MATEMATYKA - Macierze

Niech będą dane dwa zbiory M, N, kolejnych początkowych liczb naturalnych:

M =  1, 2, 3, 4, ..... m-1, m 

N =  1, 2, 3, 4, ..... n-1, n 

Niech dany będzie iloczyn kartezjański tych zbiorów, którego elementami są pary liczb, z których pierwsza należy do zbioru M, zaś druga do zbioru N:

Iloczyn kartezjański

M x N =  i, j  i   1, 2, 3, ..... m 

j   1, 2, 3, ..... n 

Definicja I

Jeżeli każdej parze ( i,j ) należącej do iloczynu kartezjańskiego

( i,j )  M x N przyporządkujemy dokładnie jedną liczbę rzeczywistą ( a_ij ) to funkcję tą nazywa się macierzą o elementach rzeczywistych.

Niech dane będą dwa zbiory:

M =  1, 2, 3 

N =  1, 2 

M x N = (1,1) (1,2) (2,1) (2,2) (3,1) (3,2)

Każdej parze ( i,j ) → a_ij

(1,1) → a₁₁

(1,2) → a₁₂ Macierz

(2,1) → a₂₁

(2,2) → a₂₂

(3,2) → a₃₂

Każdą macierz można zapisać w postaci tablicy o m - wierszach i o

n - kolumnach:

a₁₁ a₁₂  a_ij - gdzie:

a₂₁ a₂₂  i - nr wiersz, w którym dany element się znajduje

a₃₁ a₃₂  j - nr kolumny, w której dany element się znajduje

Liczby określające ilość wierszy (liczebność zbioru M), oraz liczby określające ilość kolumn (liczebność zbioru N) nazywamy wymiarem macierzy i zapisujemy:

m x n

Dane są zbiory:

M =  1, 2, 3 

N =  1, 2, 3, 4 

Zapisać macierz w postaci tablicy wiedząc, że:

a_ij =  1 dla i<j 

-2 dla i=j 

 ½ dla i>j

Rozwiązanie:

 a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄  -2 1 1 1 

 a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄  = ¹/₂ -2 1 1 

 a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₄  ¹/₂ ½ -2 1 

Macierze oznaczać będziemy dużymi literami alfabetu i tak np. macierz A o elementach a_ij , wymiaru m x n oznaczać będziemy A = [a_ij] m x n , lub krócej

A _{m x n}

B = [ a_ij] _{m x n} lub B_{m x n}

Definicja II

Macierz A = [a_ij ]_{m x n} nazywamy macierzą kwadratową jeżeli m=n.

A_{m x n} = A_n jeżeli m = n - macierz A stopnia n ( kwadratowa )

 a₁₁ a₁₂ a₁₃ ........................ a_1(n-1) a_1n 

 a₂₁ a₂₂ a₂₃ ........................ a_2(n-1) a_2n 

 a₃₁ a₃₂ a₃₃ ........................ a_3(n-1) a_3n 

A =  - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Macierz kwadratowa

• - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -  m = n

 a_(n-1)1 a_(n-1)2 a_(n-1)3 ..... a_{(n-1) (n-1)} a_{(n-1) n} 

 a_n1 a_n2 a_n3 ................ a_n(n-1) a _nn 

Definicja III

Macierz A = [ a_ij ]_{m x n} nazywamy macierzą prostokątną jeżeli mn.

Definicja IV

Elementy a₁₁, a₂₂, a₃₃ ...... A_nn ( i=j ) macierzy kwadratowej A_n ( A stopnia n) nazywamy główną przekątną macierzy.

Definicja V

Macierz A = [a_ij]_{m x n} , której wszystkie elementy a_ij = 0 nazywamy macierzą zerową i oznaczamy:

0_{m x n}

 0 0 

0_{3 x 2} =  0 0 

 0 o 

Definicja VI

Macierz kwadratową A = [a_ij]_{m x n} , której wszystkie elementy [a_ij] = 1 nazywamy macierzą jedynkową i oznaczamy:

J_{m x n}

 1, 1, 1 

J_{3 x 3} =  1, 1, 1 

 1, 1, 1 

Definicja VII

Macierz kwadratową A_n , której elementy [a_ij] spełniają warunek:

A_ij =  1 dla i = j 

 0 dla i j 

nazywamy macierzą jednostkową i oznaczamy:

I_n

a₁₁ a₁₂ a₁₃ 

I₃ = a₂₁ a₂₂ a₂₃ 

a₃₁ a₃₂ a₃₃ 

1, 0, 0 

I₃ = 0, 1, 0 

0, 0, 1 

I₂ = 1, 0 

0, 1 

Definicja VIII

Macierz kwadratową A_n , w której dla każdego i  j , a_ij = 0 nazywamy macierzą diagonalną:

1, 0, 0 

A₃ = 0, -2, 0  - na przekątnej są dowolne liczby rzeczywiste

0, 0, -⁵/₂  reszta zero

Definicja IX

Macierz kwadratową A_n , w której elementy [a_ij] = 0 dla i > j - nazywamy macierzą trójkątną - górną :

 1, 2, 0 

. 

A₃ =  0, 5, 3  - elementy poniżej głównej przekątnej to same zera

. 

 0, 0, 0 

Definicja X

Macierz kwadratową A_n , w której elementy [a_ij] = 0 dla i < j nazywamy macierzą trójkątną dolną :

 1, 0, 0 

. 

A₃ = -5, 3, 0  - elementy nad główną przekątną to same zera

 . 

-2, 0, 1 

Definicja XI

Macierz kwadratową A_n , w której dla każdej pary ( i, j )  M x N ( należącej do iloczynu kartezjańskiego M x N ) spełniony jest warunek a_ij = a_ji nazywamy macierzą symetryczną:

 a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄   1 5 3 

.  . 

 a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄  A₃ =  5 -2 1 

A_n = .  . 

 a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₄   3 1 0 

. 

 a₄₁ a₄₂ a₄₃ a₄₄ 

DZIAŁANIA NA MACIERZACH

Niech dane będą macierze:

A = [a_ij]_{m x n} ; B = [b_ij]_{m x n} ; C = [c_ij]_{m x n}

Definicja XII

Sumą macierzy A_{m x n} i B_{m x n} nazywamy macierz C_{m x n} , w której elementy c_ij spełniają warunek:

c_ij = a_ij + b_ij

np.

A_{2 x 3} + B_{2 x 3} =  a₁₁ a₁₂ a₁₃  +  b₁₁ b₁₂ b₁₃  +  a₁₁b₁₁ a₁₂b₁₂ a₁₃b₁₃ 

 a₂₁ a₂₂ a₂₃   b₂₁ b₂₂ b₂₃   a₂₁b₂₁ a₂₂b₂₂ a₂₃b₂₃ 

 1 3 -1   0 1 -1   1 4 -2 

A + B =  4 2 2  +  2 1 1  =  6 3 3 

 0 1 5  -3 0 1  -3 1 6 

A + B =  2 1  +  1 0 2  =  3 1 ? 

 3 0   1 1 1   4 1 ?  - działanie niewykonalne !

Dodajemy macierze tylko tych samych wymiarów !

Definicja XIII

Iloczynem liczby rzeczywistej  przez macierz A = [a_ij]_{m x n} nazywamy taką macierz B = [b_ij]_{m x n} , w której b_ij =  x a_ij

Np.

 a₁₁ a₁₂   a₁₁ a₁₂ 

 x A_{3 x 2} =  a₂₁ a₂₂  =  a₂₁ a₂₂ 

 a₃₁ a₃₂   a₃₁ a₃₂ 

Właściwości powyższych działań:

1. Dodawanie macierzy jest przemienne, czyli :

A + B = B + A - gdy :

A_{m x n} ; B_{m x n} ( muszą być jednakowego wymiaru )

2. Dodawanie macierzy jest łączne :

( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( muszą być tego samego wymiaru )

3. Jeżeli A + B = A  B = 0 ( B jest macierzą zerową 0_{m x n} )

4. Rozdzielność mnożenia macierzy przez liczbę względem dodawania macierzy :

 x (A + B) =  x A +  x B A_{m x n} ; B_{m x n}

Definicja XIV

Różnicą macierzy A - B nazywamy sumę macierzy A i macierzy przeciwnej do B :

A - B = A + (-B) ( elementy macierzy B dodajemy z

przeciwnym znakiem )

B = -1B

MNOŻENIE MACIERZY

Definicja XV

Iloczynem macierzy A_{m x k} przez macierz B_{k x m} nazywamy taką macierz C_{m x n} , w której elementy c_ij spełniają warunek :

c_ij = a_i1 x b_1j + a_i2 x b_2j + a_i3 x b_3j + ............. + a_ik x b_kj

dla każdej pary ( i , j )

np.

