Wykład 1
DYNAMIKA, PRZEKŁADNIE ZĘBATE.
1. Silnik (bardzo mały moment, bardzo duża prędkość kątowa).
2. Przekładnia.
3. Organ roboczy (bardzo duży moment, mała prędkość).
C - sztywność
B - tłumienie
Redukcja momentów bezwładności :
,
Równanie ruchu :
Metoda grafów :
Rozpatrujemy częstości których amplitudy nie są małe.
Badanie dynamicznej charakterystyki przekładni.
Ruch absolutny układu jest równy sumie ruchów.
Tnom - nominalny moment silnika.
UWAGA :
Zarówno w przyrodzie jak i w technice spotykamy się ze zjawiskami oscylacyjnymi zwanymi drganiami. Drgania mogą być pożyteczne i szkodliwe. Niektóre urządzenia wykorzystują zjawisko rezonansu (przesiewacz rezonansowy). Inne zjawiska drganiowe jak choćby drgań karoserii samochodu czy turbin muszą być eliminowane lub ograniczane co do wartości amplitudy.
W przypadku posadowienia maszyn dążymy do eliminacji drgań wywołanych przez maszynę na otoczenie, bądź też eliminowanie drgań przenoszonych z otoczenia na maszynę (mikroskop elektronowy). Ten dział nazywa się wibroizolacją maszyn.
Innym ciekawym zjawiskiem są drgania nadkrytyczne wałów giętkich, mówimy o tzw. zjawisku Delawala. Przy drganiach nadkrytycznych może nastąpić samowyrównoważenie się układu. Dlatego też stosowany jest podział na tzw. maszyny ciężkie lub lekkie, albo pracujące w reżimie podkrytycznym lub nadkrytycznym.
Teorię drgań można podzielić na drgania :
o pierwszym stopniu swobody
o wielu stopniach swobody
ciągłe
o dyskretno - ciągłych układach
Można też podzielić na liniowe i nieliniowe. Podobnie jak w mechanice w modelowaniu stosujemy formalizm matematyczny bazujący na zasadach :
Newtona
równaniach Lagrange'a drugiego rodzaju
macierzowym formalizmie
macierzowej analizie drgań.
Współcześnie rozwija się teoria chaosu zapoczątkowana przez Poincare, stwierdzono bowiem, że układy nieliniowe są wrażliwe na warunki początkowe i mogą w zależności od tych warunków prowadzić do cyklu granicznego (drgania stabilne), bądź do drgań chaotycznych. W pierwszym przypadku mówimy, że w układzie działa atraktor przyciągania.
Przeanalizujemy drgający układ o jednym stopniu swobody, by utrwalić pojęcia częstości drgań własnych, amplitudy fazy. W najmniejszym przypadku układ mechaniczny o jednym stopniu swobody można przedstawić za pomocą modelu fenomenologicznego.
Z zasady Newtona :
(1.1)
Z zasady d'Alemberta :
(1.2)
Układ równań (1.1) i (1.2) opisuje ruch punktu materialnego, który można zastosować jako model, który jest wystarczający do analizy drganiowej układu. Model matematyczny ten opisuje drgania tłumione wymuszone o jednym stopniu swobody.
Jeśli F(t)=0 to otrzymamy :
(1.3)
niewymuszony tłumiony.
(1.4)
(1.5)
Aby układ mógł drgać musi posiadać energię. Jeśli układ byłby nietłumiony, gdy b=0, to :
(1.6)
(1.7)
(1.8)
Rozwiązaniem takiego układu jest funkcja harmoniczna.
(1.9)
(1.10)
, (1.11)
Ujmując wzór (1.10) i (1.11) we wzorze (1.7) otrzymamy :
(1.12)
(1.13)
- tożsamość Eulera
Równanie (1.9) można sprawdzić do jednej częstości, bo sin i cos można dobrać.
(1.14)
(1.15)
(1.16)
(1.17)
a - amplituda A
W ten sposób przeanalizowaliśmy odpowiedź układu, która jest wywołana energią początkową mechaniczną T0.
Wykład 2
ANALIZA ENERGII KINETYCZNEJ I POTENCJALNEJ.
(2.1)
(2.2)
(2.3)
Podnosząc równanie (2.2) i (2.3) do kwadratu i wstawiając do równania (2.1) otrzymamy:
(2.4)
Oznacza to, że analizowany układ jest układem zachowawczym, albo inaczej konserwatywnym.
