Nr. ćw. 103	Data 28.03.01	Jakacki Zbigniew	Wydział Elektryczny	Semestr II	Grupa E-3
Prowadzący: mgr B. Jazurek			Przygotowanie	Wykonanie	Ocena

Temat: Wyznaczanie modułu Younga metodą wydłużenia

Każde ciało składa się z atomów, które oddziałują między sobą siłami zależnymi od wzajemnego ich rozmieszczenia. Siły te przy pewnej odległości są równe zeru a energia potencjalna osiąga wartość minimalną. Jest to odległość w której atomy są w równowadze. Jeżeli całe ciało ma wszystkie atomy w równowadze to nie dąży do samorzutnej zmiany wymiarów.

Przykładając do tegoż samego ciała siłę zewnętrzną powodujemy pojawienie się wewnętrznej siły sprężystości która działając w różnych kierunkach stara się przywrócić stan równowagi.

Zmieniając pod wpływem siły zewnętrznej odległości między atomami doprowadzamy do makroskopowej deformacji ciała zwanej odkształceniem. Jeżeli ciało wraca do położenia równowagi po odjęciu tej siły to odkształcenie nazywamy sprężystym, natomiast nie zanikające określamy jako plastyczne.

Działanie sił na ciało może być prostopadłe lub styczne do powierzchni. Stosunek siły normalnej (prostopadłej) F_n do wartości powierzchni S określany jest mianem naprężenia normalnego i wyrażony zależnością

Działające naprężenia powodują wydłużenie lub skrócenie ciała. Stosunek przyrostu długości Δl do długości początkowej l zwany jest odkształceniem względnym

Wydłużenie względne jest wprost proporcjonalne do naprężenia normalnego zatem przyjmuje postać

gdzie

E - współczynnik proporcjonalności (moduł Younga)

Jest to prawo Hooke'a słuszne zarówno do wydłużenia jak i skrócenia ciała.

Chcąc wyznaczyć wartość moduły Younga korzystamy z poniższej zależności

Tworząc wykres powyższego równania i odkładając na osiach współrzędnych naprężenie normalne i odkształcenie względne otrzymamy linię prostą a współczynnik jej nachylenia zwany jest modułem Younga.

Do wyznaczenia modułu Younga stosujemy drut o długości 1-3m, który swym górnym końcem jest przymocowany do nieruchomego uchwytu, zaś na jego dolnym zainstalowana jest szalka umożliwiająca nakładanie obciążeń oraz poziomica której drugi koniec opiera się na śrubie mikrometrycznej.

Nakładając obciążenia i odczytując wartości ze śruby przy położeniu poziomym poziomicy odczytujemy przyrost długości drutu. Gdy osiągniemy wartość maksymalną obciążenia pomiarów dokonujemy w odwrotnej kolejności tzn. od największego do najmniejszego obciążenia. Jeżeli wartości przy jednakowych obciążeniach wzrastających i malejących są zgodne to zakres obciążeń nie przekroczyć granicy sprężystości.

1. Długość drutu

długość drutu l =1,32±0,001 [m]

2. Średnica drutu (10 pomiarów)

Pomiar	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Średnica drutu [mm]	0,51	0,51	0,5	0,49	0,51	0,5	0,51	0,5	0,5	0,51

Uśredniając powyższe pomiary otrzymałem:

• średnica drutu φ=0,504±0,007 [mm]

• odchylenie standardowe δφ=0,01 [mm]

• 
  promień drutu r=0,252±0,0035 [mm]

- pole przekroju S=∏⋅r²=0,201±0,0055 [mm²]

4. Pomiary wydłużenia przy wzrastającym i malejącym obciążeniu szalki

Pomiar	1	2	3	4	5	6	7
obciążenie [g]	m0+50	M0+100	m0+150	m0+200	m0+250	m0+300	m0+350
Zn rosnąco [mm]	0,04	0,06	0,10	0,15	0,17	0,22	0,25
Zn malejąco [mm]	0,02	0,07	0,10	0,15	0,18	0,21	0,25
Pomiar	8	9	10	11	12	13	14
obciążenie [g]	m0+400	M0+450	m0+500	m0+550	m0+600	m0+650	m0+700
Zn rosnąco [mm]	0,28	0,30	0,34	0,36	0,40	0,44	0,46
Zn malejąco [mm]	0,28	0,31	0,34	0,37	0,40	0,43	0,46