Wyznacz iloczyn A x B :

 a₁₁ a₁₂   b₁₁ b₁₂   a₁₁b₁₁ + a₁₂b₂₁ a₁₁b₁₂ + a₁₂b₂₂ 

A_{2 x 3} x B_{2 x 2} =  a₂₁ a₂₂  x  b₂₁ b₂₂  =  a₂₁b₁₁ + a₂₂b₂₁ a₂₁b₁₂ + a₂₂b₂₂

 a₃₁ a₃₂   a₃₁b₁₁ + a₃₂b₂₁ a₃₁b₁₂ + a₃₂b₂₂

A_{3 x 2} x B_{2 x 2} = C_{3 x 2}

Aby wyznaczyć element znajdujący się w pierwszym wierszu w pierwszej kolumnie należy wymnożyć pierwszy wiersz pierwszej macierzy przez pierwszą kolumnę drugiej macierzy,

Aby znaleźć element pierwszy wiersz drugiej kolumny należy wymnożyć pierwszy wiersz pierwszej macierzy przez drugą kolumnę drugiej macierzy.

 1 3 1   1 2   1+3+2 2+9+2   6 13 

A x B =  2 1 1  x  1 3  =  2+1+2 4+3+2  =  5 9 

 2 2 

Własności mnożenia

1. Mnożenie macierzy nie jest przemienne :

A x B  B x A

2. Łączność mnożenia :

( A x B ) x C = A x ( B x C )

3. Rozdzielczość mnożenia względem dodawania :

A x ( B + C ) = A x B + A x C

4. Jeżeli macierz ( F + G ) mnożymy przez macierz H to :

( F + G ) x H = F x H + G x H

( nie wolno przestawiać elementów )

( F + G ) x H  H x F + H x G

Macierz transponowana

Definicja :

Macierz B_{n x m} nazywa się transpozycją lub macierzą transponowaną do macierzy

A_{m x n} , jeśli dla każdej pary ( i j )  M x N zachodzi równość :

a_ij = b_ji

A =  a₁₁ a₁₂ a₁₃  A^T =  a₁₁ a₂₁  pierwszy wiersz stał się

 a₂₁ a₂₂ a₂₃   a₁₂ a₂₂  pierwszą kolumną ,

 a₁₃ a₂₃  drugi wiersz - drugą kolumną

Znajdź macierz : A^T

a)  1 2 3  b)  1 2  c)  2 3 

A =  0 1 1 A =  0 1  A =  1 1 

 1 3 1   -1 12   -4 5 

• 7 0 

Dane są macierze :

 4 1   3 1 

A =  5 0  B =  0 0 

 0 1   2 1 

 2 2   0 1 

Oblicz : a) ( A + B)^T ; b) A^T + B^T

Własność :

( A + B )^T = A^T + B^T

Dane są macierze :

 1 0 -1 

A =  2 -1 3  B =  3 2 0 

 0 1 2   1 -1 0 

Oblicz :

a) (A * B)^T b) B^T * A^T c) A^T * B^T

Własność :

( A x B )^T = B^T x A^T

Definicja :

Jeżeli macierz A = [a_ij ]_{n x n} ( kwadratowa ) spełnia warunek :

A^T = A

To macierz A jest macierzą symetryczną ( a_ij = a_ji )

Definicja :

Macierz kwadratową A spełniającą warunek : A^T x A = A x A^T = I ( równa macierzy jednostkowej ) nazywamy macierzą ortogonalną.

Macierz odwrotna

Definicja :

Macierz kwadratową B = [ b_ij ]_{n x n} nazywamy macierzą odwrotną do macierzy A =[a_ij ] jeśli spełniony jest warunek :

A x B = B x A = I

Macierz odwrotną do macierzy A oznaczamy A^-1

Sprawdź, czy macierz B jest macierzą odwrotną do macierzy A :

1)

A =  4 1  B = 1/7  3 -1 

 5 3   -5 4 

2)

 -1 2 3   0 -1 1 

A =  4 5 1  B =  2 0 1 

 0 1 -1   -1 1 1 

3)

 1 2 0   -1 1 -1 

A =  5 3 1   2/3 -1/2 ½ 

 2 1 1   -2/3 ½ 3/2

1. Znajdź o ile istnieje macierz odwrotną do macierzy A :

A =  1 2 

 -2 -4 

Definicja :

Macierz, która nie posiada macierzy odwrotnej nazywamy macierzą osobliwą.

