7. STABILNOŚĆ LINIOWYCH UKŁADÓW AUTO- MATYCZNEJ REGULACJI

Oceniając właściwości projektowanego układu automatycznej regulacji zazwyczaj rozpoczynamy od sprawdzenia jego stabilności, albowiem jest to warunek konieczny każdego UAR. Stabilność jest cechą układu, polegającą na przywracaniu go do stanu równowagi stałej po ustaniu działania zakłócenia, które wytrąciło układ z tego stanu. Stabilność można ocenić, badając ruch swobodny układu, tzn. jego zachowanie pod wpływem warunków początkowych.

Załóżmy, że na układ w pewnym przedziale czasu, oprócz wielkości zadanej w_zad działa również sygnał zakłócenia z(t) . W wyniku tych oddziaływań stan układu w chwili t=t₀ charakteryzują wartości początkowe
, wielkości wyjściowej i ich pochodne po czasie. Załóżmy dalej, że w chwili t₀ sygnał zakłócający zanika. Dalsze zachowanie układu jest zatem uwarunkowane wielkością zadaną w_zad i warunkami początkowymi
, przy czym według zasady superpozycji wpływ tych dwóch wielkości w układach liniowych jest niezależny.

Układ liniowy nazywamy stabilnym asymptotycznie, jeżeli składowa przejściowa odpowiedzi y(t) zanika do zera przy
i niezerowych warunkach początkowych.

Bywa, że składowa przejściowa dążyć będzie do skończonej wartości ustalonej dla czasu t dążącego do nieskończoności lub oscyluje z amplitudą dążącą do skończonej wartości. Taki układ nazywamy stabilnym w sensie zwykłym.

Może się zdarzyć, że składowa przejściowa wielkości wyjściowej narasta w sposób nieograniczony lub zaczyna oscylować z narastającą do nieskończoności amplitudą. Taki układ nazywamy niestabilnym.

Często pojęcie stabilności układu, dla lepszego zrozumienia, ilustruje się zachowaniem kulki na wklęsłej, wypukłej i płaskiej powierzchni (rys. 7.1).

Na rys. 7.1a przedstawiona jest kulka znajdująca się wewnątrz sfery. Jeżeli na kulkę działa tylko siła ciężkości F przyjmie ona położenie I. Jeśli pod wpływem zewnętrznych sił (zakłócenia) kulka przyjmie położenie II to pojawia się niezrównoważona składowa F₂ , która będzie powodowała przemieszczanie się kulki w kierunku położenia I. Po odpowiednio długim czasie kulka zatrzyma się w położeniu równowagi. Takie zachowanie cechuje układy stabilne asymptotycznie.

Na rys. 7.1b kulka znajduje się na zewnątrz sfery. W położeniu I nie ma żadnej składowej stycznej. Jeśli wskutek działania sił zewnętrznych kulka przemieści się w położenie II , to pojawi się niezrównoważona składowa F₂ powodująca oddalanie się kulki od położenia równowagi I. Takie zachowanie jest charakterystyczne dla układów niestabilnych.

Na rys. 7.1c kulka leży na poziomej płaszczyźnie. Jeśli na kulkę działa tylko siła ciężkości, to każde jej położenie jest położeniem równowagi. Układy, które zachowują się w taki sposób nazywamy układami neutralnie stabilnymi.

Przykładowe przebiegi przejściowe (np. charakterystyki impulsowe) w stabilnych i niestabilnych układach automatycznej regulacji przedstawia rys. 7.2.

Rys. 7.2. Przebiegi przejściowe: a) w układach stabilnych, b) w układach niestabilnych

7.1. Warunki i kryteria stabilności

Jeżeli liniowy lub zlinearyzowany układ zamknięty opisany jest za pomocą liniowego równania różniczkowego

(7.1)

gdzie: y=y(t), w=w(t), z=z(t) - odpowiednio wielkość wyjściowa, wartość zadana i zakłócenie lub odchyłki tych wielkości od ich wartości ustalonych y_o, w_o, z_o; a_n, a_n-1,…a₁, a_o, b_m, _m-1,… b₁, b_o, c_l, c_l-1, … c₁, c_o - stałe współczynniki, m ≤ n i l ≤ n

lub odpowiadające mu transmitancje operatorowe

(7.2)

(7.3)

to dla oceny jego stabilności należy badać przebieg swobodnej składowej równania (7.1), czyli rozwiązanie równania jednorodnego

(7.4)

dla warunków początkowych zapisanych w sposób ogólny:

(7.5)

gdzie y_o,
,
- dane wartości.