Siła bezwładności jest przeciwnie skierowana do przyśpieszenia. W każdej chwili czasowej dołączona do siły sprężystości. Siła bezwładności pozostaje z nią w równowadze:
(2.5)
Ruch harmoniczny - analizujemy kinematycznie wychodząc z jego cechy fizykalnej że przyśpieszenie jest przeciwnie skierowane do wychylenia. Realizację ruchu można wyobrazić sobie jako rzuty ruchu punktu ze stałą prędkością na osie układu współrzędnych.
(2.6)
W ten sposób zapisaliśmy dwie składowe drgań harmonicznych w postaci jednego promienia r w ciele liczb zespolonych.
Przeanalizujmy częstość drgań własnych jako prędkość łuku.
(2.7)
(2.8)
(2.9)
Między częstością kołową a częstotliwością zachodzi zależność :
(2.10)
(2.11)
Wzór (2.10) można przedstawić na wykresie i na jego podstawie dla ugięcia można obliczyć kwadrat ω.
Częstą konstrukcją jest tzw. belka wspornikowa na której można umieścić silnik.
ns=3000 obr/min
- rezonans,
DRGANIA TŁUMIONE NIEWYMUSZONE.
Jeśli w równaniu (1.1) pominiemy siłę wymuszenia f(t), to otrzymamy równanie zwyczajne różniczkowe (2.11) opisujące drgania tłumione niewymuszone.
(2.11)
(2.12)
(2.13)
(2.14)
(2.15)
Wprowadzamy zmienną u(t) taką, że :
(2.16)
(2.17)
(2.18)
Podstawiając wzory (2.16), (2.17) i (2.18) do wzoru (2.13), to otrzymamy następującą zależność:
(2.19)
(2.20)
(2.21)
Rozwiązaniem tego równania jest :
(2.22)
Uwzględniając wzór (2.22) we wzorze (2.26) otrzymamy :
(2.23)
Uwzględniając warunki początkowe :
1.
2.
(2.24)
(2.25)
Wykład 3
DRGANIA TŁUMIONE NIEWYMUSZONE - cd.
Mogą zaistnieć 3 przypadki drgań tłumionych :
drgania o małym tłumieniu : ωn > n; ωt > 0
drgania o tłumieniu krytycznym : ωn = n; ωt = 0
drgania o tłumieniu dużym : ωn < n;
(2.26)
ad 1. Tłumienie małe :
(2.27)
W takim przypadku rozwiązaniem równania (2.25) jest wykres drgań zanikających typu funkcji sinus lub cosinus. Można to wykazać sprowadzając równanie (2.25) do postaci sinus lub cosinus:
(2.28)
gdzie :
(2.29)
(2.30)
(2.31)
(2.32)
(2.33)
Pierwsze zerowe miejsce z (2.33) jest wtedy, gdy :
Drgania tłumione w swej istocie są nieokresowe. Wynika to stąd, że: t→∞; e→∞ i xt→∞.
Oznacza to, że drgania tłumione małe wygasają całkowicie po nieskończenie długim czasie. Z uwagi na czynnik sin(ωtt+β) drgania te aczkolwiek nieokresowe to kolejne położenia środkowe i wychylenia maksymalne są osiągalne po jednakowych odstępach czasu.
Dlatego wprowadzamy okres zwany okresem drgań tłumionych :
(2.34)
Miarą tłumienia jest tzw. dekrement logarytmiczny oznaczany :
(2.35)
Uwzględniając w tym wzorze relację (2.31) uzyskamy :
(2.36)
Uwzględniając wzory (2.35) i (2.36) otrzymamy :
(2.35a)
Logarytmiczny dekrement δ jest miarą zanikania drgań.
Przez warunki początkowe oraz przez wzbudzenie młotem Shenka uzyskujemy wykres drgań.
(2.37)
Uwzględniamy (2.37) w (2.35) otrzymując :
stąd :
(2.38)
ad 2. Tłumienie krytyczne określa nam przejście a ściślej granice pomiędzy ruchem oscylacyjnym zanikającym a aperiodycznym. Analitycznie granicę tę określa zerowanie się częstości drgań tłumionych ωt=0, co prowadzi do wyrażenia:
ωn2=n2k
(2.39)
Odpowiedź układu przy określonych warunkach początkowych x0, V0 można uzyskać z przejścia granicznego:
(2.40)
Jest to odpowiedź układu tłumionego w przypadku tłumienia krytycznego (pozostała funkcja wykładnicza), co oznacza, że nie ma drgań, a jest ruch aperiodyczny.
ad 3. Duże tłumienie.