Wyznacz macierz odwrotną do macierzy :

A =  1 2 

 3 1 

Dane są macierze :

 1 0 3 1   1 0 

A^T =  1 3 0 2  B =  1 -1  C^T =  1 2 2 1 

 5 -1 0 2   2 -1   0 1 4 -1 

Oblicz :

1. (C * B^T - A) * A^T

2. A^T * [(B * C^T)^T - A]

3. B^T * A^T - 2C^T

PRZEKSZTAŁCENIA ELEMENTARNE

Definicja :

Przekształceniami elementarnymi danej macierzy A = [ a_ij ]_{m x n} nazywamy następujące działania na wierszach lub kolumnach macierzy.

T₁ - polega na pomnożeniu wszystkich elementów wybranego wiersza lub kolumny

przez liczbę   0

T₂ - polega na zamianie miejscami dwóch dowolnie wybranych wierszy lub kolumn

T₃ - polega na dodaniu do wszystkich elementów wybranego wiersza lub kolumny

odpowiadających im elementów innego wiersza lub kolumny pomnożonych

przez liczbę   0

Przykład :

Wykonaj na macierzy A kolejno przekształcenia : T₁ : ( k₂ * 2 ) ; T_{3 :} ( w₁ + 2 * w₃ ) ;

T₂ : ( k₁ , k₃ )

 1 0 2 3   1 0 2 3   1 0 10 5 

A = -1 1 2 0  T₁ : ( k₂ * 2 ) -1 2 2 0  T₃ : ( w₁ + 2w₃ ) -1 1 2 0  T₂ : ( k₁ ,k₃ )

 0 0 4 1   0 0 4 1   0 0 4 1 

10 0 1 5 

 2 1 -1 0 

 4 0 0 1 

Dana jest macierz :

 8 2 4 5 

A =  3 2 4 0 

 -1 1 2 0 

wykonać :

a) T = T₂ : ( k₄ , k₂ )  T₂ ( k₁ , k₄ )  T₂ ( k₃ , k₄ )

2. T = T₃ ( k₁ + (-1) k₃ )  T₁ ( k₁ * 2 )  T₂ ( w₁ , w₂ )

Twierdzenie :

Jeżeli macierz B powstała z macierzy A poprzez przekształcenie elementarne typu T₁ , T₂ , T₃ to rząd macierzy A równa się rzędowi macierzy B

rz A = rz B

Aby obliczyć rząd macierzy postaramy się przy pomocy przekształceń elementarnych na wierszach i kolumnach doprowadzić macierz do postaci :

 I 0 

 0 0 

Stopień bloku kwadratowego otrzymanego w prawym górnym rogu macierzy określa rząd macierzy.

Znajdź rząd macierzy :

 1 0 1 0 1 

A =  0 1 1 1 0  rz A = 3

 3 2 5 1 3 

Obliczyć rząd macierzy :

 1 2 0 1 

A =  3 2 1 0  rzA = 3

 1 0 1 2 

Własności rzędu macierzy

1. Jeżeli macierz A jest macierzą diagonalną lub trójkątną to rząd rzA

jest równy ilości niezerowych elementów tej macierzy leżących na głównej przekątnej.

2. ( Twierdzenie Sylwestra )

Dla dowolnych dwóch macierzy A i B , dla których istnieje iloczyn A x B zachodzi relacja : rz ( A B )  min { rzA , rzB }

3. Dla dowolnych dwóch macierzy A i B tego samego wymiaru zachodzi warunek :

rz ( A + B )  rzA + rzB

4. Jeżeli macierz jest kwadratowa stopnia n to :

rzA = n  gdy A jest macierzą nieosobliwą _detA  0

5. Jeżeli A jest kwadratowa stopnia n to :

rz A < n  gdy A jest macierzą osobliwą _detA = 0

6. Jeżeli A i B są macierzami stopnia n i istnieje macierz B^-1 ( _detB  0 ) to :

rz A = ( B * A * B^-1 )

7. Jeżeli A ma wymiar _{n x k} i rz A = k to :

rz ( A^T * A ) = k ( k - liczba kolumn )

Sprawdzić własność 2 , 3 , 6 dla macierzy :

 1 0 2   1 1 2 

A =  0 1 1  B =  2 0 1 

 1 2 0   1 -1 2 

Obliczyć rząd :