Ogólne rozwiązanie jednorodnego równania (7.4) ma postać sumy, składniki której zależą od pierwiastków równania charakterystycznego

(7.6)

Zauważmy, że współczynniki równania (7.6), a więc i pierwiastki tego równania zależą tylko od parametrów układu, czyli od właściwości i parametrów elementów składowych oraz ich wzajemnego połączenia.

Równanie charakterystyczne (7.6) może mieć różne pierwiastki. Każdemu rodzajowi pierwiastka (parze pierwiastków) odpowiada inna forma rozwiązania. Rozwiązanie ogólne będzie miało postać sumy cząstkowych rozwiązań odpowiadających poszczególnym typom pierwiastków (patrz wzory (2.65)-(2.68)).

Przykład 7.1.

Niech pierwiastki równania charakterystycznego (7.6) będą następujące: jednokrotne rzeczywiste s₁, s₂, dwukrotny rzeczywisty s₃ , jednokrotna para zespolona sprzężona s₄ + jβ₄, s₄ - jβ₄, oraz dwukrotna para zespolona sprzężona s₅ + jβ₅ i s₅ - jβ₅.

Rozwiązanie równania (7.6) w takim przypadku przyjmie postać:

W przypadku badania rzeczywistych UAR raczej nie występują wielokrotne pierwiastki (z racji chociażby stosowania najczęściej przybliżonych metod rozwiązywania równania). Stąd najczęstsze postacie spotykanych rozwiązań cząstkowych to (2.65) oraz (2.67).

Analiza ogólnej postaci rozwiązania jednorodnego równania (7.6) prowadzi do następującego wniosku:

Koniecznym i dostatecznym warunkiem stabilności asymptotycznej układu jest, aby pierwiastki równania charakterystycznego układu zamkniętego miały ujemne części rzeczywiste

(7.7)

Warunek ten odnosi się zarówno do przypadków, kiedy pierwiastki są rzeczywiste, jak również do pierwiastków zespolonych i wielokrotnych.

Jeżeli chociaż jeden z pierwiastków równania (7.6) ma część rzeczywistą dodatnią to układ jest niestabilny.

Jeżeli równanie (7.6) ma pierwiastki w lewej półpłaszczyźnie (czyli ujemne) oraz jednokrotne na osi liczb urojonych (np. jeden pierwiastek zerowy lub parę pierwiastków urojonych sprzężonych), to w układzie będą występować drgania o stałej amplitudzie, określonej warunkami początkowymi. Układ jest wówczas na granicy stabilności, a ściśle mówiąc, nie jest stabilny asymptotycznie.

Warunek (7.7) stanowi ogólny, matematyczny warunek stabilności liniowych układów automatyki. Potrzeba ściślejszego rozróżnienia rodzajów stabilności występuje w układach nieliniowych. My zaś rozważając układy liniowe będziemy utożsamiać stabilność ze stabilnością asymptotyczną.

Na bazie warunku (7.7) opracowano kryteria stabilności: analityczne i częstotliwościowe. Kryteria te pozwalają określić stabilność (lub niestabilność) układu bez potrzeby liczenia wprost pierwiastków równania charakterystycznego.

Typowym przedstawicielem kryteriów analitycznych jest kryterium Routha-Hurwitza, zaś kryteriów częstotliwościowych - kryterium Nyquista. Właściwości tych kryteriów podamy niżej.

2. Kryterium Hurwitza

Kryterium stabilności Routha-Hurwitza zalicza się do analitycznych kryteriów stabilności. Nakłada ono pewne ograniczenia na współczynniki równania charakterystycznego badanego układu. Profesor matematyki Uniwersytetu Harvarda w Cambridge, Routh w 1875 roku sformułował warunki stabilności UAR w postaci tablicy. Szwajcarski matematyk Hurwitz opublikował w 1895 roku kryterium stabilności w postaci układu wyznaczników. Obydwa wymienione kryteria przywodzą do jednakowych nierówności algebraicznych i różnią się tylko sposobem ich uzyskania. Dlatego często kryteria te są łączone i występują pod wspólną nazwą: kryterium Routha-Hurwitza. Omówimy analityczne kryterium stabilności UAR w postaci podanej przez Hurwitza.

Jeśli równanie charakterystyczne układu regulacji ma postać równania (7.6), przy czym
, to dla stabilności liniowego UAR koniecznym i wystarczającym jest, aby n wyznaczników Hurwitza -
było dodatnimi.

