POCHODNE FUNKCJI

• Iloraz różnicowy

Niech
oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu

gdzie r>0 . Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie
odpowiadającym przyrostowi
, gdzie 0<
<r zmiennej niezależnej nazywamy liczbę :

Iloraz różnicowy jest tangensem kąta nachylenia siecznej przechodzącej przez punkty

do dodatniej części osi Ox

• Pochodna właściwa funkcji

Niech
oraz funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu
. Pochodną właściwą funkcji f w punkcie
nazywamy granicę właściwą :

• Pochodne funkcji elementarnych

• Styczna do wykresu funkcji

Niech
oraz niech funkcja ciągła f będzie określona przynajmniej na otoczeniu
. Prosta jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie
jeżeli jest granicznym położeniem siecznych funkcji f przechodzących przez punkty
gdy

Geometrycznie styczna jest prostą która w sąsiedztwie punktu styczności najlepiej przybliża wykres funkcji . Nie jest prawdą że każda prosta która ma tylko jeden punkt wspólny z wykresem funkcji jest do niego styczna .

Równanie stycznej do wykresu funkcji :

• Kąt przecięcia wykresów funkcji

Niech wykresy funkcji f i g mają punkt wspólny
przy czym funkcje mają pochodne właściwe w punkcie
. Kątem przecięcia wykresów funkcji f i g nazywamy kąt ostry
między stycznymi do wykresów tych funkcji w punkcie ich przecięcia .

Miara kąta przecięcia wykresów funkcji f i g wyraża się wzorem :

Gdzie
jest rzędną punktu przecięcia wykresów . Jeżeli
to przyjmujemy że

• Pochodne jednostronne właściwe funkcji

Niech
oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu

Pochodną lewostronną właściwą funkcji f w punkcie
nazywamy granicę właściwą

• Pochodna niewłaściwa funkcji

Niech funkcja f będzie funkcją ciągłą w punkcie
. Funkcja f ma w punkcie
pochodną niewłaściwą wtedy i tylko wtedy ,gdy

Fakt że funkcja f ma w punkcie
pochodną niewłaściwą zapisujemy w postaci

---