 1 2 3 -1 4 

B =  2 1 1 2 1 

-1 1 2 -3 3 

WYZNACZNIK MACIERZY

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A = [ a_ij ]_{n x n} nazywa się liczbę oznaczoną symbolem _det A lub A

Aby obliczyć wyznacznik macierzy stopnia drugiego korzystamy ze wzoru :

a₁₁ a₁₂ 

  = a₁₁ a₂₂ - a₁₂ a₂₁

a₂₁ a₂₂ 

Oblicz wyznacznik macierzy A , B , C :

A = 2 1  B = -1 1  C = 6 3 

 1 0   1 2  4 -1

 A  = -1  B  = -3  C  = 21

Gdy macierz jest stopnia trzeciego do obliczania wyznacznika najczęściej stosuje się metodę Sarussa. Polega ona na tym, że poniżej wyznacznika stopnia trzeciego dopisujemy jego pierwszy wiersz, a następnie drugi. Następnie tworzymy sześć iloczynów ( po trzy czynniki każdy ), z których trzy bierzemy ze znakiem dodatnim, a trzy pozostałe ze znakiem przeciwnym. Następnie sumujemy.

a₁₁ a₁₂ a₁₃ 

a₂₁ a₂₂ a₂₃  = a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₂₁ a₃₂ a₁₃ + a₃₁ a₁₂ a₂₃ - a₁₃ a₂₂ a₃₁ - a₂₃ a₃₂ a₁₁ -

a₃₁ a₃₂ a₃₃  - a₃₃ a₁₂ a₂₁

a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃

Oblicz wyznacznik macierzy :

 2 1 3  4 2 2   5 1 1 _det A = 4

A =  4 2 2  B =  1 1 1  C =  2 0 1  _det B = 0

 1 1 0   2 1 1   1 1 1 _det C = -4

definicja : ( określenie macierzy A_ij )

Niech dana będzie macierz kwadratowa A stopnia n. Macierz A_ij oznacza macierz, która powstaje z macierzy A przez usunięcie z niej i-tego wiersza i j-tej kolumny.

Zapisz macierz A₁₃ , A₂₃ , A₃₃ jeśli

 1 2 0 1 

A =  1 1 1 1

 -1 2 3 1

 0 2 4 1

Definicja :

Minorem M_ij nazywamy wyznacznik macierzy kwadratowej powstałej z macierzy A przez usunięcie z niej i-tego wiersza i j-tej kolumny.

M_ij = _det A_ij =  A_ij

Oblicz minory M₁₃ , M₁₁ , M₂₃ dla macierzy :

 1 0 1 1 

A =  1 2 1 1  M₁₁ = 0

 0 1 0 1  M₂₃ = -3

 1 1 2 -1 M₁₃ = -1

Definicja :

Dopełnieniem algebraicznym elementu a_ij macierzy A nazywamy liczbę :

D_ij = (-1)^i+j * M_ij

D_ij = (-1)^i+j * _det A_ij

Dana jest macierz :

2 4 5 2 

A = 3 1 0 1 

1 1 0 0 

0 2 0 0 

zapisz i oblicz dopełnienie algebraiczne a₂₁ , a₁₄ a₂₁=0 a₁₄=0

Dana jest macierz :

2 0 2 

B = 3 4 2 

1 2 2 

oblicz D₁₁ , D₂₃ , D₃₃ D₁₁=4 D₂₃= -4 D₃₃=8

Twierdzenie Laplace'a ( stosuje się do obliczania wyznacznika macierzy dowolnego

stopnia)

Jeżeli A = [a_ij]_nxn to wyznacznik macierzy można przedstawić następująco :

a₁₁ a₁₂ a₁₃ ..... a_1n

a₂₁ a₂₂ a₂₃ ..... a_2n

a₃₁ a₃₂ a₃₃ ..... a_3n

...............................

