Wydział GEOINŻYNIERII GÓRNICTWA I GEOLOGII

Laboratorium z Hydrogeologii

Ćwiczenia nr 2:

Współczynnik Filtracji

Metoda Przepływu Nieustalonego

Prowadzący: Wykonali:

Dr inż. Stanisław Żak Agnieszka Chańska

Agnieszka Śpiewak

Ołesia Omelan

Aneta Świderska

Michał Tylawski

Adam Konopka

Oliver Dańczak

Kamil Piszczałka

Damian Skubiński

1. Zagadnienia teoretyczne

1.1 Stało- i zmiennogradientowa metoda wyznaczania współczynnika filtracji

Współczynnik filtracji po raz pierwszy zdefiniował i wprowadził do hydrogeologii Henry Darcy (Darcy 1856). Na podstawie badań filtracji wody przez piaski stwierdził, że wydatek wody Q jest wprost proporcjonalny do powierzchni przekroju F prostopadłego do kierunku filtracji, różnicy wysokości hydraulicznych ΔH wywołującego filtrację i odwrotnie proporcjonalne do długości drogi filtracji Δl. Ponadto, dla danego rodzaju piasku, wydatek jest wprost proporcjonalny do pewnej wielkości, którą nazwał współczynnikiem filtracji k. Jest to parametr charakteryzujący zdolność skał do filtracji wody (wodoprzepuszczalność skał).

(1)

Badania laboratoryjne współczynnika filtracji wykonuje się za pomocą specjalistycznych aparatów zwanych permeametrami, które ze względu na charakter filtracji wody i zasadę działania można podzielić na stało- i zmiennogradientowe.

W metodzie stałogradientowej dokonuje się pomiaru natężenia objętościowego przepływu wody (wydatku) Q oraz różnicy wysokości hydraulicznych ΔH (poziomów wody) na długości drogi filtracji Δl. Współczynnik filtracji można, w tym przypadku, wyznaczyć bezpośrednio z wzoru Darcy'ego.

Przykładem permeametru stałogradientowego może być aparat Darcy'ego. W aparatach o zmiennych gradiencie hydraulicznym, (metoda przepływu nieustalonego) pomiar współczynnika filtracji odbywa się na podstawie obserwacji opadania zwierciadła wody w rurce pomiarowej mającej stały przekrój. Prędkość opadania zwierciadła wody w kolumnie filtracyjnej wynosi
. Zgodnie z prawem Darcy
. Zatem, po porównaniu stronami i rozdzieleniu zmiennych:

Całkując powyższe równanie w granicach od t = t₀; h = h₀, do t = t₁; h = h₁ oraz oznaczając Δt = t₁ - t₂ otrzymuje się:

a stąd, po uporządkowaniu:

(3)

W aparatach o zmiennym gradiencie hydraulicznym należy określić pole powierzchni przekroju F oraz wysokość badanej próbki piasku Δl, pole przekroju rurki pomiarowej f początkową i końcową różnicę poziomów wody (h₀ i h₁). Doświadczenie polega na uchwyceniu w jakim czasie Δt poziom wody obniży się z h₀ do h₁. Współczynnik filtracji k można wyliczyć ze wzoru (3), który może ulegać różnym modyfikacjom w zależności od cech konstrukcyjnych poszczególnych permeametrów. Typowym przykładem permeametru zmiennogradientowego jest rurka Kamieńskiego.

Badania przeprowadziliśmy za pomocą Parametru Kolumnowego UPK-99.

Przeznaczony on jest do pomiarów współczynnika filtracji k utworów pylastych, piaszczystych oraz żwirowych w zakresie od 10^-6 do 10^-2 m/s. Oznaczenie k można wykonać zarówno metodą stałogradientową, jak i zmiennogradientową, przy dwóch kierunkach strumienia filtracji: z dołu do góry oraz z góry na dół. Badania wykonuje się w warunkach laboratoryjnych. Permeametr UPK-99 umożliwia przygotowanie próbki piasku do badań według jednolitej metodyki, przez co zapewniona zostaje saturacja i konsolidacja badanej próbki piasku.

