Praca zaliczeniowa

Portfel inwestycyjny banku - ćwiczenia

prof. dr hab. Jerzy Nowakowski

Robert Marczyński

nr albumu 31689

Grzegorz Skrzypczyński

nr albumu 31939

Studia dzienne

Semestr zimowy 2005/06

Zadanie 1.

W ciągu 2 lat kalendarzowych obserwowano ceny trzech spółek giełdowych A, B i C. Ceny na koniec każdego miesiąca znajdują się w tabeli do zadania 1. Cena w miesiącu 0 oznacza cenę w ostatnim dniu grudnia poprzedniego roku. Cena w miesiącu 1 to cena na koniec stycznia. Ponadto spółki wypłaciły w ciągu 2 lat następujące dywidendy w PLN/akcja.

Nazwa Spółki	Rok I	Rok II	miesiąc wypłaty dywidendy
A	0,40	0,05	czerwiec
B	4,00	4,50	maj
C	3,00	0,00	grudzień

1. Na podstawie powyższych danych wyznacz portfel składający się z akcji A, B, C, którego ryzyko będzie najmniejsze. Przyjmij jednocześnie, że dopuszczalna jest krótka sprzedaż, przy czym wartość pożyczonych akcji nie może przekraczać 10% wartości inwestycji. Ponadto inwestor wymaga, aby roczna stopa zwrotu z inwestycji wyniosła przynajmniej 20%.

2. Na rynku dostępne są bony skarbowe o terminie wykupu przypadającym za miesiąc. Rentowność tych bonów wynosi 12,12%, obliczona przy założeniu, że rok liczy 360 dni, a pełen miesiąc to 30 dni. Zakładając, że bony te mogą stać się dodatkowym składnikiem portfela, wyznacz nowy portfel, zgodnie z wymaganiami punktu a)

Do wyliczenia oczekiwanej stopy zwrotu portfela zastosujemy średnia ważoną rentowności akcji wchodzących w skład portfela:

Natomiast wariancja i odchylenie standardowe portfela wyliczona zostanie ze wzoru:

oraz

W celu optymalizacji portfela potrzebne nam są dane statystyczne dla poszczególnych akcji wyliczone na podstawie ich miesięcznych rentowności:

	-6,67%	7,81%	-1,18%
	-4,76%	8,70%	1,19%
	-1,25%	-9,33%	-2,94%
	-1,27%	-5,88%	-3,64%
	12,82%	-6,56%	-6,29%
	18,18%	-3,39%	3,36%
	8,33%	-1,75%	-5,84%
	-10,58%	-3,57%	-2,07%
	-12,90%	7,41%	-3,52%
	-2,47%	10,34%	-5,11%
	2,53%	9,38%	-15,38%
	3,70%	20,00%	13,64%
	4,76%	7,14%	0,84%
	4,55%	-2,22%	-10,00%
	-13,04%	-4,55%	-2,78%
	15,00%	1,19%	-8,57%
	13,04%	-0,12%	-4,17%
	10,58%	-1,19%	-8,70%
	14,04%	-3,61%	-8,33%
	36,92%	-1,25%	-9,09%
	1,12%	1,27%	-5,71%
	-6,67%	2,50%	15,15%
	-10,71%	-2,44%	18,42%
	-9,33%	2,50%	-2,22%
AR	2,75%	1,35%	-2,21%
V	0,014289	0,004561	0,006486
S	11,95%	6,75%	8,05%
CV	4,351504	5,008589	-3,65035

Portfel o minimalnym ryzyku przy zachowaniu minimalnej zadanej stopy zwrotu można znaleźć z iloczynu macierzy:

	0,028579	-0,00288	-0,00728	1	0,02747
		-0,00288	0,009122	0,002449	1	0,013484
		-0,00728	0,002449	0,012971	1	-0,02206
		1	1	1	0	0
		0,02747	0,013484	-0,02206	0	0

Odwracając macierz uzyskujemy:

	20,86901	-29,0805	8,211515	0,23379	5,306323
		-29,0805	40,5231	-11,4426	0,294878	20,73847
		8,211515	-11,4426	3,231058	0,471331	-26,0448
		0,23379	0,294878	0,471331	-0,00391	0,05522
		5,306323	20,73847	-26,0448	0,05522	-12,2602

Wektor
przyjmuje postać:

	0
		0
		0
		1
		0,016667

Po wymnożeniu uzyskujemy wektor:

	32,22%
		64,05%
		3,73%
		-0,00299
		-0,14912

Pierwsze trzy elementy wektora stanowią udział poszczególnych akcji w portfelu, a zatem powinniśmy kupić 32,22% akcji spółki A, 64,05% spółki B oraz 3,73% spółki C. Przy tak dobranych proporcjach portfel przyjmie następujące parametry:

Zatem minimalne ryzyko 12,21% portfel przyjmuje dla zadanej stopy zwrotu 20%.

Następnie po włączeniu lokaty pozbawionej ryzyka o rentowności rocznej 12,12 %, czyli miesięcznej 1,01%, macierz D przyjmie postać:

	0,028579	-0,00288	-0,00728	0	1	0,02747
		-0,00288	0,009122	0,002449	0	1	0,013484
		-0,00728	0,002449	0,012971	0	1	-0,02206
		0	0	0	0	1	0,0101
		1	1	1	1	0	0
		0,02747	0,013484	-0,02206	0,0101	0	0

Odwracając otrzymujemy:

	41,26238	6,708231	22,9914	-70,96201	-0,00442	0,437804
		6,708231	103,3295	14,49495	-124,5327	-0,12317	12,1946
		22,9914	14,49495	13,94262	-51,42897	0,298689	-29,5732
		-70,962	-124,533	-51,429	246,9237	0,828898	16,94079
		-0,00442	-0,12317	0,298689	0,828898	-0,00113	0,112089
		0,437804	12,1946	-29,5732	16,94079	0,112089	-11,0979

Wektor
przyjmuje postać:

	0
		0
		0
		0
		1
		0,016667

Po wymnożeniu uzyskujemy wektor:

	0,29%
		8,01%
		-19,42%
		111,12%
		0,0007
		-0,0729

Jak wynika z analizy otrzymanych wyników, udział w portfelu inwestycyjnym akcji C wynosi -19,42%, a więc nie spełnia warunków dotyczących maksymalnej wartości krótkiej sprzedaży akcji. Dlatego macierz D poszerzono o warunek określający wielkość tej sprzedaży dla akcji C:

	0,028579	-0,00288	-0,00728	0	1	0,02747	0
		-0,00288	0,009122	0,002449	0	1	0,013484	0
		-0,00728	0,002449	0,012971	0	1	-0,02206	1
		0	0	0	0	1	0,0101	0
		1	1	1	1	0	0	0
		0,02747	0,013484	-0,02206	0,0101	0	0	0
		0	0	1	0	0	0	0

Po odwróceniu macierzy otrzymujemy:

	3,349545	-17,194	0	13,8444	-0,49696	49,20403	1,649001
		-17,194	88,26037	0	-71,0664	-0,43369	42,93932	1,039614
		0	0	0	0	0	0	1
		13,84441	-71,0664	0	57,222	1,930648	-92,1434	-3,68862
		-0,49696	-0,43369	0	1,93065	-0,00753	0,745628	0,021423
		49,20403	42,93932	0	-92,1434	0,745628	-73,8246	-2,12106
		1,649001	1,039614	1	-3,68862	0,021423	-2,12106	-0,07172

Wektor
musi być rozszerzony:

	0
		0
		0
		0
		1
		0,016667
		-0,1

Mnożąc otrzymujemy:

	15,82%
		17,80%
		-10,00%
		76,38%
		0,0028
		-0,02727
		-0,00675

Cztery pierwsze elementy wektora stanowią udział poszczególnych akcji w portfelu, a zatem powinniśmy kupić 15,82% akcji spółki A, 17,80% spółki B oraz 76,38% wartości inwestycji przeznaczyć na obligacje. W stosunku do spółki C przeprowadzamy krótką sprzedaż akcji na wartość 10% inwestycji. Przy tak dobranych proporcjach portfel przyjmie następujące parametry:

Zatem minimalne ryzyko 6,96% portfel przyjmuje dla zadanej stopy zwrotu 20%. Okazało się, że po dołączeniu obligacji ryzyko zmniejszyło się znacznie.