...............................

a_n1 a_n2 a_n3 ..... a_nn

1. Rozwinięcie twierdzenia Laplace'a względem i-tego wiersza :

_det A = a_i1 D_i1 + a_i2 D_i2 + a_i3 D_i3 + ..... + a_in D_in

2. Rozwinięcie twierdzenia Laplace'a względem j-tej kolumny :

_det A = a_1j D_1j + a_2j D_2j + a_3j D_3j + ..... + a_nj D_nj

( ustala się ten wiersz lub kolumnę, która zawiera najwięcej zer )

Oblicz wyznacznik stosując rozwinięcie Laplace'a :

1 4 5 

A = 0 2 0 

2 1 0  _det A =  A  = -20

Stosując twierdzenie Laplace'a oblicz wyznacznik macierzy :

2 1 0 0  2 1 0  1 0 0  2 1 0   A  = -4

A =  3 4 1 1 B = 3 2 1  C = 0 2 1  D = 3 1 0   B  = 2

1 1 1 2  4 1 0  3 2 1  2 4 1   C  = 0

1 1 1 1   D  = -1

Własności wyznacznika :

1. Jeżeli A jest macierzą diagonalną to _det A = a₁₁ * a₂₂ * a₃₃ * ..... * a_nn ( iloczynem wszystkich elementów leżących na jej głównej przekątnej ).

Wyznacznik macierzy jednostkowej = 1 _det I_n = 1

2. Jeżeli macierz A_n jest macierzą trójkątną górną lub dolną to

_det A = a₁₁ * a₂₂ * a₃₃ * ......... * a_nn ( iloczynem wszystkich elementów leżących na głównej przekątnej ).

3. Wyznacznik macierzy, której wiersz lub kolumna zawiera wszystkie elementy zerowe jest równy 0.

4. Jeżeli A jest macierzą kwadratową stopnia n to wyznacznik macierzy A jest równy wyznacznikowi macierzy A^T

_det A = _det A^T

5. Jeżeli w macierzy A dwa wiersze lub dwie kolumny są identyczne to wyznacznik macierzy A jest równy 0 _det A = 0 ( dotyczy również macierzy, w której jeden wiersz lub kolumna jest wielokrotnością innego wiersza lub kolumny).

6. Jeźeli B =  * A to _det B = ⁿ * _det A ( gdzie n jest stopniem macierzy A ).

7. Twierdzenie Cauchy'ego

Jeżeli A = [a_ij]_nxn B = [b_ij]_nxn to _det ( AB ) = _det A * _det B

Uwagi :

Jeżeli na macierzy A wykonamy pewne przekształcenia elementarne to wyznacznik macierzy wyjściowej jest równy wyznacznikowi macierzy otrzymanej po przekształceniach elementarnych wykonanych na macierzy A przy czym :

• Jeżeli wykonano przekształcenie T₁ to wyznacznik należy pomnożyć przez 1/ (odwrotność liczby przez którą mnożony był wiersz lub kolumna ).

• Jeżeli wykonano przekształcenie T₂ to wyznacznik należy pomnożyć przez (-1)

• Przekształcenie typu T₃ nie zmienia wyznacznika.

MACIERZE ODWROTNE

Twierdzenie

Jeżeli _det A  0 to A^-1 = 1/_det A [ D_ij]^T

Wyznacz macierz odwrotną do : A = 1 1

6 8

_det A= 8-6 = 2  0

D₁₁ = (-1)² * 8  = 8

D₁₂ = (-1)³ * 6  = -6

D₂₁ = (-1)³ * 1  = -1

D₂₂ = (-1)⁴ * 1  = 1

D_ij = 8 -6  [D_ij]^T = 8 -1 

-1 1  -6 1 

A^-1 = ½ *  8 -1  =  4 -1/2 

-6 1  -3 ½ 

sprawdzenie:

A * A^-1 = I

A^-1 * A = I zgodne

1 4 5 

A = 2 0 3  _det A = 7

0 1 0 

D₁₁ = (-1)² * 0 3  = -3 D₁₂ = (-1)³ * 2 3  = 0 D₁₃ = (-1)⁴ * 2 0  = 2

1 0  0 0  0 1 

D₂₁ = (-1)³ * 4 5  = 5 D₂₂ = (-1)⁴ * 1 5  = 0 D₂₃ = (-1)⁵ * 1 4  = -1

1 0  0 0  0 1 

D₃₁ = (-1)⁴ * 4 5  = 12 D₃₂ = (-1)⁵ * 1 5  = 7 D₃₃ = (-1)⁶ * 1 4  = -8

0 3  2 3  2 0 

 -3 0 2  -3 5 12 

[ D_ij ] =  5 0 -1  [ D_ij ]^T =  0 0 7 

12 7 -8   2 -1 -8 

-3 5 12  -3/7 5/7 12/7 

A^-1 = 1/7  0 0 7  =  0 0 7/7 

 2 -1 -8   2/7 -1/7 -8/7  Sprawdzić

Twierdzenie:

Jeżeli macierz kwadratowa A jest macierzą nieosobliwą ( _det A  0 ) to istnieje ciąg przekształceń elementarnych sprowadzających tę macierz do macierzy jednostkowej.