(2.41)
(2.42)
Podstawiając wzór (2.41) do wzoru (2.25) uzyskamy :
(2.43)
Stosując tożsamość Eulera :
(2.44)
Stosując wzór (2.44) we wzorze (2.43) otrzymamy :
(2.45)
Relacja matematyczna (2.45) ukazuje nam odpowiedź układu tłumionego wzbudzonego energią początkową :
Są to funkcje hiperboliczne a więc wykładnicze :
Rozwiązanie (2.45) podobnie jak rozwiązanie (2.40) przedstawia ruch nie drgający, ale zanikający z czasem.
Przykład :
Geometryczna interpretacja takich ruchów może mieć postać :
SZYBKOŚĆ ZMIAN ENERGII UKŁADU TŁUMIENIA.
Na wskutek tłumienia możemy wyznaczyć wielkość rozpraszanej energii wychodzącej z równania podstawowego czyli równania (2.11).
(2.46)
(2.47)
(2.48)
gdzie :
(2.49)
Funkcję F nazywamy funkcją dyssypacji (łac. dissipo - rozpraszać). Funkcja ta nazywa się potencjałem tłumieniowym Rayleiglia ponieważ :
(2.50)
Z uzyskanej zależności wynika że w czasie tłumienia drgań czasowych chwilowa moc tracona przez układ jest równa :
(2.51)
Całkowita ilość energii rozproszonej przez tłumik będzie równa energii początkowej układu:
wykład 4
DRGANIA WYMUSZONE NIETŁUMIONE.
Drgania wymuszone nietłumione zachodzą wtedy, gdy na punkt materialny podwieszony na sprężynie o stałej c działa siła zmienna w czasie F(t). Równanie to można wprost otrzymać z ogólnego równania (1) jeśli siły tarcia są zerowe, gdy :
Otrzymujemy równanie :
(4.1)
Dzieląc przez m otrzymujemy :
(4.2)
Całka równania (4.1) jest równa sumie całek równania jednorodnego :
(4.3)
przy warunkach początkowych :
(4.4)
oraz całki szczególnej równania niejednorodnego :
(4.5)
przy warunkach początkowych :
(4.6)
Całka ogólna równania jednorodnego (4.3) :
(4.7)
Całkę równania niejednorodnego (4.5) obliczamy :
(4.7a)
(4.8)
Zakładamy w tej metodzie, że :
(4.9)
(4.10)
Podstawiając wzory (4.7a) i (4.10) do wzoru (4.5) otrzymujemy :
(4.11)
Wzór (4.11) ze wzorem (4.9) tworzy układ :
(4.12)
stąd:
(4.13)
Wzór (4.13) wstawiamy do wzoru (4.7a) :
(4.14)
Uwzględniając warunki początkowe (4.6) (zerowe) otrzymujemy poszukiwane rozwiązanie równania (4.1) w następującej postaci całki typu splotu :
(4.15)
UWAGA.
Porównaj całkę Dystjesa z tzw. całką splotu.
(4.16)
Sprecyzuję cechy funkcji jednostkowej i impulsowej.
Drugi wzór (4.16) podstawiamy do wzoru (4.15).
Posługując się tożsamością trygonometryczną uzyskujemy całkę, która jest różnicą funkcji i jest prosta do scałkowania :
DRGANIA WYMUSZONE TŁUMIONE.
Drgania wymuszone tłumione - rozwiązanie niejednorodnego równania ruchu układu z tłumieniem. Podstawą rozważań będzie równanie (1.1), tzn. :
(4.17)
lub
(4.17a)
(2.16)
Rozwiązaniem równania (4.17a) będziemy poszukiwać postaci (2.16), dzięki której, równanie (4.17a) sprowadzimy do postaci :
(4.18)
Dzięki temu przez analogię do rozwiązania (4.15) możemy napisać, że :
(4.19)
Uwzględniając wzór (4.19) we wzorze (2.16) otrzymamy :
(4.20)
Dla tłumienia krytycznego ωt=0 :
(4.21)
w przypadku dużego tłumienia dla :
(4.22)
Podstawiając to wyrażenie do (4.20) i pamiętając, że sin iα=i sh α otrzymamy odpowiedź układu dla tłumienia dużego.
(4.23)
Drgania wymuszone tłumione wzbudzane siłą harmoniczne zmienne - rezonans. Rozpatrujemy przypadek, gdy:
(4.24)
Podstawiając wzór (4.24) do wzoru (4.20) a następnie przekształcając i obliczając całki uzyskamy rozwiązanie x(t).
Wykład 5
DRGANIA WYMUSZONE TŁUMIONE -cd.