Objaśnienia: 1 - badana próbka piasku, 2 - próbnik z siatką filtracyjną do pobrania lub załadowania próbki piasku, 3 - kielichowy uchwyt próbnika, 4 - uszczelka pierścieniowa, 5 - zbiornik cylindryczny z końcówką do węża, 6 - podstawa, 7 - kolumna lewa do zasilania wodą, 8 - kolumna pomiarowa, 9 - kolumna prawa do zasilania wodą, 10 - nakładka pomiarowa na próbnik, 11 - zespół zasilania wodą, 12 - przelew nadmiarowy (pomiarowy), 13 - przelew pomiarowy (nadmiarowy)

Działanie i obsługa permeametru UPK-99:

Wykonanie pełnego badania współczynnika filtracji próbki piasku, za pomocą Uniwersalnego Permeametru Kolumnowego UPK-99, wymaga zrealizowania następujących zadań cząstkowych:

1. Załadowanie próbki piasku do próbnika

2. Saturacja badanej próbki piasku

3. Konsolidacja badanej próbki piasku

4. Oznaczenie współczynnika filtracji, przy przepływie wody z dołu ku górze:

1. metodą stałogradientową

2. metodą zmiennogradientową

5. Oznaczenie współczynnika filtracji, przy przepływie wody z góry na dół:

1. metodą stałogradientową

2. metodą zmiennogradientową

Wyznaczenie współczynnika filtracji:

Do oznaczenia współczynnika filtracji można przystąpić dopiero po zakończeniu saturacji i konsolidacji badanej próbki piasku. Uniwersalny Permeametr Kolumnowy UPK-99 umożliwia oznaczenie współczynnika przy przepływie wody przez próbkę w dwóch kierunkach: z dołu ku górze oraz z góry na dół. Dla obu kierunków filtracji można wyznaczyć współczynnik filtracji metodą stało- i zmiennogradientową.

Filtracja wody w kierunku z dołu do góry

Metoda stałogradientowa:

Oznaczenie współczynnika filtracji k [cm/s] metodą stałogradientową polega na:

• zmierzeniu wysokości badanej próbki piasku Δl [cm] ,

• zmierzeniu różnicy wysokości hydraulicznych ΔH [cm],

• zmierzeniu wydatku wody przez badaną próbkę piasku Q [cm³/s].

Wysokość badanej próbki piasku Δl [cm] należy odczytać na skali umieszczonej na próbniku.

Różnicę wysokości hydraulicznych ΔH [cm] można określić na podstawie odczytu poziomów wody w kolumnie pomiarowej i nakładce pomiarowej.

(4)

Natężenie filtracji wody Q [cm³/s] przez badaną próbkę piasku należy oznaczyć poprzez pomiar czasu t [s] przefiltrowania objętości wody V [cm³]:

(5)

Do pomiaru czasu t należy zastosować stoper, natomiast pomiar objętości V można wykonać za pomocą wyskalowanej menzurki. Ważny jest dobór odpowiedniej menzurki w zależności od natężenia filtrującej wody. Im mniejszy natężenia filtracji tym menzurka powinna być mniejsza i mieć mniejszą średnicę. W znacznym stopniu wpływa to na dokładność pomiarów.

Uwzględniając w równaniu zależność można obliczyć k [cm/s] ze wzoru:

(6)

Metoda zmiennogradientowa:

Uniwersalny Permeametr Kolumnowy UPK-99 ma nieco inną konstrukcję niż typowa rurka Kamieńskiego. Z tego względu wzór musi ulec nieznacznej modyfikacji. Woda filtruje przez badaną próbkę o powierzchni
, natomiast zwierciadło wody opada w kolumnie pomiarowej o powierzchni
i równocześnie w kolumnie zasilającej o powierzchni
. Bilans strumieni wody: filtrującej przez badaną próbkę oraz przepływającej w kolumnach pomiarowej i zasilającej przedstawia równanie:

Po rozdzieleniu zmiennych uzyskuje się:

,

a po scałkowaniu w granicach od t₁ do t₂ oraz od h₀ do h₀ - Δs :

Ostatecznie, po uporządkowaniu, otrzymuje się:

(7)

Ponieważ w permeametrze UPK-99 (wersja laboratoryjna) średnica d₁ = 60 mm, natomiast d₂ = 40 mm to:

(8)

Wykonanie oznaczenia współczynnika filtracji k [cm/s] polega na:

• zmierzeniu wysokości badanej próbki piasku Δl [cm],

• zmierzeniu różnicy wysokości hydraulicznych ΔH=h₀ [cm],

• zmierzeniu depresji Δs [cm],

• zmierzeniu czasu Δt [s], po którym zwierciadło wody obniży się o depresję Δs [cm].

Wysokość badanej próbki piasku Δl [cm] należy odczytać na skali umieszczonej na próbniku.

Różnicę wysokości hydraulicznych ΔH= h₀ [cm] można zmierzyć analogicznie jak w metodzie stałogradientowej, korzystając z podziałek na rurach.