Twierdzenie:

Jeżeli ciąg przekształceń elementarnych sprowadza nieosobliwą macierz kwadratową stopnia n to ten sam ciąg przekształceń elementarnych sprowadza macierz jednostkową do macierzy A^-1 ( przekształcenia dokonujemy albo na wierszach, albo na kolumnach).

Jeżeli w trakcie przekształceń elementarnych otrzymamy wiersz lub kolumnę zerową tzn., że macierz odwrotna nie istnieje.

A I

T_n

I A^-1

Wyznacz poprzez operacje elementarne macierz odwrotną do macierzy :

1 -2 1 1 0 3   1 1 1 

A = 2 2 0  B = 1 0 2  C = -1 0 1 

1 0 1  1 1 0   0 1 2  C^-1 - nie istnieje

Wyznacz macierz X z równania :

1. A * X = B

2. A * X - B = C

3. 3A - 2X = C

4. XA² + B^T = XA

5. B^T * A * B * X - C(X + C) = 0

6. A(X - A^T) - 2A² = 0

1) * A^-1  A * X = B

A^-1 * A * X = A^-1 * B

I * X = A^-1 * B

X = A^-1 *B

2. A * X - B =C  +B

A^-1 *  A * X = C + B

A^-1 * A * X = A^-1 (C +B)

I * X = A^-1 (C +B)

X = A^-1 (C +B)

3) 3A - 2X = C  - 3A

- 2X = C - 3A  * -1/2

X = -1/2 ( C -3A)

4) XA² + B^T = XA  -XA

XA² + B^T - XA = 0  - B^T

XA² - XA = -B^T

X (A² - A) = -B^T  *(A² - A)^-1 odwrotność (dzielenie)

X= -B^T (A² - A)

5. B^T * A * B * X - C (X + C) = 0

B^T * A * B * X - CX - C² = 0  +C²

B^TABX - CX = C²

(B^TAC - C)^-1 *  (B^TAC - C)X = C²

X = (B^TAC - C)^-1 * C²

6)

A(X - A)^T - 2A² = 0

A(X^T - A^T) - 2A² = 0  + 2A²

A(X^T - A^T) = 2A²

AX^T - AA^T = 2A²  + AA^T

A^-1 *  AX^T = 2A² + AA^T

X^T = A^-1 (2A² + AA^T)  ^T  (X^T)^T = X

(X^T)^T = [A^-1 (2A² + AA^T)]^T

X = [A^-1 (2A² + AA^T)]^T

PIERWIASTKI CHARAKTERYSTYCZNE MACIERZY

Definicja:

Wielomianem charakterystycznym macierzy A nazywamy wielomian :

W () = _det( A - * I )

Definicja:

Równaniem charakterystycznym macierzy A nazywamy równanie :

_det( A -  I ) = 0

Definicja:

Rozwiązanie równania charakterystycznego nazywamy pierwiastkami charakterystycznymi macierzy A

Znajdź pierwiastki charakterystyczne macierzy A = 1 1 

2 1 

W (  ) = _det( 1 1  -  1 0  )

2 1   0 1 

W (  ) = _det( 1 1  -   0  )

2 1   0  

W (  ) = _det 1-  1 

 2 1- 

W (  ) = _det (1 - ) (1 - ) - 2  = (1 - )² - 2 = 1² - 2 + ² - 2 = ² - 2 - 1

Tworzymy równanie :

² - 2 - 1 a = 1 b = -2 c = -1

 = b² - 4ac

 = (-2)² - 4 * 1 * (-1) = 4 - 4*(-1) = 4 + 4 = 8

 = 8   > 0


 

₁ =

_ 

_ 

  

_ 

  

_   
_   

UKŁADY RÓWNAŃ

Definicja :

Układ m o n niewiadomych x₁ , x₂ , x₃ , ........ , x_n nazywamy układem równań liniowych, gdy jest w postaci :

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ......... + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ......... + a_2nx_n = b₂

...................................................

a_n1x₁ + a_n2x₂ + ..........+ a_nnx_n = b_n

gdzie a_ij  R i = 1 ...... n j = 1 ......... n

Układ można zapisać w postaci równania wektorowego :

* x₁ +
* x₂ + .......... +
* x_n =
=

=
*
=

Definicja :

Jeżeli układ nie posiada rozwiązania to nazywamy go układem sprzecznym

Definicja :

Jeżeli układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie to nazywamy go układem oznaczonym.