W wyniku rozwiązania równania drgań tłumionych wymuszonych harmonicznie uzyskujemy odpowiedź układu w postaci członu czynnika:
(5.1)
pozostaje składnik charakteryzujący drgania ustalone z częstością siły wymuszonej, gdzie :
(5.2)
(5.3)
Całkowanie równania ruchu jest dość złożone. Podamy metodę prostszą - metodę impedancji mechanicznej. W tym celu wróćmy do wzoru :
(5.4)
Przeanalizujmy ruch harmoniczny :
Pamiętamy, że jeśli wektor x obraca się z prędkością ω, czyli w czasie t obraca się o kąt α, to rzut P i Q na osie y i x wykonują względem środka 0 ruch harmoniczny.
Jeśli przyjąć reprezentacje x zespolone, tzn. przyjąć oś y jako Im a oś x jako Re, to wektormożna zapisać jako :
W reprezentacji geometrycznej tworzą wzajemnie względem siebie obrócone wektory :
Innymi słowy obrót wektora x wokół osi z jest wektorową reprezentacją ruchu harmonicznego, który można przedstawić dwoma ruchami okresowymi na płaszczyźnie xt i yt.
Podobnie można zaprezentować tor :
Wnioski.
Zapis reprezentacji ciała liczb zespolonych jest bogatszy, ponieważ zawiera dwa ruchy harmoniczne.
Spróbujemy wyznaczyć wzory na amplitudę i tgϕ stosując tzw. metodę impedancji. W tym celu zamienimy :
(5.5)
- wymuszenie typu kosinusowego.
- wymuszenie typu sinusowego.
(5.6)
Dla równania (5.6) przewidujemy rozwiązanie w postaci :
(5.7)
Różniczkując równanie (5.7) dwa razy otrzymamy :
(5.8)
(5.9)
Podstawiając równania (5.7), (5.8) i (5.9) do równania (5.6) otrzymamy:
(5.10)
(5.11)
(5.12)
Wyrażenie (5.12) spróbujemy przekształcić do przyjaznej dla nas postaci :
(5.13)
Wyłączymy ωn przed pierwiastek :
- współczynnik rozstrojenia
- bezwymiarowy współczynnik tłumienia
Statyczne oddziaływanie F0 od c :
Po wprowadzeniu tych oznaczeń amplituda przyjmuje postać :
(5.14)
(5.15)
α - współczynnik zwielokrotnienia amplitudy (uwielokrotnienia amplitudy).
Natomiast :
(5.16)
Przeanalizujmy wykres współczynnika zwielokrotnienia amplitudy :
z |
0 |
1/2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
α |
1 |
4/3 |
∞ |
1/3 |
1/8 |
1/15 |
(5.17)
Można wyznaczyć tgϕ - przesunięcie fazowe.
Otrzymane wykresy informatycy nazywają charakterystykami częstotliwościowymi amplitudy i fazy. Z przedstawionej charakterystyki częstotliwościowej amplitudy wynika, że dla z=1 czyli, gdy p.=ωn tzn. gęstość drgań wymuszonych pokrywa się z gęstością drgań własnych amplituda rośnie znacząco i dla przypadku zerowego tłumienia zachodzi tzw. ostry rezonans (amplituda zdąża do nieskończoności). Zjawisko rezonansu jest bardzo niebezpieczne w technice i można zauważyć je w życiu codziennym (jazda samochodem). Sokowirówki, które pracują poza zakresem rezonansowym charakteryzują się wibracjami.
Przyjęło się nazywać maszynami lekkimi te, które pracują przy częstościach wyższych kilka razy od częstości rezonansowych. Maszyny ciężkie to takie, które pracują w zakresie przedrezonansowym (sztywne). Przeciwdziałanie rezonansu to wibroizolacja maszyn bądź też stosowaniu dynamicznych eliminatorów drgań.
Wykład 6
WYMUSZENIA.
zdeterminowane (opisane funkcją analityczną)
harmonicznie zmienne
poliharmoniczne
impulsowe
ciąg impulsów
trapezowe (rozruchowe)
dowolne
losowe stochastyczne
stacjonarne (ergodyczny - powtarzalny)
wąskopasmowe
szerokopasmowe
niestacjonarne
Wymuszenie poliharmoniczne :
Wymuszenie impulsowe :
- impuls Diraca
jednostkowe
OKREŚLENIA STATYSTYCZNE ZWIĄZANE Z WYMUSZENIAMI.
Proces stacjonarny - proces losowy o stałej wartości średniej i odchyleniu standartowym.
Proces niestacjonarny - wartość średnia zmienna w czasie.
Wartość średnia :
Wariancja :
Odchylenie standartowe :
Wymuszenie :
UKŁAD O JEDNYM STOPNIU SWOBODY A WYMUSZENIE.