Wyznaczniki Hurwitza są diagonalnymi wyznacznikami kwadratowej macierzy n - go rzędu

(7.8)

ułożonej ze współczynników równania charakterystycznego (7.6), tak że

Nietrudno przekonać się, że
. Dlatego ostatni wyznacznik Hurwitza
nie musimy obliczać. Warunek
jest spełniony, jeśli
i

Warunki, przy których układ znajduje się na granicy stabilności, można otrzymać, przyrównując do zera ostatni podwyznacznik Hurwitza przy zapewnieniu dodatniego znaku wszystkich wcześniejszych podwyznaczników. Przy czym powinno być:
lub
i
Warunek a₀ = 0 odpowiada aperiodycznej granicy stabilności (bez oscylacji), zaś warunek
- periodycznej granicy stabilności.

Dla równań charakterystycznych wyższego rzędu stopień wyznaczników wzrasta, co powoduje komplikacje w obliczeniach. Kryterium Hurwitza w praktyce wykorzystywane jest do układów czwartego-piątego stopnia. Warunki stabilności przyjmują wówczas następujące postacie:

• równanie pierwszego i drugiego stopnia

W tym przypadku warunkiem koniecznym i dostatecznym jest, aby współczynniki równania charakterystycznego były dodatnie. Warunek ten zapisujemy w postaci:

(7.9)

• równanie trzeciego stopnia

Równanie charakterystyczne ma postać

Warunki Hurwitza w tym przypadku przyjmują postać:

(7.10)

Jak wynika z (7.10), oprócz dodatnich wartości współczynników równania charakterystycznego dodatkowo koniecznym jest ,aby

(7.11)

Ostatni warunek warto zapamiętać w postaci: iloczyn wyrazów wewnętrznych minus iloczyn wyrazów zewnętrznych jest większy od zera.

• równanie czwartego stopnia

Równanie czwartego stopnia ma postać

Przez analogię do poprzedniego przypadku można otrzymać warunek stabilności w postaci: wszystkie współczynniki równania charakterystycznego większe od zera i wyznacznik
:

(7.12)

Często kryterium stabilności Hurwitza formułowane jest w postaci dwóch warunków:

Aby wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego (7.6) miały części rzeczywiste ujemne, muszą być spełnione następujące warunki:

1) wszystkie współczynniki równania (7.6) muszą istnieć i mieć ten sam znak (warunek konieczny ale nie wystarczający):

(7.13)

2) podwyznaczniki
, od i = 2 do i = n - 1, wyznacznika głównego
muszą być większe od zera.

Badanie tą metodą UAR, których równania charakterystyczne są wyższego rzędu jak już wspomniano, jest kłopotliwe. Można w takich przypadkach skorzystać z wyników prac Lienarda i Chiparta, którzy w 1914 roku pokazali, że ilość warunków, które muszą być spełnione, aby układ był stabilny, można zmniejszyć o połowę w stosunku do wymagań Hurwitza. Udowodnili oni bowiem, że dla stabilności liniowego UAR koniecznym jest i wystarczającym, aby wszystkie współczynniki równania charakterystycznego tego układu były dodatnie oraz aby dodatnimi były wyznaczniki Hurwitza
.

W przypadku niestabilności, kryterium Hurwitza nie pozwala określić, ile pierwiastków równania charakterystycznego ma dodatnią część rzeczywistą, czyli „ile pierwiastków psuje stabilność”, jak również brak jest odpowiedzi na pytanie, jak daleko układ znajduje się od granicy stabilności. Jest to niewątpliwy „minus” tego kryterium.

Różne sposoby zastosowania kryterium Hurwitza przedstawione są w przykładach.

Przykład 7.2

Transmitancja zastępcza układu ma postać

Zbadać stabilność układu stosując kryterium Hurwitza.

Rozwiązanie

Równanie charakterystyczne układu

ma współczynniki: a₀ = 1, a₁ = 1, a₂ = 20, a₃ = 10, a₄ = 10, a₅ = 4. Wszystkie istnieją i są dodatnie - pierwszy warunek Hurwitza spełniony.

Wyznacznik główny ma postać

Sprawdzając drugi warunek Hurwitza, badamy podwyznaczniki
, gdzie i = 2, 3, ..., n-1. Gdy n = 5, należy sprawdzić, czy wyznaczniki
oraz
są większe od zera?

Ponieważ wszystkie współczynniki i wszystkie podwyznaczniki są większe od zera, to badany układ jest stabilny.

Przykład 7.3.

Transmitancja układu otwartego stabilizacji giroskopowej ma postać

Wypadkowy współczynnik wzmocnienia układu otwartego K = 50 [sek^-1], a stała czasowa giroskopu T_g = 0,01 [sek]. Dla zwiększenia obszarów stabilnej pracy układu wprowadzony został dodatkowy szeregowy człon korekcyjny o transmitancji
, gdzie τ = 0, 1 [sek].