Depresję Δs [cm] można odczytać przy pomocy liniału z dwustronna skalą milimetrową, natomiast czas Δt należy zmierzyć za pomocą stopera. Do obliczenia wartości liczbowej współczynnika filtracji k potrzebna jeszcze będzie wartość początkowej wysokości zwierciadła wody h₀, która jest równa różnicy wysokości hydraulicznych ΔH. Wartość współczynnika filtracji k oblicza się ze wzoru.

Podczas badania współczynnika filtracji należy kontrolować temperaturę wody T [^oC]. Pomiary temperatury najlepiej przeprowadzić w prawej kolumnie zasilającej.

Filtracja wody w kierunku z góry na dół:

Metoda stałogradientowa:

Badanie współczynnika filtracji przy przepływie wody w kierunku z góry na dół odbywa się analogicznie jak przy przepływie z dołu do góry. Przelewy należy ustawić tak, aby wyższy poziom wody był teraz w prawej kolumnie zasilającej oraz w nakładce pomiarowej, natomiast w kolumnie pomiarowej oraz w lewej kolumnie zasilającej poziom wody powinien być niższy.

Metoda zmiennogradientowa:

Oznaczenie współczynnika filtracji należy przeprowadzić zupełnie analogicznie jak w przypadku filtracji wody przez badaną próbkę piasku w kierunku z dołu ku górze.

Podczas badania współczynnika filtracji k , przy przepływie wody w kierunku z góry na dół, należy także kontrolować temperaturę wody T, najlepiej w lewej kolumnie zasilającej

2. Wykonanie ćwiczenia

1. METODA STAŁOGRADIENTOWA

Kierunek filtracji	Nr pomiaru	T	Δl	H1	H2	ΔH	V		t	k
				^oC	cm	cm	cm	cm	cm^3	cm^3	s	cm/s	m/s
	Góra ↑ Dół	1	21,0	10,0	3,1	7,2	4,1	22	22,00	59,90	0,03164	0,00032
		2	21,0	10,0										22		59,96
		3	21,0	10,0				3,1		10,1			7,0	33,5	33,25	60,08	0,02801	0,00028
		4	21,0	10,0										33		59,98
	Góra ↓ Dół	5	21,0	10,0				7,0		2,5			4,5	22	21,75	60,01	0,02850	0,00028
		6	21,0	10,0										21,5		59,95
		7	21,0	10,0				10,0		2,5			7,5	36	36,00	60,00	0,02831	0,00028
		8	21,0	10,0										36		59,99
Wartość średnia k										0,02911	0,00029
Wartość średnia k10										0,02192	0,00022

Gdzie:

k- współczynnik filtracji [cm/s]

k₁₀- współczynnik filtracji wyznaczony dla temperatury T=10 °C [cm/s]

Vśr - średnia objętość przefiltrowanej wody przez próbkę [cm3]

∆l - wys0kość badanej próbki piasku [cm]

T- temperatura wody [°C]

F- powierzchnia badanej próbki [cm2]

d₁- średnica badanej próbki [cm]

H₁- poziom wody w nakładce pomiarowej [cm]

H₂-poziom wody w kolumnie pomiarowej [cm]

∆H- różnica wysokości hydraulicznych [cm]

t- czas filtracji wody przez próbkę [s]

Przykładowe obliczenia:

Różnicę wysokości hydraulicznych wyliczono we wzoru:

ΔH =

ΔH =
= |3,1-7,2|= 4,2 [cm]

Współczynnik filtracji k dla metody stałogradientowej obliczamy ze wzoru:

, gdzie: F=

Pamiętamy, że
= 60 [mm]
= 40 [mm].

Zatem F = 28,26 [cm
].

Np.

Współczynnik filtracji k₁₀ dla temperatury 10°C wyznaczono ze wzoru, który przelicza wartości współczynnika filtracji k dla dla wody o temperaturze T °C na wartość współczynnika filtracji dla wody o temperaturze 10°C:

Przykład obliczeń dla średniej wartości współczynnika filtracji k, uzyskaną z pomiarów uzyskiwanych przy temperaturze T=21 [°C]

Np.

ZMIENIC!!!

