WYKLAD 2 - WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE

Zmienna wartość pieniądza w czasie to nieodłączny atrybut pieniądza właściwy nie tylko naszym czasom.

W teorii finansów, okresowe płatności nazywa się strumieniem pieniędzy, przepływem pieniędzy lub z angielskiego cash flow. Ciąg wydatków dokonywanych w równych odcinkach czasu nazywa się cash flow wypływów (ang. cash outflow), a ciąg wpływów pieniężnych nazwa się cash flow wpływów (ang. cash inflow).

Rys.. Cash flow wypływów.

Rys.. Cash flow: wypływów (strzałki skierowane w dół)

i wpływów (strzałki skierowane w górę).

Lub po odjęciu wpłat i wypłat w 7. i 10. okresie - rys.

Rys. Cash flow w 7. i 10. okresie został skompensowany -

dodatnie i ujemne przepływy w tym samym czasie redukują się.

Przykład 4.1.

Jeśli pan Adam złożył do banku 1.01.19X1 roku 1000zł na warunkach oprocentowania prostego, 20% rocznie, to po roku jego konto wzrośnie o kwotę 20%*1000zł = 0.2*1000zł = 200zł. Po kolejnym roku jego konto wzrośnie o następne 200zł i będzie posiadał na koncie już
1000 + 200 + 200 = 1400zł.

Gdyby pan Adam złożył swoje pieniądze na procent składany, 20% rocznie z kapitalizacją roczną, to po roku bank dopisałby mu, podobnie jak w poprzednim przykładzie
20%*1000 = 200zł. Miałby więc na koncie 1200zł w dniu 1.01.19X2r.

Procent składany tym różni się od procentu prostego, że w kolejnym roku bank oprocentowałby stopą 20% nie tylko kwotę kapitału pierwotnie złożoną w banku, a więc 1000zł., ale kwotę kapitału powiększoną o dopisane na koniec 19X1r. odsetki. Tak więc na koniec drugiego roku, a dokładniej 1.01.19X3r. bank dopisałby kwotę
1200zł*20% = 240zł, czyli pan Adam posiadałby już na koncie kwotę:
1000zł + 200zł + 240zł = 1440zł, a więc o 40zł. więcej niż w przypadku oprocentowania konta procentem prostym. W kolejnym roku bank naliczyłby panu Adamowi odsetki od kwoty 1440zł, a nie jak w przypadku procentu prostego od kwoty 1000zł.

Oznaczenia:

i - bieżąca chwila czasu, i = 1, 2, ..., n, ... ,

n - liczba lat lub ogólniej liczba okresów (pożyczania od kogoś lub inwestowania),

r - oprocentowanie, stopa procentowa stała w czasie,

r_i, i = 1, 2, ..., i,, ..., n, ... - oprocentowanie, stopa procentowa zmienna w czasie, wartość stopy procentowej w i-tym okresie kapitalizacji wynosi r_i,

PV - obecna (bieżąca) wartość kapitału (ang. Present value),

PV₀, PV₁, ..., PV_n - wartość kapitału bieżąca dla chwili 0, 1, ..., n,

FV - przyszła wartość kapitału (ang. future value),

FV_n FV_n-1, ..., FV₁, FV₀ - wartość przyszła kapitału w chwili n, (n-1), ..., 1, 0.

Oczywiście FV₀ = PV, a w oznaczeniu FV_n często opuszczany indeks n; FV_n FV.

Procentem prostym nazywa się odsetki płacone lub zarabiane wyłącznie od podstawowej kwoty kapitału (ang. simple interest).

Wartość przyszłą FV_n kwoty PV₀ oprocentowanej procentem prostym o stopie r po n okresach (latach) można obliczyć ze wzoru:

FV_n = PV + PV*n*r

Wzór jest słuszny również, gdy

- n jest niecałkowitą liczbą lat,

- okres, po którym naliczane są odsetki nie jest rokiem, ale innym okresem, jak na przykład dzień, miesiąc, kwartał, półrocze; wówczas r oznacza stopę procentową w tym okresie.

gdzie r₁, r₂, ..., r_n - stopa oprocentowania w poszczególnych okresach.

Proces dopisywania odsetek do kwoty kapitału nazywa się kapitalizacją - odsetki są kumulowane z kwotą kapitału (ang. compounding).

Okres, po którym dopisywane są odsetki do kwoty kapitału, nazywa się okresem kapitalizacji (ang. compounding period).

Procentem składanym (ang. compound interest) nazywa się odsetki płacone lub zarabiane nie tylko od podstawowej kwoty kapitału ale i od zapłaconych lub zarobionych odsetek we wcześniejszym okresie ich naliczania; o ile te odsetki nie zostały już przez pożyczającego lub inwestującego wycofane (podjęte).

Wartość przyszłą FV_n kwoty PV₀ z kumulacją odsetek o stopie procentowanej r po n okresach (latach) można obliczyć ze wzoru:

,

lub

, dla r₁ = r₂ = ... = r_n = r.