Należy określić:

• przed korekcją:

1. dla jakich wartości współczynnika tłumienia ξ układ będzie stabilny;

2. jaki jest warunek stabilności układu;

• po korekcji:

3. dla jakich wartości współczynnika tłumienia ξ układ będzie stabilny.

Rozwiązanie

Transmitancja układu zamkniętego przed korekcją ma postać

A zatem równanie charakterystyczne przyjmie postać

Z pierwszego warunku Hurwitza wynika, że T_g, ξ i K muszą być większe od 0. Z drugiego warunku Hurwitza (dla równania trzeciego stopnia ten warunek to Δ₂ > 0) możemy zapisać:

Z dotychczasowej analizy układu wynika, że przy T_g = 0,01 oraz K = 50 dla zapewnienia stabilności konieczne jest zapewnienie współczynnikowi ξ wartości większej od 0,25.

Przedstawienie drugiego warunku Hurwitza w zmodyfikowanej formie pozwoli przedstawić ogólny warunek stabilności rozpatrywanego układu

.

Spełnienie tej nierówności zapewnia stabilność badanego układu przed modyfikacją. Zwróćmy uwagę na fakt, że przy tych danych liczbowych parametrów T_g i K, ξ musi być większe od 0,25.

Po wprowadzeniu korekcji transmitancja zastępcza układu zamkniętego przyjmie postać

Równanie charakterystyczne zmodyfikowanego układu zapiszemy w postaci

Oprócz poprzednich warunków: T_g, ξ, K mają być większe od zera, obecnie z pierwszego warunku Hurwitza dochodzi jeszcze jeden warunek: (1+Kτ ) > 0; stąd
. Poprzednio ten warunek nie występował, albowiem przy s był współczynnik równy 1.

Określimy, dla jakich wartości ξ układ będzie stabilny po korekcji. W tym celu, podstawimy do równania charakterystycznego liczbowe wartości parametrów i rozwiążemy otrzymane równanie ze względu na ξ. Otrzymamy

.

Przykład 7.4.

Znaleźć warunek stabilności jednowymiarowego UAR składającego się trzech członów inercyjnych. Transmitancja układu otwartego ma postać

gdzie: k - współczynnik wzmocnienia układu otwartego; T₁, T₂, T₃ - stałe czasowe członów inercyjnych.

Rozwiązanie.

Dla określenia równania charakterystycznego znajdziemy transmitancję operatorową układu zamkniętego:

Równanie charakterystyczne ma postać

lub

gdzie:

Przy założeniu, że T_i > 0 i k > 0, warunki stabilności (7.15) będą spełnione, jeśli
.

W tym przypadku warunek ten można przedstawić następująco:

Oznaczając
i
warunek stabilności zapiszemy w postaci

Stabilność układu zależy nie od wartości bezwzględnych stałych czasowych, lecz od ich wzajemnego stosunku.

2. Kryterium Nyquista

W 1932 roku amerykański naukowiec Nyquist prowadząc prace związane z badaniem stabilności wzmacniaczy elektronicznych ze sprzężeniem zwrotnym przedstawił nowy rodzaj kryterium stabilności zaliczanych do grupy kryteriów częstotliwościowych. W 1938 roku rosyjski uczony, Michajłow uogólnił wyniki otrzymane przez Nyquista i zastosował do badania stabilności układów automatycznej regulacji.

Kryterium Nyquista ma duże znaczenie praktyczne. Wykorzystuje bowiem charakterystykę częstotliwościową układu otwartego, którą można wyznaczyć zarówno analitycznie, jak i doświadczalnie. Dlatego niekoniecznie musimy znać parametry liczbowe badanego układu - wystarcza doświadczalnie zarejestrowana charakterystyka częstotliwościowa.

Specyfika kryterium Nyquista: stabilność układu zamkniętego określa się na podstawie charakterystyki częstotliwościowej układu otwartego.

Określanie układu otwartego. Układ otwarty (rys. 7.3b) otrzymujemy przecinając główną pętlę sprzężenia zwrotnego (rys. 7.3a) i traktując za wielkość wyjściową sygnał y_m podawany do sumatora w układzie zamkniętym.

Rys. 7.3. Schemat blokowy układu: a) zamkniętego, b) otwartego

Transmitancja układu otwartego wynosi

(7.14)

Przedstawiając tę transmitancję w postaci ilorazu wielomianów zmiennej s otrzymamy

, (7.15)

przy czym

(7.16)

jest równaniem charakterystycznym układu otwartego; zakładamy, że stopień tego równania wynosi n.