• odchylenie standardowe δZ_n=0,01 [mm]

• masa początkowa m₀=500 [g]

• położenie początkowe przy masie m₀ Z₀=0,00±0,01 [mm]

Z powyższych otrzymanych pomiarów wynika, że granica sprężystości nie została przekroczona

Uśredniając powyższe wyniki otrzymuje wartości oraz ich odchylenia standardowe

Pomiar	1	2	3	4	5	6	7
Zn [mm]	0,03	0,065	0,1	0,15	0,175	0,215	0,245
δZn	0,024	0,017	0,01	0,01	0,017	0,017	0,017
Pomiar	8	9	10	11	12	13	14
Zn [mm]	0,28	0,305	0,34	0,365	0,4	0,435	0,46
δZn	0,01	0,017	0,01	0,017	0,01	0,017	0,01

Wyznaczam naprężenia normalne i błąd korzystając z metody różniczki logarytmicznej:

Δm = 1 [g]

g = 9,81 [m/s²]

Δg = 0,01 [m/s²]

otrzymuje

Pomiar	1	2	3	4	5	6	7
δ [N/m^2]	26843284	29283582	31723881	34164179	36604478	39044776	41485075
δσ [N/m^2]	1829045	1895819	1962594	2029368	2096142	2162917	2229691
pomiar	8	9	10	11	12	13	14
δ [N/m^2]	43925373	46365672	48805970	51246269	53686567	56126866	58567164
δσ [N/m^2]	2296465	2363240	2430014	2496788	2563563	2630337	2697111

Obliczam odkształcenie względne i błąd korzystając z różniczki logarytmicznej

otrzymuje

pomiar	1	2	3	4	5	6	7
ε	0,0000227	0,0000492	0,000758	0,000114	0,000133	0,000163	0,000186
δε	0,00000758	0,00000758	0,00000758	0,00000758	0,00000759	0,00000759	0,00000759
pomiar	8	9	10	11	12	13	14
ε	0,000212	0,000231	0,000258	0,000277	0,000303	0,00033	0,000348
δε	0,00000759	0,00000759	0,0000076	0,0000076	0,0000076	0,0000076	0,0000076

Tworząc wykres poniższego równania i odkładając na osiach współrzędnych naprężenie normalne i odkształcenie względne otrzymuje linię prostą a współczynnik jej nachylenia zwany jest modułem Younga, który obliczam z zależności

czyli E = 2,20 1011 [N/m2]

b = 1,8 10-5

Poniższy wykres przedstawia tę zależność

Obliczam błąd δE za pomocą różniczki zupełnej korzystając z poniższego wzoru

Pomiar	1	2	3	4	5	6	7
δEn	4,74⋅10^11	1,3⋅10^11	6,78⋅10^10	3,79⋅10^10	3,16⋅10^10	2,44⋅10^10	2,11⋅10^10
Pomiar	8	9	10	11	12	13	14
δEn	1,82⋅10^10	1,68⋅10^10	1,5⋅10^10	1,41⋅10^10	1,29⋅10^10	1,19⋅10^10	1,14⋅10^10

wyznaczając średnią otrzymałem δE_n=6,338⋅10¹⁰ [N/m²]

ostateczny wynik to E=(2,20 ± 0,6358) ⋅10¹¹ [N/m²]

5. Wnioski

Badany materiał (drut) to najprawdopodobniej stal. Wyznaczony moduł Younga jest bardzo podobny do metali z zakresu (1,01÷2,20) ⋅10¹⁰ [N/m²] takich jak: miedź, mosiądz nikiel itp.

Badany drut pod obciążeniem m₀ był w niektórych miejscach zniekształcony co mogło spowodować niedokładności w pomiarach, z drugiej strony nie mogę być zbytnio pewien swych pomiarów gdyż odczyty z przyrządów mogłem wykonać pod pewnym kątem co mogło spowodować błąd paralaksy.

---