Kolokwium Nr 1 z Dynamiki

1. Sformułuj i objaśnij zasadę zachowania energii potencjalnej dla punktu materialnego.

Jeżeli punkt materialny porusza się pod działeniem potencjalnego pola sił, tzn. siła
spełnia warunek
dla potencjału j zależnego wyłącznie od położenia punktu, to energia potencjalna tego punktu materialnego
jest stała względem czasu.

2. Czy płaskie pole sił [
,
] jest potencjalne? Jeżeli tak to wyznaczyć ten potencjał.

Odp.: Tak, bo
dla
.

3. Prowadnica tworząca kąt
z poziomem obraca się wokół osi pionowej ze stałą prędkością kątową
. Znaleźć równanie ruchu punktu materialnego poruszającego się bez tarcia wzdłuż tej prowadnicy. Przyjąć początkową odległość punktu od osi obrotu
i prędkość początkową punktu równą zeru.

Odp.:
, gdzie
.

Uwaga: Na rysunkach prędkość względna i przyśpieszenie względne są skierowane wzdłuż os Y czego nie bardzo widać. Obliczenia. Z praw ruchu złożonego i kinematyki bryły obliczamy: prędkość względna: , prędkość unoszenia: , przyśpieszenie względne: , przyśpieszenie unoszenia: , przyśpieszenie Coriolisa: . Rzut przyśpieszenia bezwzględnego na Y: Rzut II PN na Y: . Stąd wynika różniczkowe równanie ruchu: . Jego rozwiązanie ogólne . Z warunków początkowych obliczamy: , oraz .

4. Punkt materialny o masie m trwale połączony ze sprężyną o stałej k wykonuje jednokierunkowe drgania własne. Obliczyć częstość tych drgań.

Odp.:
. Obliczenia: Z warunków zadania wynika, że drugie prawo Newtona ma w rozpatrywanym przypadku postać
. Jego rozwiązaniem ogólnym jest funkcja
gdzie
nazywane jest częstością drgań własnych.

5. Sformułuj i objaśnij zasadę zachowania krętu dla układu punktów materialnych.

Prędkość zmian krętu (względem punktu 0) układu punktów materialnych jest równa momentowi głównemu (względem punktu 0) układu sił zewnętrznych działających na rozpatrywany układ punktów

.

6. Sformułuj i objaśnij zasadę zachowania energii potencjalnej dla układu punktów materialnych.

Jeżeli założyć, że każda z sił zewnętrznych
ma potencjał
, tzn.
,

to energia potencjalną układu punktów

jest stała względem czasu.

7. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o kręcie bryły w ruchu kulistym.

Odp.: Jeżeli A jest środkiem ruchu kulistego bryły to kręt bryły względem A wynosi

gdzie
jest wektorem prędkości kątowej bryły a
tensorem momentów bezwładności bryły względem punktu A.

8. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o kręcie bryły.

Odp.: Jeżeli A jest punktem bryły to kręt bryły względem zera globalnego układu wspołrzędnych wynosi

gdzie
jest wektorem prędkości kątowej bryły a
tensorem momentów bezwładności bryły względem punktu A.

Uwaga: Kręt nie jest liczbą rzeczywistą - ma trzy rzeczywiste składowe.

9. Sformułuj i objaśnij zasadę zachowani krętu bryły w ruchu kulistym.

Jeżeli A jest środkiem ruchu kulistego bryły to
, gdzie
jest tensorem momentów bezwładności bryły względem punktu A, natomiast
jest momentem głównym względem punktu A układu sił zewnętrznych działających na bryłę.

10. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o energii kinetycznej bryły w ruchu kulistym.

Odp.: Jeżeli A jest środkiem ruchu kulistego bryły to

gdzie
jest wektorem prędkości kątowej bryły a

jest nazywane momentem bezwładności bryły względem osi równoległej do
i przechodzącej przez punkt A.

11. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o energii kinetycznej bryły.

Odp.: Jeżeli A jest punktem bryły to

gdzie
jest wektorem prędkości kątowej bryły a

jest nazywane momentem bezwładności bryły względem osi równoległej do
i przechodzącej przez punkt A.

12. Sformułuj i objaśnij zasadę zachowania energii kinetycznej bryły:

Jeżeli A jest punktem bryły to

gdzie:
jest wektorem głównym układu sił zewnętrznych działających na bryłę, a

jest momentem głównym względem punktu A układu sił zewnętrznych działających na bryłę.