Transmitancja układu zamkniętego wynosi

. (7.17)

Równanie charakterystyczne układu zamkniętego

(7.18)

jest również stopnia n, ponieważ stopień L₀(s) nie jest nigdy większy od stopnia M₀(s).

Zbadamy zmianę argumentu funkcji

(7.19)

Zmianę argumentu wyznaczymy dla

(7.20)

Przytoczymy z pominięciem dowodu matematycznego rozważania pozwalające sformułować definicję kryterium Nyquista [17].

Jeżeli układ zamknięty jest stabilny, to wszystkie pierwiastki wielomianu charakterystycznego N_z(s) znajdują się w lewej półpłaszczyźnie. Wówczas

(7.21)

przy czym n - stopień wielomianu M_z(s), równy stopniowi wielomianu charakterystycznego M₀(s) układu otwartego, przy założeniu, że stopień wielomianu L₀(s) jest mniejszy lub równy n. Jeżeli układ otwarty jest stabilny, to

(7.22)

a gdy jest niestabilny i ma r pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie, to

(7.23)

Po podstawieniu (7.21) oraz (7.22) do (7.20) wnioskujemy, że dla przypadku, gdy układ otwarty jest stabilny układ zamknięty też jest stabilny, jeżeli

(7.24)

Natomiast, gdy układ otwarty jest niestabilny i jego wielomian charakterystyczny N₀(s) ma r pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie, wtedy układ zamknięty jest stabilny, jeżeli

(7.25)

Warunkiem koniecznym i wystarczającym stabilności układu zamkniętego w przypadku niestabilności układu otwartego, spowodowanej r dodatnimi pierwiastkami jest, aby przyrost argumentu wektora 1+G₀(jω) zaczepionego w punkcie (-1, j0) charakterystyki amplitudowo-fazowej układu otwartego przy zmianie ω od 0 do ∞, wynosił
.

Widzimy, że można wnioskować o stabilności układu zamkniętego na podstawie przebiegu charakterystyki [1+ G₀(jω)] na płaszczyźnie zmiennej zespolonej. Tę charakterystykę otrzymuje się po przesunięciu charakterystyki amplitudowo-fazowej G₀(jω) układu otwartego w prawo o odcinek równy jednostce na osi odciętych. W związku z tym zamiast rozważać przyrost argumentu charakterystyki [1+ G₀(jω)] przy zmianie pulsacji ω od 0 do ∞ można badać, czy i w jaki sposób charakterystyka G₀(jω) obejmuje punkt (-1, j0) znajdujący się na osi rzeczywistej. Wynikające z tych rozważań kryterium stabilności podane przez Nyquista formułuje się następująco:

• Jeżeli układ otwarty jest stabilny asymptotycznie, to układ zamknięty jest stabilny asymptotycznie wtedy i tylko wtedy, gdy wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej G₀(jω) układu otwartego przy zmianie pulsacji ω od 0 do ∞ nie obejmuje punktu (-1, j0)

• Jeżeli układ otwarty jest niestabilny i jego transmitancja ma l pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej, to układ po zamknięciu będzie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej G₀(jω) układu otwartego przy zmianie pulsacji ω od 0 do ∞ obejmuje punktu (-1, j0) r/2 razy.

Uwaga: w przypadku, gdy transmitancja układu otwartego ma dodatnie pierwiastki wielokrotne, należy każdy z nich uwzględniać tyle razy, ile wynosi jego krotność.

W praktyce inżynierskiej wyróżnia się trzy przypadki stosowania kryterium Nyquista, w których:

1. układ otwarty jest stabilny,

2. układ otwarty jest na granicy stabilności,

3. układ otwarty jest niestabilny.

Omówimy je bardziej szczegółowo.

1. Układ otwarty jest stabilny

Ten najważniejszy z praktycznego punktu widzenia przypadek kryterium Nyquista można sformułować najkrócej następująco:

Jeżeli otwarty układ regulacji automatycznej jest stabilny i jego charakterystyka amplitudowo-fazowa G₀(jω) dla pulsacji ω od 0 do +∞ nie obejmuje punktu (-1, j0), to wtedy i tylko wtedy po zamknięciu będzie on również stabilny

Interpretacja graficzna kryterium Nyquista przedstawiona jest na rys. 7.4. W przypadku złożonego kształtu krzywych G₀(jω) wygodnie jest się posługiwać wynikającą bezpośrednio z podanego kryterium tzw. „regułą lewej strony”, która mówi, że układ zamknięty jest stabilny wtedy, kiedy punkt (-1, j0) znajduje się w obszarze leżącym po lewej stronie charakterystyki G₀(jω), idąc w stronę rosnących ω (rys. 7.4b).

