Stałe pole elektryczne

Ciała występujące w przyrodzie obdarzone są takimi statycznymi wielkościami fizycznymi jak masa, objętość, ładunek elektryczny. Pierwsza z nich związana jest z występowaniem pola grawitacyjnego a ostatnia pola elektrostatycznego. W polu grawitacyjnym mieliśmy do czynienia z zasadą zachowania energii-masy. Podobnie w polu elektrostatycznym będziemy obowiązywać zasada zachowania ładunku elektrycznego. W najprostszej postaci mówi ona, że w układzie izolowanym suma skalarna ładunków elektrycznych zawartych w nim ciał jest stała. Oznacza to, że ładunki elektryczne (podobnie jak materia rozumiana jako suma masy i energii) nie mogą ani powstawać ani znikać samoistnie. Choć istnieje zjawisko kreacji par ładunków o przeciwnych znakach z fotonów elektrycznie obojętnych to i to zjawisko jest podporządkowane powyższej zasadzie zachowania ładunku elektrycznego.

Pole elektrostatyczne, podobnie jak pole grawitacyjne jest jednym z tzw. pól oddziaływań. Pole takie charakteryzuje się występowaniem pewnej własności. Cechą taką w przypadku pola grawitacyjnego jest występowanie siły, której wartość jest wprost proporcjonalna do wartości masy próbnika. W przypadku pola elektrostatycznego próbnik musi posiadać niezerowy ładunek wypadkowy, a siła występująca w tym polu jest wprost proporcjonalna do wartości tego ładunku i zmienia znak na przeciwny przy zmianie znaku ładunku próbnika. Można to symbolicznie zapisać:

1.  ∼ q

2. q → -q ⇒ → - .

Prawo Coulomba

Ładunki punktowe Q i q oddziałują na siebie siłą
(rysunek 53) opisywaną przez prawo Coulomba:

,

gdzie
oznacza wersor (wektor jednostkowy) skierowany od źródła pola Q do przedmiotu q a k jest stałą uniwersalną.

Rys. 53 Siła elektrostatyczna działająca ze strony źródła Q⁺ na próbnik dodatni q⁺ w odległości r

8.2. Zasada superpozycji pól

W przypadku, gdy źródło można podzielić na ładunki punktowe, wypadkowa siłę liczymy sumując wektorowo (!) siły działające na próbnik z ładunkiem i pochodzące od poszczególnych ładunków punktowych źródła Q_i.

Siła ta jest ściśle uzależniona od ładunku przedmiotu umieszczonego w polu elektrycznym i będziemy ją traktować jako wektorową cechę tego przedmiotu.

8.3. Opis skalarny i wektorowy pola elektrostatycznego

Aby wprowadzić wektorową cechę pola elektrostatycznego niezbędne jest określenie wielkości wektorowej niezależnej od q. W tym celu definiujemy „natężenie pola elektrostatycznego :

.

jest więc wielkością wektorową opisującą pole elektrostatyczne.

Jednostką natężenia pola elektrostatycznego jest 1N/1C.

[E] = 1N / 1C

Dla źródła punktowego odpowiedni wzór określający natężenie w odległości r od niego ma postać:

.

Wzór ten, jak pokazano w rozdziale 2 można wyprowadzić z prawa Gaussa dla pola elektrostatycznego.

Podobnie jak w przypadku sił działających w tym polu stosujemy przy wielu źródłach zasadę superpozycji. Mówi ona, że wypadkowe natężenie pola elektrostatycznego jest równe wektorowej sumie natężeń pochodzących od poszczególnych źródeł.

8.4. Praca w polu elektrostatycznym, potencjał

W polu elektrostatycznym występuje energia potencjalna i potencjał. Założymy, że różnica energii potencjalnej ładunku q przy przemieszczeniu go z odległości r_A do odległości r_B od źródła (rysunek 54) jest równa pracy W_A>B siły zewnętrznej równoważącej siłę pola () na tej drodze.

Umowa1: ΔE_p = E_p,B - E_p,A = W_A>B

Warunek kompensacji tych dwóch sił zabezpiecza nasze rozważania przed zmianą energii kinetycznej próbnika (=0 ⇒ =0 ⇒ =const ⇒ E_k =const ⇒ ΔE_k = 0).

Rys 54 Oddziaływanie ładunków punktowych

Zakładając, że r_A > r_B i przesuwając próbnik dodatni w kierunku źródła otrzymujemy zgodne zwroty wektorów Δ i co pozwala przedstawić, wykonaną przez siłę zewnętrzną pracę, w postaci:

W_A>B = F_{z, śr} Δr .