Albo

FV_n = PV*
. , gdzie

- Mnożnik Wartości Przyszłej po n okresach i stopie procentowej r,

= MWP(n,r) = (1 + r)ⁿ ,

który można odczytać w tablicach finansowych.

Proces obliczania wartości przyszłej, z kumulacją odsetek, przedstawia rysunek.

Rys. Proces obliczania wartości przyszłej.

Obliczenie wartości przyszłej (FV_n) odpowiada na pytanie: jaka będzie wartość przyszła pewnej kwoty (PV) zainwestowanej lub otrzymanej dziś w określonych warunkach rynkowych?.

Często jednak trzeba odpowiedzieć na inne pytanie: ile jest warta w tej chwili kwota FV_n, którą otrzyma się w przyszłości w określonych warunkach rynkowych?.

Odpowiedź na postawione pytanie można znaleźć obliczając wartość obecną PV

Dla stałej (takiej samej w każdym okresie kapitalizacji) stopy procentowej wzór przybiera postać:

, dla r₁ = r₂ = ... =r_n = r.

Lub

PV = FV_n*
, gdzie

- - mnożnik wartości obecnej MWO

= MWO(n,r) =
.

Proces obliczania wartości obecnej przedstawia rysunek.

Rys. Wartość przyszła 1zł dla różnych stóp procentowych

i różnej liczby okresów kapitalizacji.

Efektywną roczną stopą procentową przy m kapitalizacjach w ciągu roku nazywa się taką stopę, która dawałaby to samo oprocentowanie przy jednokrotnej, rocznej kapitalizacji (ang. effective annual rate - EFF).

, czyli

Zamiast więc stosowania kapitalizacji częstszej niż roczna można korzystać ze stopy efektywnej i kapitalizacji rocznej.

gdzie:
m - liczba kapitalizacji w ciągu roku,
n - liczba lat oprocentowania kapitału,
r_nom - oprocentowanie nominalne.

Pojęcie oprocentowania nominalnego i efektywnego można stosować do okresu innego niż rok i do liczby kapitalizacji w tym właśnie okresie. Jeśli okresem takim będzie, na przykład miesiąc, będzie się mówić o miesięcznym oprocentowaniu nominalnym i miesięcznym oprocentowaniu efektywnym.

Kapitalizacja może być także, na przykład, tygodniowa, dzienna itd. Można wprowadzić wykorzystywane w teorii finansów pojęcie kapitalizacji ciągłej:

gdzie e ≈ 2.718 jest podstawą logarytmów naturalnych.

Renta

W Polsce znaczenie renty jest rozumiane na wiele sposobów. W potocznym rozumieniu jest to „ okresowe lub dożywotnie świadczenie pieniężne, np. z tytułu ubezpieczeń społecznych, zapewniające osobie uprawnionej środki utrzymania w określonych sytuacjach życiowych (po przekroczeniu ustalonego wieku pracownika, w wypadku inwalidztwa itp.)^*. Osoby uprawnione do korzystania z takiego świadczenia nazywa się RENCISTAMI, a wartość samego okresowego świadczenia - rentą. Ten sam słownik podaje także ekonomiczne znaczenie renty „regularnie otrzymywany dochód z kapitału, majątku (np. papierów wartościowych, z wydzierżawionej ziemi) nie wymagający wkładu pracy właściciela”*. Osoby korzystające z takich dochodów nazywa się (jak w powieściach Balzaka) RENTIERAMI.

W finansach rentą nazywa się proces dokonywania serii wpłat lub wypłat co pewien stały, określony odcinek czasu. Wartość wpłat lub wypłat nazywa się wielkością strumienia pieniężnego lub płatnością, oznaczaną PMT (skrót od ang. Payment). Model renty przedstawia rysunek.

Rys. Renta

W rencie zwykłej płatnej z dołu ( ang. ordinary annuity) płatności występują na koniec każdego odcinka czasu (rys. 4.7).

W rencie płatnej z góry ( ang. annuity due) płatności występują na początku każdego odcinka czasu.

Wartością przyszłą renty FVA - Future Value of Annuity (renty z góry FVAD) jest taka wielkość kapitału na końcu ostatniego odcinka czasu, że jest ona równoważna serii płatności przy danym oprocentowaniu i danej liczbie okresów.

FVA nie jest wartością świadczenia, które inwestor będzie mógł pobierać w przyszłości, ale wartością kapitału skumulowanego na końcu okresów płatności.

Wartością obecną renty PVA (renty z góry PVAD) jest taka wielkość kapitału w chwili t = 0, że jest ona równoważna serii płatności przy danym oprocentowaniu i danej liczbie okresów.

Okresy czasu pomiędzy płatnościami mogą, ale wcale nie muszą być okresami rocznymi.

Jaka będzie wartość renty - wartość uskładanego kapitału - po n okresach, jeśli okresowe wpłaty wynoszą PMT (ang. payment - płatność), a oprocentowanie r? Proces obliczenia wartości FVA przedstawia graficznie rysunek.