Rys. 7.4. Interpretacja graficzna kryterium stabilności Nyquista przy stabilnych układach otwartych: b) reguła lewej strony

Przykład 7.5.

Zbadać stabilność jednowymiarowego UAR z pętlą sztywnego sprzężenia zwrotnego. W torze głównym tego układu znajduje się regulator o transmitancji

gdzie: k_R = 5; τ = 0,08 [s]; T₁ = 0,1 [s]; T₂ = 0,05 [s],

oraz obiekt regulacji zbadany doświadczalnie. Wyniki pomiaru charakterystyki amplitudowo-fazowej obiektu zamieszczone są w tablicy 7.1.

Tablica 7.1. Charakterystyka częstotliwościowa obiektu regulacji (do przykładu 7.5)

ω [rad/s]	0	2	4	6	8	10	15	20
Mo(ω)	2,0	0,96	0,49	0,31	0,21	0,15	0,076	0,048
ϕo(ω) [°]	0	-73,3	-98,8	-113,6	-124,0	-132,3	-144,7	-153,4

Rozwiązanie

W oparciu o (3.38) i (3.39) napiszemy wzory określające moduł i fazę analitycznej części układu (regulatora):

Obliczymy M_R(ω) i ϕ_R(ω) dla tych samych wartości ω, dla których mierzona była charakterystyka obiektu, a następnie wyznaczymy charakterystykę amplitudowo-fazową układu otwartego. Wykorzystamy w tym celu znane zależności:

oraz obliczymy dodatkowo, dla ułatwienia rysowania charakterystyki amplitudowo-fazowej:

.

Wyniki obliczeń zestawimy w tablicy 7.2.

Tablica 7.2. Wyniki obliczeń pomocniczych do przykładu 7.5

ω	0	2	4	6	8	10	15	20
MR(ω)	5,0	4,94	4,78	4,56	4,30	4,05	3,47	2,99
ϕR(ω)	0	-8,2	-15,2	-22,0	-27,6	-32,9	-42,7	-50,5
M(ω)	10	4,74	2,34	1,41	0,90	0,61	0,26	0,14
ϕ(ω)	0	-81,5	-114,0	-135,6	-151,7	-165,2	-187,4	-203,9
P(ω)	10	0,70	-0,95	-1,01	-0,79	-0,59	-0,26	-0,13
Q(ω)	0	-4,69	-2,14	-0,99	-0,43	-0,16	0,03	0,06

Rys. 7.5. Przebieg charakterystyki amplitudowo-fazowej układu otwartego (przykład 7.5)

Analiza otrzymanych wyników. Charakterystyka amplitudowo-fazowa obiektu została zarejestrowana doświadczalnie, co świadczy o tym, że obiekt jest stabilny. Pierwiastki równania charakterystycznego regulatora są ujemne, i wynoszą:

Tak więc badany układ otwarty jest stabilny, a charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego nie obejmuje punktu (-1, j0). Po zamknięciu układu będzie on stabilny.

2. Układ otwarty znajduje się na granicy stabilności

Równanie charakterystyczne takiego układu otwartego posiada zerowe lub urojone pierwiastki, a pozostałe pierwiastki mają ujemną część rzeczywistą. Moduł transmitancji widmowej takich układów otwartych dąży do nieskończoności przy ω → 0. Można wykazać [1], że hodograf wektora G₀(jω) należy wówczas uzupełnić łukiem o dostatecznie dużym promieniu R → ∞, zaczynając od dodatniej półosi rzeczywistych. Takie uzupełnienie ułatwia stosowanie kryterium.

W przypadku pojedynczego i podwójnego pierwiastka zerowego wykresy charakterystyk amplitudowo-fazowych i sposób stosowania kryterium Nyquista ilustruje rys. 7.6.

Jeśli istnieje urojony pierwiastek (w mianowniku występuje człon o postaci
), to charakterystyka amplitudowo-fazowa dla
posiada nieciągłość, którą dla potrzeb kryterium usuwa się łącząc obydwie jej części łukiem o promieniu R → ∞ w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. Wykres takiej charakterystyki przedstawiony jest na rys. 7.7.

