1.5. Zmienna losowa X

Zmienną losową X nazywamy funkcję rzeczywistą określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych E i mierzalną względem ciała zdarzeń S:

,

która każdemu zdarzeniu elementarnemu e∈E przyporządkowuje liczbę rzeczywistą X(e)∈R

Jest zmienną, która w wyniku doświadczenia (losowego) przyjmuje jedną i tylko jedną wartość ze zbioru wszystkich wartości, jakie zmienna ta może przyjąć.

Jest to wielkość, która na skutek przeprowadzonego doświadczenia przyjmuje określoną wartość, znaną dopiero po wykonaniu tego doświadczenia (oznaczenie: X, Y, wartości, jakie przyjmuje: x, y).

Wzajemne przyporządkowanie zmiennych losowych i zdarzeń jest jednoznaczne,

Rodzaje zmiennych losowych:

• skokowa (dyskretna) - jest to zmienna, która posiada skończony lub policzalny zbiór wartości, najczęściej są to liczby naturalne (np. liczba oczek wyrzucona za pomocą kostki do gry),

• ciągła - jest to zmienna, która może przybierać dowolne wartości liczbowe (rzeczywiste) z pewnego przedziału, nieskończonego i niepoliczalnego (np. stężenie procentowe roztworu).

Dystrybuantą zmienne losowej X nazywany funkcję F(x) zmiennej rzeczywistej x, która wyznacza prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa X przyjmie w uporządkowanym zbiorze x₁ ≤ x₂ ... ≤ x_i ≤ ...x_n-1≤ x_n wartość mniejszą od x:

dla zmiennej skokowej

dla zmiennej ciągłej

gdzie f(x) jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, stąd:

Własności dystrybuanty:

• przyjmuje wartości z przedziału 0 ≤ F(x) ≤ 1 dla x ∈ (-∞;+∞);

• jest funkcją niemalejącą, tzn. dla x₁ < x₂ zawsze F(x₁) ≤ F(x₂);

• jest funkcją lewostronnie ciągłą;

• 
  oraz
  .

Parametry zmiennej losowej lub parametry rozkładu zmiennej losowej są to liczby charakteryzujące wartości, jakie może przybierać zmienna losowa.

• Wartość oczekiwana (przeciętna) E(x) - jest to wartość, wokół której skupiają się realizacje zmiennej losowej uzyskiwane w wyniku wielokrotnego powtarzania eksperymentu.

skokowej
ciągłej

• Wariancja zmienne losowej V(X) - miara rozproszenia wartości zmiennej wokół średniej, jest to wartość oczekiwana kwadratu różnicy tej zmiennej i wartości oczekiwanej E(X):

skokowa

ciagla

• Odchylenie standardowe ၳ zmiennej losowej:
  

• Medianą Me zmiennej losowej X - nazywamy wartość x, która spełnia układ równań:

• Modalną Mo zmiennej losowej X - nazywamy wartość x, której odpowiada największe prawdopodobieństwo realizacji.

Zmienne losowe są opisywane za pomocą funkcji (rozkładów). W zależności od rodzaju zmiennej są to:

• Dla zmiennej losowej SKOKOWEJ:

która przybiera wartości: x₁, x₂, ..., x_n i odpowiadającym i prawdopodobieństwom p₁, p₂, ..., p_n, definiowana jest funkcja prawdopodobieństwa

x_i - wartości jakie przyjmuje zmienna losowa X

p_i - prawdopodobieństwa z jakimi przyjmuje ona wartości x_i

• Dla zmiennej losowej CIAGŁEJ:

nie jest możliwe przypisanie wszystkim jej wartościom dodatnich prawdopodobieństw sumujących się do jedności. Można jednak przyporządkować prawdopodobieństwa przedziałom liczbowym:

P(x < X < x+Δx)

gdzie Δx jest długością przedziału o początku w x.

Jeżeli Δx → 0 oraz istnieje granica funkcji f(x), to granicę tę nazywamy funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.

Przykładowe rozkład zmiennej losowej

• SKOKOWEJ

Rozkład zero- jedynkowy

Zmienna losowa X przyjmuje dwie wartości (p-powodzenie, q-porażka) x₁ = 1 i x₂ = 0

z prawdopodobieństwem

P(X=x₁=1) = p i P(X=x₂=0) = q

Wartość oczekiwana

Wariancja

Rozkład Bernouliego (dwumianowy)

Określa prawdopodobieństwo, tego że realizując n doświadczeń osiągniemy k sukcesów (k ≤ n).

p - prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczym doświadczeniu,

q - prawdopodobieństwo porażki w pojedynczym doświadczeniu

k = 0, 1, 2, ..., n i p + q =1

Wartość oczekiwana:

Wariancja:

Zmienna losowa o rozkładzie dwumianowym opisuje eksperyment polegający na przeprowadzeniu n (n ≥ 2)niezależnych doświadczeń, wynikiem może być tylko jedno z dwóch możliwych stanów: sukces lub porażka.

Rozkład Poissona

Rozkład ten jest szczególnym przypadkiem rozkładu dwumianowego, przy czym:

• prawdopodobieństwo sukcesu musi być małe, tzn. p<0,02,

• liczba doświadczeń musi być duża, tzn. n >20.

Aby znaleźć odpowiednie prawdopodobieństwo P(X=k) korzystamy z tablic rozkładu Poissona.

Określamy także wartość oczekiwaną

Rozkład Poissona:

Wartość oczekiwana:

Wariancja:

• CIĄGŁEJ

Rozkład normalny

Rozkład normalny (rozkład Gaussa) jest rozkładem, który dotyczy zmiennej losowej ciągłej, której zbiór wartości jest nieskończony i nieprzeliczalny. Np. waga, wzrost, wynagrodzenia, wiek.

Zmienna losowa X ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną (średnią) równą m i odchyleniem standardowym równym σ.

Wykres funkcji gęstości rozkładu normalnego określany jest jako krzywa normalna, która przyjmuje następującą postać:

Rozkład normalny jest rozkładem symetrycznym ponieważ

Zastosowanie liczb losowych

Liczby losowe (a właściwie pseudolosowe które zachowują się jak zmienna losowa)można wykorzystać w reprezentatywnych badaniach statystycznych ekonomicznych, symulacjach, grach komputerowych systemach telekomunikacyjnych czy też czy algorytmach probabilistycznych (takich jak np. całkowanie Monte Carlo)

Zaletą tych liczb jest miedzy innymi w telekomunikacyji:

- niosą informacje

- mają korzystny charakter energetyczny

- dobre wykorzystanie kanału
- większa efektywność wykorzystania pasma

Funkcja gęstości rozkładu normalnego

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0

5

10

15

20

25

x

f(x)

m

---