2. METODA ZMIENNOGRADIENTOWA

Kierunek filtracji	Nr pomiaru	T	Δl	Wysokość położenia przelewu H1	Górny poziom opadającego zwierciadła wody H2	Dolny poziom opadającego zwierciadła wody H3	h0		Δt	k
				^oC	cm	cm	cm	cm	cm	cm	s	cm/s	m/s
	góra ↓ dół	1	21,0	10,0	12,7	2,0	5,0	10,7	7,7	60,3	0,0407	0,00041
		2	21,0	10,0	12,7	2,0	5,0	10,7	7,7	60,3	0,0407	0,00041
	góra ↑ dół	1	21,0	10,0	12,7	2,0	4,0	10,7	8,7	60,5	0,0478	0,00048
		2	21,0	10,0	12,7	2,0	4,0	10,7	8,7	60,5	0,0478	0,00048
Wartość średnia k .										0,0442	0,00045
Wartość średnia k10 .										0,0333	0,00034

T- Temperatura [˚C]
∆l- Wysokość badanej próbki piasku [cm]
H₁- Wysokość położenia przelewu [cm]

H₂- Górny poziom opadającego zwierciadła wody [cm]

H₃- Dolny poziom opadającego zwierciadła wody [cm]

h₀- Początkowa wartość zwierciadła wody [cm]

h₁- Końcowa wartość zwierciadła wody [cm]

Δt- Czas, po którym zwierciadło wody obniży się o depresję [s]

d₁- Średnica cylindra [cm]

d₂- Wysokość cylindra od podstawy położonego ciężarka [cm]

d₃- Średnica ciężarka [cm]

k- Współczynnik filtracji w temperaturze T= 21˚C [cm/s, m/s]
k₁₀- Współczynnik filtracji w temperaturze T =10˚C [cm/s, m/s]

d₁=6cm

d₂=4cm

d₃=5cm

Początkowa wartość zwierciadła wody obliczamy ze wzoru: h₀=|H₂-H₁|

Końcowa wartość zwierciadła wody obliczamy ze wzoru: h₁=|H₃-H1|

Współczynnik filtracji z góry na dół obliczamy ze wzoru:

Zmienić!!!

Współczynnik filtracji z dołu do góry obliczamy ze wzoru

Przeliczenie wartości współczynnika filtracji k dla wody o temperaturze 21 [˚C], na wartość współczynnika filtracji k₁₀ dla wody o temperaturze 10 [˚C].

k_śr=0,0243 [cm/s]

T= 21 [°C]

3. Dyskusja błędów

Metoda różniczki zupełnej

Jeżeli oznaczana wielkość f=f(x₁, x₂, x₃, …,x_N) zależy od N zmiennych pomiarowych, to maksymalny błąd oznaczenia określony metodą różniczki zupełnej wynosi:

1. Przepływ ustalony

Dla przepływu ustalonego współczynnik filtracji określany jest ze wzoru:

Gdzie:

V-objętość wody przepływającej przez próbkę gruntu w czasie t [cm³]

l- długość drogi filtracji (wysokość próbki ) [cm]

d₁- średnica próbki [cm]

h=∆H -różnica wysokości hydraulicznych na długości drogi filtracji l [cm]

t- czas [s]

Błąd oznaczenia współczynnika filtracji określony metodą różniczki zupełnej wynosi :

Dokładność określania poszczególnych wielkości pomiarowych wynosi:

∆V=1 cm³

∆l= 0,1 cm

∆d₁= 0,01 cm

∆h= 0,1 cm

∆t= 0,1 s

Zgodnie z powyższym wzorem obliczono niepewności, uzyskane wyniki umieszczono w tabeli.

Niepewności związane z poszczególnymi wielkościami pomiarowymi

cm/s	cm/s	cm/s	cm/s	cm/s	cm/s	cm/s	cm/s	-
0,000198	0,000303	0,000101	0,000379	0,0000220	0,00398	0,00454	0,00401	12,04
0,000841	0,000308	0,000102	0,000560	0,0000513	0,00437
0,000617	0,000287	0,0000958	0,000383	0,0000479	0,00382
0,000841	0,000299	0,0000998	0,000544	0,0000499	0,00433

Przykładowe obliczenia dla niepewności:

K= ZMIENIC !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! UP

Na podstawie powyższego zestawienia niepewności związanych z poszczególnymi wielkościami pomiarowymi można stwierdzić, że największe niepewności związane są z pomiarem objętości przepływającej wody. Również można zauważyć, że wielkość błędu oznaczenia wzrasta przy malejącym gradiencie hydraulicznym. Całkowity błąd w oznaczeniu współczynnika filtracji wynosi 12 %. Zgodnie z przeprowadzoną analizą błędów wartość współczynnika filtracji wynosi k=0,048±0,0045 [cm/s]. Oznaczona wartość współczynnika filtracji w aparacie UPK metodą przepływu ustalonego wynosi: k₁₀=0,022±0,0040.