Rys. 7.6. Kryterium Nyquista dla układów astatycznych: a) astatyzm pierwszego rzędu (jeden człon całkujący), b) astatyzm drugiego rzędu

Rys. 7.7. Charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego z pierwiastkiem urojonym (oscylacyjna granica stabilności)

Z przedstawionego na rys. 7.7 wykresu jednoznacznie wynika, że po zamknięciu układ będzie niestabilny.

W obydwu omówionych przypadkach (zerowych i urojonych pierwiastków) kryterium Nyquista formułowane jest podobnie jak poprzednio:

Gdy układ otwarty posiada zerowe pierwiastki równania charakterystycznego, warunkiem koniecznym i wystarczającym stabilności układu zamkniętego jest, aby charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego przy zmianie ω od 0 do ∞ , uzupełniona w punkcie nieciągłości łukiem o nieskończenie dużym promieniu, nie obejmowała charakterystycznego punktu (-1, j0).

Przykład 7.6.

Zbadać stabilność układu, który w stanie otwartym charakteryzuje się transmitancją

gdzie: k = 20; τ = 0,02 [s]; T₁ = 0,05 [s]; T₂ = 0,01 [s].

Rozwiązanie

Zauważmy, że równanie charakterystyczne układu otwartego posiada jedną parę pierwiastków urojonych
. To jest ważne przy analizie wyników. Dalszy tok postępowania jest analogiczny jak w przykładzie 7.5. Należy narysować charakterystykę amplitudowo-fazową układu otwartego. W tym celu napiszemy transmitancję widmową układu otwartego:

oraz policzymy część rzeczywistą i urojoną dla wybranych wartości ω:

.

Wyniki obliczeń umieszczono w tabeli 7.6, a wykres charakterystyki narysowany na podstawie danych zawartych w tej tabeli przedstawia rys. 7.8.

Tablica 7.3. Wyniki obliczeń do przykładu 7.6

ω	0	5	10	12	15	25	27	30	35	40
P(ω)	20	21,4	26,9	31,7	46,8	-37,6	-26,0	-17,3	-10,8	-7,9
Q(ω)	0	1,06	2,64	3,70	6,71	-8,36	-6,12	-4,40	-3,02	-2,38

Rys. 7. 8. Badanie stabilności układu z przykładu 7.6

Charakterystyka amplitudowo-fazowa badanego układu otwartego posiada nieciągłość dla
Jeśli ją uzupełnić łukiem o dostatecznie dużym promieniu, to widać, że nie obejmuje ona punktu (-1, j0). A więc po zamknięciu badany układ będzie stabilny.

3. Układ otwarty jest niestabilny

Gdy układ otwarty jest niestabilny, wtedy w celu stosowania kryterium Nyquista należy znać liczbę pierwiastków równania charakterystycznego układu otwartego położonych w prawej półpłaszczyźnie. Wyznacza się je na podstawie znanej struktury układu i znanych transmitancji członów składowych. Gdy układ otwarty ma lokalne sprzężenia zwrotne, należy to odpowiednio uwzględnić. W przypadku, gdy znana jest tylko wypadkowa transmitancja układu otwartego niestabilnego, można na przykład na podstawie kryterium Routha [19] wyznaczyć liczbę znajdujących się w prawej półpłaszczyźnie pierwiastków jej wielomianu charakterystycznego.

Jeśli równanie charakterystyczne układu otwartego posiada r pierwiastków z dodatnią częścią rzeczywistą to kryterium Nyquista stosuje się w jego podstawowej formie (7.25). Bardziej szczegółowo ten przypadek omówiony jest w [13], [16], [19].

Przykład 7.7.

Sprawdzić przy pomocy kryterium Nyquista stabilność UAR, jeśli transmitancja układu otwartego ma postać

gdzie:

k = 50; τ = 0,05[s]; T₁ = 0,1[s]; T₂ = 0,02[s]; T₃ = 0,25[s].

Rozwiązanie

Z transmitancji układu otwartego wynika, że jeden z pierwiastków ma wartość dodatnią

co świadczy o tym, że okład otwarty jest niestabilny (r = 1).

Przebieg charakterystyki amplitudowo-fazowej układu otwartego określimy na podstawie transmitancji widmowej

,

gdzie:

,

.

Na podstawie otrzymanych wzorów możemy przeprowadzić analizę przebiegu charakterystyki amplitudowo-fazowej:

• Dla
  

• Dla
  

• Dla
  

• Dla
  

• Dla
  .

Rys. 7.9. Charakterystyka amplitudowo-fazowa Otwartego UAR z przykładu 7.7

Orientacyjny przebieg charakterystyki amplitudowo-fazowej układu otwartego przedstawiony jest na rys. 7.9. Wektor zaczepiony w punkcie (-1, j0) ślizgając się po otrzymanym wykresie wykona obrót w kierunku dodatnim o kąt π. Wynika stąd, że badany UAR jest stabilny.

