AKADEMIA MORSKA W GDYNI

PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW

W TELEKOMUNIKACJI

Temat: Szum gaussowski i funkcja autokorelacji.

Data wykonania ćwiczenia: 15.03.2010r.

Data oddania sprawozdania: 22.03.2010r.

Prowadzący zajęcia:

dr inż. Stanisław Lindner

Wykonał:

Turski Michał

III SiST

Gdynia 2010

1. Wstęp teoretyczny

Rozkład normalny jest również nazywany rozkładem Gaussa. Jest to szum, który można opisać statystycznie za pomocą rozkładu normalnego. Zmienna losowa X ma rozkład Gaussa, jeśli jej funkcja gęstości prawdopodobieństwa ma postać:

gdzie:

m_x - wartość średnia

σ_x² - wariancja zmiennej losowej X (średnia moc szumu).

W przypadku, gdy zmienna losowa X jest znormalizowana i m_x=0, oraz σ_x²=1, rozkład ten nazywamy standardowym rozkładem naturalnym, zależność tę możemy zapisać:

Wraz ze wzrostem σ² możemy zauważyć, że rozkład jest coraz bardziej płaski.

Rys. 1. Rozkład Gaussa.

Kolorem zielonym został zaznaczony standardowy rozkład Gaussa.

Proces gaussowski ma dwie zalety. Po pierwsze, procesy przypadkowe i losowo kreowane przez zjawiska fizyczne mają charakter rozkładu Gaussa. Po drugie, ma wiele właściwości, które umożliwiają uzyskanie wyników analitycznych.

Analiza szumów systemów telekomunikacyjnych często opiera się na wyidealizowanej formie szumu, nazywanej szumem białym, którego widmo gęstości mocy nie zależy od częstotliwości pracy. W wyniku jego korelacji otrzymujemy nieskończoną wartość korelacji dla przesunięcia (τ) równego zero oraz zerową wartość korelacji dla τ różnego od zera. Wykres autokorelacji dla szumu gaussowskiego wygląda następująco:

Rys. 2. Wykres autokorelacji szumu gaussowskiego.

W ten sposób odbiornik może ustalić przesunięcie powodowane przez kanał.

Funkcja autokorelacji lub inaczej korelacji własnej opisuje związek między wartością sygnału w dwóch różnych chwilach, odległych od siebie o τ. Pozwala między innymi określić czy w sygnale znajdują się składowe okresowe.

Podstawowe zależności:

- funkcja korelacji jest wyrażona wzorem:

gdzie:

x(t) - przebieg sygnału nadanego,

τ - przesunięcie,

y(t-τ) - przebieg sygnału odebranego przesuniętego o τ,

r(τ) - współczynnik korelacji zależny od przesunięcia (τ).

- funkcja autokorelacji jest wyrażona wzorem:

gdzie:

x(t) - przebieg sygnału nadanego,

τ - przesunięcie,

x(t-τ) - przebieg sygnału odebranego przesuniętego o τ,

r(τ) - współczynnik korelacji zależny od przesunięcia (τ).

Całkowanie pozwala uśrednić energię danego przesunięcia.

Wartość maksymalna funkcja r(τ):

.

Funkcja r(τ) jest funkcją symetryczną:

.

Funkcja r(τ) jest zawsze rzeczywistą i parzystą. Jej maksimum znajduje się w punkcie odpowiadającym zerowemu przesunięci, może przybierać wartości dodatnie oraz ujemne. Głównym zastosowaniem funkcji autokorelacji jest badanie na jej podstawie w jakim stopniu wartość sygnału w danej chwili mają wpływ na wartość sygnału w przyszłości.

2. Wyniki obserwacji

Podczas zajęć w laboratorium badaliśmy szum gaussowski i jego funkcję autokorelacji. Program z którego korzystaliśmy umożliwił nam porównanie idealnego rozkładu Gaussa, przybliżonego skończoną liczbą prążków (na wykresach rozkładów zaznaczony niebieskimi prążkami) z generowanym procesem losowym - szumem (na wykresie rozkładów zaznaczony czerwonymi prążkami). Program umożliwił również obserwację postaci funkcji autokorelacji szumu.

Parametry szumu:

SNR (stosunek sygnału do szumu) = 10dB

Odchylenie średnie = 0,5

Liczba przedziałów = 20; 100; 200

Zakres - <-5;5>

Sygnał losowy

Rys. 3. Wygenerowany szum - sygnał badany.