2. Przepływ nieustalony

Dla przepływu nieustalonego z dołu do góry współczynnik filtracji określany jest wzorem:

gdzie:

l - długość drogi filtracji (wysokość próbki [cm],

d₁ - średnica próbki [cm],

d₂ - średnica rurek [cm],

d₃ - średnica ciężarka [cm],

h₀ - początkowa różnica wysokości hydraulicznych [cm],

h₁ - końcowa (po czasie t) różnica wysokości hydraulicznych [cm],

t - czas [s].

Błąd oznaczanie współczynnika filtracji dla metody przepływu nieustalonego z dołu do góry wynosi:

Natomiast przy przepływie nieustalonym z góry do dołu musimy także uwzględnić średnicę ciężarka umieszczonego na próbce gruntu, zatem wzór przybiera postać:

Błąd oznaczanie współczynnika filtracji dla metody przepływu nieustalonego z góry na dół:

Dokładność określania poszczególnych wielkości pomiarowych wynosi:

Δd₁ = 0,01 cm; Δd₂ = 0,01 cm; Δd₃ = 0,01 cm; Δl = 0,1 cm; Δt = 0,1 s; Δh₀ = 0,1 cm; Δh₁ = 0,1 cm.

Obliczenia zgodnie z powyższymi wzorami znajdują się w tabeli.

Tabela z wynikami: Niepewności związane w poszczególnymi wielkościami pomiarowymi.

Kierunek filtracji	L.p.							Δk	Δksr	Δk10	Δk10*100/ k10
				cm/s	cm/s	cm/s	cm/s	cm/s	cm/s	cm/s	cm/s	cm/s	[%]
	z góry na dół	1	0,0000609	0,0000525	0,000359	0,0000497	0,000143	0,00206	0,00472	0,00474	0,0040	21,85
		2	0,0000618	0,0000412	0,000401	0,0000146	0,000702	0,00150	0,00476
	z dołu do góry	3	0,0000651	0,0000434	0,000423	0,0000162	0,000740	0,00158	0,00487				0,0049	0,0043	23,49
		4	0,0000664	0,0000442	0,000431	0,0000169	0,000755	00,00161	0,00493

Przedstawione zestawienie wskazuje, że największe niepewności związane są z odczytem poziomów wody, przy opadaniu zwierciadła wody. Całkowity błąd w oznaczeniu współczynnika filtracji, wynosi średnio, ok. 23%. Zgodnie z przeprowadzoną analizą błędów, wartość współczynnika filtracji mieści się w zakresie: (k=0,0442±0,004 cm/s). Oznaczona wartość współczynnika filtracji w aparacie UPK metodą przepływu nieustalonego wynosi: k₁₀=0,0383±0,002 cm/s.

Wnioski

Na podstawie przeprowadzonych badań współczynnika filtracji gruntu piaszczystego w aparacie UPK sformułowaliśmy następujące wnioski:

1. Oznaczona wartość współczynnika filtracji w aparacie UPK metodą przepływu ustalonego wynosi: k₁₀=0,02192±0,0020

2. W metodzie przepływu ustalonego największe niedokładności w oznaczaniu współczynnika filtracji związane są z pomiarem objętości wody przepływającej przez próbkę gruntu w czasie t, oraz różnicy poziomów wody.

3. Oznaczona wartość współczynnika filtracji w aparacie UPK metodą przepływu nieustalonego wynosi: k₁₀=0,0333±0,004 cm/s.

4. W metodzie przepływu nieustalonego największe niedokładności w oznaczaniu współczynnika filtracji związane są z odczytem poziomów wody, przy opadaniu zwierciadła wody.

5. Błąd w oznaczeniu współczynnika filtracji zarówno metodą przepływu ustalonego jak i nieustalonego wynosi średnio ok. 16%.

6. Uzyskane wartości współczynnika filtracji przy przepływie wody z góry na dół i z dołu do góry, są zbliżone.

7. Uzyskane wartości współczynnika filtracji określone metodą przepływu ustalonego i nieustalonego, również mają bardzo zbliżone wartości.

8. Pomiary zostały wykonane prawidłowo, gdyż wszystkie oznaczenia współczynnika filtracji mieszczą się w zakresie określonym przez przeprowadzoną analizę błędów.

15

(2)

Oznaczenie współczynnika filtracji metodą zmiennogradientową

przy filtracji w kierunku z dołu ku górze

Oznaczenie współczynnika filtracji metodą stałogradientową

przy filtracji w kierunku z dołu ku górze

Oznaczenie współczynnika filtracji metodą stałogradientową

przy filtracji w kierunku z góry na dół

---