Kryterium Nyquista można również stosować posługując się wszystkimi innymi postaciami charakterystyk częstotliwościowych układu otwartego. Najczęściej wykorzystuje się charakterystyki logarytmiczne.

7.4. Logarytmiczne kryterium Nyguista.

Z dotychczasowych rozważań o stabilności, analizując rys. 7.4a można sformułować następujący warunek stabilności

(7.26)

gdzie ω_x jest pulsacją, dla której

(7.27)

Jeżeli charakterystyka częstotliwościowa układu otwartego podana jest w postaci logarytmicznych charakterystyk amplitudowej L(ω) i fazowej ϕ(ω), to warunek (7.26) można zastąpić równoważnym warunkiem

(7.28)

Dla prostych układów automatyki o charakterystykach częstotliwościowych typu przedstawionego na rys. 7.4 kryterium stabilności można sformułować następująco:

Zamknięty układ automatycznej regulacji jest stabilny wówczas, gdy logarytmiczna charakterystyka amplitudowa układu otwartego ma wartość ujemną przy pulsacji odpowiadającej przesunięciu fazowemu -180^o.

Graficzna ilustracja logarytmicznego kryterium Nyquista dla układów statycznych przedstawiona jest na rys. 7.10.

Rys. 7.10. Najprostsza interpretacja logarytmicznego kryterium Nyquista z zaznaczeniem zapasu modułu i fazy: a) układ stabilny, b) układ niestabilny

Bardziej ogólna definicja logarytmicznego kryterium Nyquista, uwzględniająca przypadki, kiedy układ otwarty jest niestabilny formułowana jest następująco:

Po to aby układ zamknięty był stabilny, konieczne i wystarczające jest, aby dla pulsacji, dla których charakterystyka amplitudowa L(ω) układu otwartego jest dodatnia, różnica pomiędzy ilością dodatnich i ujemnych przejść charakterystyki fazowej przez linię -180⁰,-3*180⁰, ... wynosiła r/2, gdzie r - ilość dodatnich pierwiastków równania charakterystycznego układu otwartego. Przejście ϕ(ω) przez linię -180⁰,-3*180⁰, ... z dołu do góry uważa się za dodatnie, zaś z góry w dół - za ujemne.

Graficzną ilustrację tej definicji przedstawia rys. 7.11.

Rys. 7.11. Ilustracja ogólnej definicji logarytmicznego kryterium stabilności UAR

Krzywe 1 i 2 są charakterystyczne dla układów stabilnych po zamknięciu, krzywa 3 - dla układu będącego na granicy stabilności, a krzywa 4 - dla układu niestabilnego.

Przykład 7.8.

Określić stabilność układu, który w stanie otwartym opisany jest transmitancją

gdzie:

k = 20; T₁ = 1,25 [s]; T₂ = 0,6 [s]; T₃ = 0,02 [s]; T₄ = 0,001 [s].

Rozwiązanie

Z postaci równania charakterystycznego układu otwartego wynika wprost, że pierwiastki tego równania są rzeczywiste i ujemne, a więc układ otwarty jest stabilny. Chcąc wykorzystać logarytmiczną postać kryterium Nyquista do zbadania stabilności układu zamkniętego, narysujemy przybliżoną charakterystykę logarytmiczną układu otwartego według następujących danych: 20 log k = 20 log 20 = 26 dB; częstotliwości sprzęgające:

Wykres logarytmicznych charakterystyk badanego układu przedstawiony jest na rys. 7.12.

Z analizy przebiegu amplitudowej i fazowej logarytmicznych charakterystyk wynika, że przy pulsacji odpowiadającej -180^° charakterystyka amplitudowa jest ujemna. Układ po zamknięciu będzie stabilny.

Należy pamiętać, że zastosowany sposób rysowania charakterystyk logarytmicznych daje przybliżone przebiegi, a więc uzyskane wyniki należy traktować jako wstępne oszacowanie.

Rys. 7.12. Logarytmiczne charakterystyki układu z przykładu 7.8

Charakterystyki logarytmiczne mają szerokie zastosowanie, zwłaszcza w zagadnieniach syntezy układów automatycznej regulacji. Będą więc jeszcze niejednokrotnie omawiane bardziej szczegółowo w następnych rozdziałach.

Michał Chłędowski WYKŁADY Z AUTOMATYKI dla mechaników 160

165 7. Stabilność liniowych układów automatycznej regulacji

---