Rys. Proces obliczania wartości przyszłej kapitału

gromadzonego przez n okresów

.

Proces obliczania renty, przy założeniu, że PMT₁=PMT₂=...=PMT_n=PMT, przedstawia rys.

Rys. Proces obliczania wartości przyszłej gromadzonego kapitału -

wartości przyszłej renty.

Na wielkość przyszłej wartości renty składa się n niezależnych składników:
, , ..., , , ,.

Każdy z nich jest wartością przyszłą odpowiedniej wpłaty.
= PMT.
= PMT*(1+r).

Podobnie oblicza się:
= PMT*(1+r)²,

.

= PMT*(1+r)^{n - 2}, (n-1) od końca wpłata dokonana w momencie 2
procentowała przez (n-2) okresy i w końcu
= PMT*(1+r)^{n - 1}, n-ta od końca wpłata dokonana w momencie 1 procentowała przez (n-1) okresów.

Dalej więc mamy

Obliczając sumę szeregu, otrzymuje się

lub

jest Mnożnikiem Wartości Przyszłej Renty publikowanym w tablicach finansowych.

Płatności PMT w modelu renty płatnej z góry są o cały okres wcześniejsze. Każda płatność będzie więc procentowała o 1 okres dłużej. W rencie (zwykłej) ostatnia płatność nie procentuje, w rencie płatnej z góry ostatnia płatność procentuje przez jeden okres.

Zatem, wartość przyszła renty z góry: FVAD = FVA*(1+r)

Wartość obecną renty PVA (ang. Present Vvalue of Annuity) obliczyć można w następujący sposób

, lub dokonując prostego przekształcenia

Tabele Mnożnika Wartości Obecnej Renty MWOR są również publikowane:

, gdzie

Analogicznie dla obliczenia wartości przyszłej renty płatnej z góry:

PVAD = PVA*(1+r)

Renta wieczna.

Renta wieczna to renta (zwykła) o płatnościach, które się nigdy nie kończą, a więc o nieskończenie wielu płatnościach (ang. perpetuities)

Wzór na wartość obecną renty wiecznej łatwo wyprowadzić ze wzoru na wartość renty zwykłej przechodząc z liczbą płatności do nieskończoności:

Zatem

Przykład.4.2

Ile powinien wpłacić Pan Adam do banku dziś, aby w następnych kolejnych latach otrzymywać wypłaty w wysokości 2000zł rocznie przez nieograniczony okres czasu, jeśli zakłada się, ze stopa procentowa będzie stała r=15%?. Albo, inaczej mówiąc, jaka kwota wpłacona dziś, zrównoważy konieczność dokonywania wpłat przez nieograniczony okres czasu w wysokości 2000 zł.?

Rozwiązanie sprowadza się do obliczenia wartości obecnej renty wiecznej, rys.

Rys. Proces obliczania PVA (2000zł) dla renty wiecznej.

Przykład.3

Ile powinien wpłacić Pan Adam do banku dziś, aby w następnych kolejnych latach otrzymywać wypłaty rosnące o 12% rocznie w stosunku do obecnej wartości 2000zł przez nieograniczony okres czasu, jeśli zakłada się, ze stopa procentowa będzie stała r=15%?. Inaczej mówiąc, jaka kwota wpłacona dziś, zrównoważy konieczność dokonywania rosnących o 12% rocznie wpłat przez nieograniczony okres czasu, przy obecnej wartości wpłaty równej 2000zł.?

Rozwiązanie sprowadza się do obliczenia wartości obecnej renty wiecznej, rys

,

gdzie g - stopa wzrostu płatności (12%).

Rys. Proces obliczania wartości obecnej renty wiecznej przy

wzrastających płatnościach.

Spłata pożyczek

Rys. Spłata kredytu - r = 20% w okresie, kwota kredytu = 1000, 12 rat.

Spłata kredytu stałą kwotą sumy raty i odsetek

Rys. Spłata kredytu - r = 20% w okresie, kwota kredytu = 1000, 12 rat.

Przykład 5.

Pan Adam osiągnie wiek emerytalny za n lat. Postanowił przez te lata wpłacać na swoje konto osobiste kwoty w wysokości PMT₁, PMT₂, ..., PMT_n rocznie, aby przez następne m. lat móc otrzymywać emeryturę roczną w kwocie EMT₁, EMT₂, ..., EMT_m.

W jakiej sytuacji pan Adam może się spodziewać, że jego oczekiwania zostaną zrealizowane? Pan Adam zakłada, że w całym rozważanym okresie 1, ..., n+m. lat stopa procentowa będzie taka sama.

Rozważaną sytuację przedstawia rysunek **.

Wynika z niej, że wartość przyszła kapitału na koniec roku n-tego FVA_n.r powinna być równa

wartości obecnej kapitału wypłaconego w latach n+1 do n+m., czyli PVA_m,r.

Rys. Proces obliczania równowagi między rocznymi składkami a rocznymi wypłatami.

^* Słownik języka polskiego, PWN, Warszawa 1981.

2

---