Definicja :

Jeżeli układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań to nazywamy go układem nieoznaczonym.

Twierdzenie Kroneckera-Capelli'ego :

Układ równań liniowych w postaci :

A * x = b

gdzie A jest macierzą A_mn x  Rⁿ jest wektorem w przestrzeni Rⁿ

posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy A równy jest rzędowi macierzy poszerzonej. rzA = A|B

Przykład :

Dany jest układ równań macierzowych. Sprawdź czy układ posiada rozwiązanie? Jeżeli tak, to znajdź je.

*
=

Należy sprawdzić czy rz A = rz A|b

rz A =


rz = 2

rz A|b =






rz = 2

Układ posiada rozwiązanie ponieważ rzA = rzA|b

=

x₁= 1

2+x₂ = 4

x₂ = 4-2 = 2

x₂ = 2

Istnieje jedno rozwiązanie : x₁ = 1 , x₂ = 2

Definicja :

1. Jeżeli rzA
   rzA|b to układ równań jest układem sprzecznym

2. Jeżeli rzA = rzA|b i rz = n to układ równań posiada dokładnie jedno rozwiązanie

3. Jeżeli rzA = rzA|b i rz < n to układ równań posiada nieskończenie wiele rozwiązań

Wyznacz liczbę rozwiązań w układzie :

*
=

n = 3

rzA =

rz = 3

rzA|b =




rz = 3

rzA = rzA|b = n
układ posiada jedno rozwiązanie

METODY ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ

Definicja :

Układ n równań liniowych o n niewiadomych w postaci Ax = b nazywamy układem Cramera, gdy det A
0

Niech macierz A =

Oznaczamy przez A_k macierz utworzoną z macierzy A przez zastąpienie k-tej kolumny kolumnę wyrazów wolnych.

A_k =

Twierdzenie Cramera

Układ równań Cramera posiada dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorem :

x_k =
k = 1 ......... n

Przykład :

Rozwiąż układ równań metodą Cramera

A =
detA =
= 4+0+0-4-0+2 = 2

Ilość równań = 3

Ilość niewiadomych = 3
ilość równań = ilości niewiadomych

det A =2
0 tzn. jest to układ Cramera

x₁ =
A₁ = ?

x₂ =
A₂ = ?

x₃ =
A₃ = ?

A₁ =
= 1+0+0+4-0+1 = 6

A₂ =
= 4-8+0-4-0-2 = -10

A₃ =
= 8+0+2+2-0+4 = 16

X₁ =
= 3

X₂ =
= -5

X₃ =
= 8

Rozwiąż układ równań :

n = 3

detA =
= 14+48-3+8-4-63 = 0

Ponieważ detA = 0 to nie jest to układ Cramera

Należy zbadać rzędy macierzy A i macierzy poszerzonej

rz A = 2 rz A|b = 3
rzA
rzA|b
układ nie posiada rozwiązania

Inna szybsza metoda polega na przekształceniach elementarnych. Poprzez przekształcenia elementarne na wierszach macierzy poszerzonej doprowadzamy macierz A do macierzy jednostkowej. Rozwiązanie otrzymanego układu równań jest zarazem rozwiązaniem układu wyjściowego na mocy twierdzenia :

Jeżeli macierz [A_*|b_*] powstaje z macierzy [A|b] poprzez przekształcenia elementarne na wierszach to układy równań :

A_*x = b_* Ax = b

Są równoważne (tzn. mają ten sam zbiór rozwiązań).

Rozwiąż jest układ równań :

to nie jest układ Cramera ponieważ liczba niewiadomych jest różna od ilości równań

Po przekształceniach otrzymujemy :

A_* b_*

Podstawiając wartości z otrzymanej macierzy do układu równań otrzymujemy :

Równanie otrzymane jest równoważne z równaniem otrzymanym do rozwiązania. Oba posiadają to samo rozwiązanie.

Jeżeli podczas przekształceń otrzymamy równanie (wiersz) sprzeczne np. 2=0 wnioskujemy, że układ równań nie posiada rozwiązania.

2

7

X * I = X

I * X = X

A * A^-1 = I

A^-1 * A = I

---