Δr jest tu równe (r_A - r_B) a F_z,śr jest równe średniej geometrycznej wartości początkowej i końcowej siły F_el (F_z = F_el) czyli:

.

Wstawiając ją do wzoru na pracę i przyjmując wartość energii potencjalnej z dokładnością do stałej C otrzymujemy:

Aby określić wartość stałej C wprowadzimy umowę 2.

Umowa2: E_p(∞) = 0

Zakładając, że przesuwamy próbnik z ∞ (r_A → ∞) do punktu B otrzymujemy dla punktu A: E_p(∞) = = 0

a stąd wartość C = 0 oraz energię potencjalną próbnika w punkcie B:

.

Tak więc energia potencjalna ładunku w polu elektrostatycznym jest równa pracy jaką wykona siła zewnętrzna równoważąca siłę pola przy przemieszczeniu tego ciała (ładunku) z nieskończoności do danego punktu pola. Z przeprowadzonych wyżej obliczeń wynika, że praca wykonywana przez siły zewnętrzne zależy od początkowej i końcowej odległości r od źródła pola. Wartość pracy przy przesunięciach prostopadłych do kierunku promienia jest równa 0 (cos 90^o = 0).

Otrzymaliśmy wielkość skalarną opisującą przedmiot umieszczony w polu elektrostatycznym. Aby otrzymać wielkość skalarną opisującą to pole zdefiniujemy potencjał V:

.

Potencjałem będziemy więc nazywać wielkość skalarną, której wartość jest równa wartości energii potencjalnej przypadającej na jednostkę ładunku.

Dla źródła punktowego, lub źródła o punktowo symetrycznym rozkładzie gęstości ładunku:

.

Jednostką potencjału elektrycznego jest 1 wolt.

[V] = 1V

Potencjał, analogicznie jak energia potencjalna dla źródła punktowego (ew. źródła o punktowo symetrycznym rozkładzie masy), zależy od różnicy odległości punktu początkowego i końcowego od środka źródła. Z tego powodu punkty leżące na sferze kulistej, której środek pokrywa się ze środkiem źródła pola mają ten sam potencjał, a sferę taką nazywamy powierzchnią ekwipotencjalną.

W przypadku wielu źródeł obliczamy potencjał wypadkowy stosując również zasadę superpozycji z tym, że w tym przypadku poszczególne przyczynki sumujemy skalarnie.

V_wyp = ∑ V_i

Z powyższych wzorów można otrzymać związki:

W_A>B = q V_B - q V_A = qU ,

gdzie różnicę potencjałów V_B - V_A nazywamy napięciem elektrycznym między punktami A i B.

U = V_B - V_A

Jednostką napięcia elektrycznego jest także 1 wolt.

[U] = 1V

Poniżej przedstawiono w tabeli zestawienie wielkości skalarnych i wektorowych będących cechami przedmiotu i pola elektrostatycznego.

cecha \ wielkość	skalarna	wektorowa
przedmiotu	Ep - energia potencjalna	- siła Coulombowska
pola	V - potencjał	- natężenie pola elektrostatycznego

Tabela. 4 Skalarny i wektorowy opispolaelektrostatycznego

Ponieważ zarówno skalarny potencjał jak i wektorowe natężenie opisują to samo pole elektryczne to istnieje związek między nimi.

gdzie:

Gradient jest operatorem przypisującym w danym punkcie wektor największych zmian funkcji skalarnej. Ma on tutaj kierunek zgodny z normalną do powierzchni ekwipotencjalnej.

8.5. Pojemność elektryczna

Pojemnością elektryczną nazywamy zdolność ciała lub układu ciał do gromadzenia ładunku elektrycznego. Niech ciałem tym będzie przewodnik, na którym zgromadzono ładunek q. Jeśli dzięki temu uzyskał on potencjał V to mówimy, że przewodnik ten posiada pojemność (przewodnika odosobnionego) C:

C_{odosobnionego} =
(1 farad).

Oprócz pojemności przewodnika odosobnionego występuje pojemność wzajemna przewodników. Jej wartość C obliczamy dzieląc ładunek przeniesiony z jednego przewodnika na drugi przez różnicę potencjałów jaka powstaje wtedy między tymi przewodnikami.

C _wzajemna =

Dla kondensatora płaskiego (rysunek 55) pojemność wzajemną obliczamy z wzoru:

C = ε ε_o ,

gdzie: ε_o - przenikalność elektryczna próżni, ε - względna przenikalność elektryczna, S - powierzchnia okładek kondensatora, d - odległość między nimi. Względna przenikalność elektryczna informuje nas ile razy zwiększy się pojemność kondensatora próżniowego po wsunięciu między jego okładki dielektryka (patrz rozdział - przewodniki, izolatory).