Liczba przedziałów = 20:

Rys. 4. Rozkład statystyczny

dla 20 przedziałów.

Rys. 5. Funkcja autokorelacji

szumu gaussowskiego.

Liczba przedziałów = 100:

Rys. 6. Rozkład statystyczny

dla 100 przedziałów.

Rys. 7. Funkcja autokorelacji

szumu gaussowskiego.

Liczba przedziałów = 200:

Rys. 8. Rozkład statystyczny

dla 200 przedziałów z małą liczbą próbek.

Rys. 9. Rozkład statystyczny

dla 200 przedziałów z dużą liczbą próbek.

Rys. 10. Funkcja autokorelacji szumu gaussowskiego.

Po zakończeniu badania szumu gaussowskiego i jego funkcji autokorelacji, zajęliśmy się generowaniem ciągów bitów pseudolosowych. Program z którego korzystaliśmy w tej części laboratorium wyznaczał wykresy funkcji korelacji i funkcji różnicowej dla wygenerowanych wcześniej ciągów.

Ciąg składający się z 15 bitów:

a) Ciąg nadany i ciąg odebrany są identyczne:

Ciąg wygenerowany oraz odebrany: 001101000010010

Rys. 11. Wykres funkcji korelacji.

Rys. 12. Wykres funkcji różnicowej.

b) Ciąg nadany i ciąg odebrany są różne:

Ciąg nadany: 001101000010010

Ciąg odebrany: 100111010100111

Rys. 13. Wykres funkcji korelacji .

Rys. 14. Wykres funkcji różnicowej.

c) Ciąg odebrany jest negacją ciągu nadanego:

Ciąg nadany: 001101000010010

Ciąg odebrany: 110010111101101

Rys. 15. Wykres funkcji korelacji.

Rys. 16. Wykres funkcji różnicowej.

Ciąg składający się ze 100 bitów:

a) Ciąg nadany i ciąg odebrany są identyczne:

Rys. 17. Wykres funkcji korelacji.

Rys. 18. Wykres funkcji różnicowej.

b) Ciąg nadany i ciąg odebrany są różne:

Rys. 19. Wykres funkcji korelacji.

Rys. 20. Wykres funkcji różnicowej.

Ciąg składający się z 200 bitów:

a) Ciąg nadany i ciąg odebrany są identyczne:

Rys. 21. Wykres funkcji korelacji.

Rys. 20. Wykres funkcji różnicowej.

3. Wnioski

1. Maksymalna wartość funkcji autokorelacji (tzw. szczyt) jest wskaźnikiem poziomu mocy szumu.

2. Pofalowania funkcji autokorelacji wynikają ze skończonej liczby próbek, w przypadku gdybyśmy mieli nieskończenie wiele próbek pofalowania zniknęłyby, a funkcja przypominałaby idealny impuls Dirac'a.

3. Funkcja autokorelacji może być wykorzystywana do badania „powtarzalności” sygnału, gdyż przyjmuje wartości maksymalne dla wartości przesunięcia τ równego wielokrotności okresu sygnału.

4. Generowany przez program proces (czerwone prążki) jest szumem gaussowskim przy dużej liczbie próbek (przy dłuższym czasie obserwacji powodował zrównanie się prążków czerwonych z niebieskimi - przebiegiem wzorcowym)

5. Przy identycznych ciągach wzorcowym i odebranym funkcja korelacji osiąga wartość maksymalną dla τ=0 równą 1, natomiast funkcja różnicowa w takiej sytuacji osiąga wartość 0 (sygnał został odebrany bezbłędnie).

6. W przypadku gdy ciąg nadany i odebrany są różne funkcja autokorelacji nie posiada impulsu Dirac'a.

8. Wraz ze wzrostem długości ciągu bitów zmniejsza się zafalowanie w otoczeniu wartości τ=0.

4. Bibliografia

1. Notatki z wykładu „technika radiowa”

2. Notatki z wykładu „przetwarzanie sygnałów w telekomunikacji”

3. http://zm219.zmet.agh.edu.pl/~bednar/dydaktyka/sad/temat02.pdf

4. http://en.wikipedia.org

5. http://pl.wikipedia.org

---