13. Prawidłowy jednorodny stożek o masie M, wysokości h i rowartości 2 toczy się bez poślizgu po poziomej płaszczyźnie ze stałą, co do wartości bezwzględnej prędkością kątowa
. Obliczyć kręt stożka wzgldem jego wierzchołka oraz jego energię kinetyczną.

Odp:
;
.

Obliczenia w lokalnym układzie współrzędnych bo jego osie są głównymi osiami bezwładności stożka: Z warunków zadania wynika, że lokalne składowe wektora prędkości kątowej stożka wynoszą ; ; . Z twierdzenia o kręcie bryły ( ) wynika ; ; bo ; . Z twierdzenia o energii kinetycznej bryły ( ) wynika bo

14. (
) Jednorodny walec kołowy o masie M i promieniu r wtacza się bez poślizgu na pochylnię. Na jaką wysokość wtoczy się walec, jeżeli prędkość początkowa środka jej masy wynosi
?

Odp.:
.

Obliczenia: Z kinematyki toczenia się bez poślizgu wynika, że prędkość kątowa walca wynosi
. Z twierdzenia o energii kinetycznej bryły wynika, że
, gdzie
jest momentem bezwładności walca wzgledem osi symetrii. Zatem
. Z zasady zachowania energii
obliczamy
.

15. Prawidłowy jednorodny stożek o masie M, wysokości h i promieniu podstawy R toczy się bez poślizgu po poziomej płaszczyźnie ze stałą, co do wartości bezwzględnej prędkością kątowa
. Obliczyć moment główny oddziaływania płaszczyzny na stożek.

Odp.: Globalne składowe momentu reakcji płaszczyzny względem wierzchołka stożka wynoszą:

Obliczenia w lokalnym układzie współrzędnych, bo jego osie są głównymi osiami bezwładności stożka: Z warunków zadania wynika, że lokalne składowe wektora prędkości kątowej stożka wynoszą
;
;
.

Z twierdzenia o kręcie bryły (
) wynika

;
;

bo

;
.

Z warunków zadania wynika, że stożek porusza się ruchem kulistym wokół swego wierzchołka a linia kontaktu z płaszczyzną jest osią centralną chwilowego obrotu stożka. Z kinematyki ruchu kulistego wynika, że środek podstawy stożka A ma prędkość
, oraz
. Z drugiej strony środek postawy porusza się po okręgu ze stałą kątową prędkością (precesji)
. Stąd wynika
,
oraz
. Z taką samą prędkością kątową porusza się koniec wektora
. Zatem traktując wektor
jako wektor położenia swego końca mamy
.

Stąd
,
i
.

Z zasady zachowania krętu w ruchu kulistym wynika
, gdzie
jest momentem wszystkich siła działających na stożek względem jego wierzchołka. Z drugiej strony
, gdzie
jest momentem ciężaru stożka a
momentem reakcji płaszczyzny. Zatem

,
i
bo

,
i
.

16. Obliczyć główne centralne momenty bezwładności jednorodnego ośmiościanu.

Odp.: Każdy centralny moment bezwładności wynosi
gdzie a jest krawędzią ośmiościanu a 
jest jego masą.

Obliczenia: Ze względu na znaczną liczbę płaszczyzn symetrii i ich urozmaiconą orientację, każda oś centralna jest główną osią bezwładności. Wystarcza zatem obliczyć moment bezwładności względem osi z. Zauważmy, że płaszczyzna x,y dzieli ośmiościan na dwa ostrosłupy o identycznych masach i momentach bezwładności. Wysokość ostrosłupa wynosi . Przekrój ostrosłupa płaszczyzną z=const jest kwadratem o boku . Iterowanie odpowiednich całek daje: , .

17. Obliczyć główne centralne momenty bezwładności jednorodnego czworościanu.

Odp.:
, gdzie
.

Obliczenia: Ze względu na znaczną liczbę płaszczyzn symetrii i ich urozmaiconą orientację, każda oś centralna jest główną osią bezwładności. Wystarcza zatem obliczyć moment bezwładności względem osi z. Wysokość czworościanu wynosi . Przekrój czworościanu płaszczyzną z=const jest trójkątem równobocznym o boku i wysokości . Szerokość trójkąta na wysokości y=const wynosi . Iterowanie odpowiednich całek daje: ,

---