Rys. 55 Kondensator płaski

Energię E zmagazynowaną w polu elektrycznym kondensatora obliczamy według poniższego wzoru.

Pojemność elektryczną układu możemy zmieniać, oprócz stosowania dielektryków, przez zmianę odległości jego okładek, zmianę ich powierzchni czynnej (kondensator obrotowy) lub przez łączenie kondensatorów w baterie. Realizujemy to przez połączenia szeregowe lub równoległe (rysunek 56).

Rys. 56 Połączenie szeregowe i równoległe kondensatorów

Przy połączeniu szeregowym, zgodnie z zasadą zachowania ładunku elektrycznego sąsiednie, połączone za sobą okładki kondensatorów muszą posiadać ładunki o tej samej wartości i o przeciwnych znakach. Różne wartości pojemności elektrycznej tych kondensatorów powodują istnienie różnych napięć na okładkach tych kondensatorów. Chcąc zastąpić taki układ kondensatorem zastępczym o pojemności C_Z musimy uzyskać ten sam ładunek q na jego okładkach i całkowite napięcie U równe sumie napięć U₁, U₂ i U₃.

U = U₁ + U₂ + U₃

Wykorzystując wzór na pojemność elektryczną otrzymujemy:

i po podzieleniu obustronnie przez q :

.

Tak więc odwrotność pojemności elektrycznej baterii kondensatorów połączonych szeregowo jest równa sumie odwrotności pojemności poszczególnych kondensatorów.

W połączeniu równoległym napięcia na wszystkich kondensatorach mają jednakową wartość. Występują różnice ładunków i pojemności. Dla kondensatora zastępczego całkowity ładunek q powinien być równy sumie ładunków q₁, q₂, q₃.

q = q₁ + q₂ + q₃

Wykorzystując wzór na pojmność otrzymujemy:

C U = C₁ U + C₂ U + C₃ U

i dzieląc ostatnie równanie obustronnie przez U:

C = C₁ + C₂ + C₃ .

Tak więc pojemność zastępcza kondensatorów połączonych równolegle jest równa sumie pojemności poszczególnych kondensatorów.

8.6. Ruch ładunku w stałym polu elektrycznym

Przeanalizujemy teraz ruch ładunku elektrycznego, np. elektronu w stałym polu elektrycznym. Przybliżeniem takiego pola może być pole elektryczne między okładkami kondensatora płaskiego o dużej wartości pola powierzchni okładek i małej odległości między nimi. Jeśli przyłożymy do niego napięcie U to natężenie pola elektrycznego E między okładkami wyniesie:

Przedstawiony na rysunku 57 elektron porusza się wewnątrz kondensatora po parabolicznym torze podobnie jak ciało w rzucie poziomym w polu grawitacyjnym. I podobnie jak w tamtym przypadku można jego ruch rozłożyć na dwa ruchy. Ponieważ w kierunku poziomym nie działają żadne siły dlatego mamy w tym kierunku do czynienia z ruchem jednostajnym prostoliniowym, w którym droga y wyraża się wzorem:

y = v ⋅ t

Rys. 57 Ruch ładunku w stałym polu elektrycznym

Jeśli zamiast y wstawimy długość okładek l (drogę w ruchu poziomym w kondensatorze) to wyliczymy z ostatniego wzoru czas t ruchu elektronu między okładkami kondensatora.

Czas ten wykorzystamy do obliczenia odchylenia x toru tego elektronu od kierunku poziomego przy jego wychodzeniu z kondensatora. Ponieważ w kierunku pionowym występuje stałe pole elektryczne E dlatego na elektron będzie działać stała siła o wartości F równej:

F = e E .

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki dla ruchu postępowego elektron uzyska przyspieszenie a:

,

oraz:

.

Wykorzystując wzór na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym:

,

otrzymamy ostatecznie:

.

Widzimy więc, że składowa pionowa x rośnie z kwadratem współrzędnej poziomej l. Oznacza to, że tor jest fragmentem paraboli.

Możemy też wyznaczyć kąt α między kierunkiem wektora prędkości końcowej (wylotu) a poziomem. W tym celu musimy wyznaczyć wartość składowej pionowej wektora prędkości końcowej v_y. Skorzystamy z wzoru na prędkość w ruchu jednostajnie zmiennym:

v_y = a ⋅ t .

Stąd:

.

Tangens poszukiwanego kąta α jest równy:

,

i ostatecznie:

.

Widzimy więc, że zarówno odchylenie jak i tgα rosną ze wzrostem wartości przyłożonego napięcia U i długości płytek l oraz maleją ze wzrostem odległości płytek d i prędkości v.

---