Zadanie 2.

W tabeli 2. zamieszczone są roczne stopy zwrotu funduszu z ostatnich 10 lat. Opierając się na teorii portfelowej oceń, czy jest to dobry fundusz, który można zarekomendować inwestorowi.

Aby ocenić jakość funduszu, należy, korzystając z danych historycznych, policzyć i zinterpretować odpowiednie wskaźniki efektywności. Najpierw należy obliczyć pewne wartości pojawiające się w później zaprezentowanych wzorach:

Średnia stopa zwrotu z portfela funduszu:

Średnia stopa zwrotu z portfela rynkowego:

Średnia stopa zwrotu z portfela wolnego od ryzyka:

Odchylenie standardowe portfela funduszu:

Odchylenie standardowe portfela rynkowego:

Odchylenie standardowe portfela od ryzyka:

1. Wskaźnik Sharpe'a

Wskaźnik Sharpe's dla badanego funduszu może być policzony z wzoru:

Jako punkt odniesienia możemy też policzyć wskaźnik Sharpe's dla całego rynku:

Wskaźnik Sharpe'a obrazuje, jaką stopę zwrotu ponad stopę zwrotu aktywów bezpiecznych uzyskano na każdą jednostkę całkowitego ryzyka. Dla badanego funduszu okazał się on być niższy niż dla portfela rynkowego. Oznacza to, że portfel funduszu leży poniżej linii CML i wskazuje, że został on niewłaściwie wybrany.

2. Wskaźnik Treynora

Wskaźnik Treynora jest wskaźnikiem podobnym do wskaźnika Sharpe'a, opiera się on jednak nie na odchyleniu standardowym, lecz na współczynniku β, czyli mierze ryzyka systematycznego. Na podstawie danych z tabeli możemy wyliczyć współczynnik β, a znając go obliczyć wartość wskaźnika Treynora:

Wskaźnik Treynora możemy policzyć również dla portfela rynkowego, przy czym tu β będzie wynosiło oczywiście 1.

Porównując wartość wskaźnika dla funduszu i rynku dochodzimy do podobnych wniosków, jak w podpunkcie a). Wskaźnik funduszu jest niższy niż wskaźnik rynku, portfel funduszu leży więć pod linią SML, czyli portfel rynkowy jest korzystniejszy od portfela funduszu, co ponownie świadczy o złym wyborze portfela funduszu..

3. alfa Jensena

Kolejnym wskaźnikiem, jest alfa Jensena, która jest ulepszeniem wskaźnika Treynora, uwzględniającym koniunkturę giełdową. Przedstawia ona odchylenia portfela od postulowanego przez model CAPM. Dla naszego funduszu wynosi ona:

Ujemny wskaźnik oznacza, że zyski funduszu leżą poniżej przeciętnej, więc fundusz „przegrywa” z rynkiem, czyli prawdopodobnie zarządzający nim posiadają gorsze umiejętności wyboru akcji niż reszta inwestorów.

4. alfa Sharpe'a

Alfa Sharpe's jest wskaźnikiem podobnym do zwykłego wskaźnika Sharpe's, który uwzględnia jednak koniunkturę. Od alfy Jensena róźni się ona tylko definicją ryzyka (używa ryzyka całkowitego zamiast systematycznego). W przypadku naszego modelu wynosi ona:

Interpretacja jest podobna jak w przypadku alfy Jensena - mówi ona, że zarządzający funduszem „przegrywają” z rynkiem.

Każdy z otrzymanych wyników świadczy negatywnie o jakości funduszu. Pierwsze dwa wskaźniki pokazują, że portfel funduszu jest gorszy niż portfel rynkowy, natomiast kolejne dwa potwierdzają, że fundusz posiada gorsze umiejętności wyboru akcji niż reszta rynku. Należy więc odradzić inwestorom lokowanie środków w tym funduszu.

8

---