i w nazywamy wektor u spełniający warunki: kierunek wektora u jest taki ze wektor ten jest prostopadły do obu wektorów, zwrot wektora wyznaczony jest przez regułę śruby prawoskrętnej, długość wektora wynosi

Iloczynem mieszanym nazywamy liczbę równą iloczynowi skalarnemu wektora v i iloczynowi wektorowemu wektora w przez wektor u i zapisujemy ją wzorem

Niech dane będą 3 punkty
te 3 punkty wyznaczają dokładnie jedną płaszczyznę zatem dowolny punkt p tej płaszczyzny z punktem
utworzy wektor, który jest kombinacją liniową wektorów

Wektory p

leżą więc na jednej płaszczyźnie zatem nierówność jest spełniona

Rzędem macierzy
nazywamy:
- liczbę zero, gdy macierz jest zerowa
- liczbę równą największemu ze stopni jej różnych od zera minorów gdy macierz A jest niezerowa

Układ równań liniowych ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rzA=rzU przy czym jeżeli rzA=rzU=n to układ ma jedno rozwiązanie, jeżeli rzA=rzU<n to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n-r parametrów

Niech funkcja f będzie całkowalna na przedziale <a,b>. Funkcje daną wzorem
nazywać będziemy funkcją górnej granicy całkowania
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na <a,b> to funkcja górnej granicy całkowania jest ciągła na <a,b>

Jeżeli funkcja f jest całkowalna na <a,b> i ciągła w pewnym punkcie
to funkcja górnej granicy całkowania ma pochodnią w

Całkę niewłaściwą nazywamy następującą granice
Całkę niewłaściwą zapisujemy jako całkę oznaczoną
gdy funkcja ma w punkcie a osobliwość

Jeżeli funkcja ma w punkcie a osobliwość to

Zastosowanie: Niech funkcje f i g będą całkowalne na przedziale <a,b> oraz niech
dla każdego
Wtedy pole trapezu krzywoliniowego organiczonego wykresami funkcji f i g oraz prostymi x=a, x=b wyraża się wzorem
,Niech funkcja f ma ciągłą pochodną na przedziale <a,b> wtedy długość łuku krzywej
wyraża się wzorem
, Niech f będzie funkcją nieujemną i całkowalna na przedziale <a,b> ponadto niech T oznacza trapez krzywoliniowy ograniczony wykresem funkcji f osią OX oraz prostymi x=a, x=b wtedy objętość bryły powstałej z obrotu trapezu T wokół osi OX wyraża się wzorem
, Niech funkcja f ma ciągłą pochodną na przedziale <a,b> wtedy pole powstałe z obrotu wykresu funkcji f wokół osi OX wyraża się wzorem

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A=[a_ij] nazywamy liczbę rzeczywistą lub zespoloną detA określoną w następującym wzorem rekurencyjnym
1. Jeżeli stopień macierzy A jest równy 1 to detA=a_ij
2. Jeżeli stopień n macierzy A jest większy niż 1 to
gdzie
jest numerem dowolnie wybranego wiersza z macierzy A definicja Laplace

Macierz nieosobliwą nazywamy macierz kwadratową której wyznacznik jest różny od zera, Macierz która ma wyznacznik równy zero nazywamy macierzą osobliwą

Macierzą odwrotną do macierzy A nazywamy macierz oznaczoną przez A^-1 która spełnia następujący warunek A* A^-1 = A^-1 * A = I gdzie I jest macierzą jednostkową

Minorem stopnia k macierzy A nazywamy wyznacznik stopnia k jaki otrzymamy z macierz A przez skreślenie pewnej liczby kolumn i wierszy

Dopełnieniem algebraicznym D_ij elementu a_ij nazywamy iloczyn minora odpowiadającego elementowi a_ij oraz czynnika (-1)^i+j

Rzędem macierzy A=[a_ij]_mxn nazywamy
-liczbę zero gdy macierz jest zerowa
-liczbę równą największemu ze stopni jej różnych od zera minorów gdy macierz A jest niezerowa

Układem Cramera nazywamy układ równań w którym główną macierzą jest macierz kwadratowa nieosobliwa

Układ taki ma tylko jedno rozwiązanie postaci
gdzie A_j
jest macierzą w której j-tą kolumnę zastąpiono wyrazami wolnymi

Kroneckera-Capelliego. Układ równań liniowych ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rzA = rzU przy czym gdy rzA = rzU = n to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy rzA = rzU < n to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od parametrów n-r

Niech V = [v_j]_nx1 będzie macierzą kolumnową o n wierszach każdą liczbę λ spełniają równanie
nazywamy wartością własną macierzy A, a macierz V nazywamy wektorem własnym macierzy A odpowiadającym wartości własnej λ

Powiemy ze funkcja dwóch zmiennych f ma w punkcie
granice właściwą g wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego ciągu punktów
zbioru

granica ciągu o wyrazie ogólnym
jest równa g

Powiemy że funkcja dwóch zmiennych f ma w punkcie
granice właściwą g wtedy i tylko wtedy gdy

Powiemy że funkcja dwóch zmiennych f ma w punkcie
granice niewłaściwą
wtedy i tylko wtedy gdy

Funkcja
jest ciągła w punkcie
jeżeli

Funkcja f jest ciągła na zbiorze A jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru

---