Model :
Ogólne równanie ruchu możemy zapisać :
lub też po przekształceniach :
gdzie :
Wymuszenie impulsowe.
h(t) - impulsowa funkcja przejścia
H(jω) - funkcja przepustowości widmowej wynosząca :
Zakładamy, że wymuszenie jest impulsem Diraca, czyli :
Transformata Laplace'a :
Możemy to także zapisać :
gdzie :
,
Zapiszmy związki :
Transformacja Fouriera :
Wymuszenie losowe.
Sf(jω) - funkcja gęstości widmowej wejścia
Sx(jω) - funkcja gęstości widmowej odpowiedzi
Całka Duhamela (odpowiedź na dowolne wymuszenie) :
Możemy zapisać :
- współczynnik wzmocnienia
- funkcja korelacyjna
ZASADA DYNAMICZNEGO ELEMINATORA DRGAŃ.
Wyznaczając równania ruchu mamy :
Pomijając obydwa tłumienia :
otrzymujemy :
Wprowadzając do układu równań :
możemy zapisać układ następująco :
lub w postaci wyznacznika :
- równanie charakterystyczne
Rozwijając wyznacznik otrzymujemy :
i po przekształceniach mamy :
- równanie charakterystyczne o dwóch stopniach swobody
Podstawiając :
otrzymujemy równanie drugiego stopnia :
Rozwiązując to równanie mamy :
czyli rozwiązaniem tego równania jest :
Wykorzystując raz jeszcze wyznacznik :
można wyznaczyć obydwie amplitudy układu :
Postawmy sobie pytanie czy A1 = 0 ?
Podstawiając :
,
otrzymujemy :
co daje końcowy wynik :
gdzie :
Analizowany dynamiczny eliminator drgań był przykładem o dwóch stopniach swobody, przy czym ideą tego eliminatora było dołączenie oscylatora harmonicznego do drgającej masy w ten sposób, aby rozstroić częstość drgań czyli wyeliminować pasmo rezonansowe. Przeprowadzona analiza przekonała, że taki przypadek jest możliwy, a warunkiem jest warunek cechujący się zależnością :
Wykres rezonansowy posiada w takim przypadku dwa piki i prawie zerową częstość (przypadek bez tłumienia).
Wykład 7
DRGANIA DYSKRETNE O WIĘCEJ NIŻ JEDNYM STOPNIU SWOBODY.
W przypadku drgań o wielu stopniach swobody analizujemy widmo częstości i jego postać tzn. ilorazy amplitud poszczególnych mas dla danej częstości rezonansowej.
Sposób analizy może być prowadzony różnymi metodami :
klasyczną (Newton, d'Alembert)
macierzy przeniesienia
grafów liczb strukturalnych
za pomocą formalizmu Lagrange'a
sztywnych elementów skończonych (SES)
elementów skończonych (MES)
Metoda klasyczna.
Metodę klasyczną przeanalizujemy na przykładzie układu dyskretnego o trzech stopniach swobody. Przy czym układ rozpatrujemy w stanie statycznym położenia równowagi (sprężyny napięte kompensują siły, ciężary grawitacji).
(8.1)
(8.2)
Otrzymaliśmy układ równań różniczkowych drugiego rzędu.
Porządkując i dzieląc obydwie strony przez m mamy :
(8.3)
(8.4) (8.5)
Uwzględniając 8.4 i 8.5 w 8.3 otrzymujemy :
(8.6)
Otrzymaliśmy algebraiczny układ ze względu na poszukiwane amplitudy A1, A2 i A3.
Można to również zapisać w postaci macierzowej :
(8.7)
Można macierz zapisać w innej postaci :
(8.8)
gdzie :
(8.9) (8.10) (8.11)
Równanie (8.8) można zapisać prościej :
(8.12)
Chcąc znaleźć równanie charakterystyczne wystarczy wyznaczyć wyznacznik z równania (8.7). Wiemy bowiem z teorii równań różniczkowych, a także równań algebraicznych jednorodnych, że rozwiązanie istnieje gdy wyznacznik jest równy zero.
Z tego wyznacznika wyznaczamy równanie charakterystyczne (rozwijając względem pierwszego wiersza) :
W rezultacie otrzymujemy wynik :
,,
Uzyskujemy ostatecznie:
Uzyskamy w ten sposób trzy częstości z1,z2,z3 (wykres będzie miał trzy piki).
Metoda macierzy przeniesienia.
Bazuje na przedstawieniu elementów dyskretnych czwórnikami, a ponadto wykorzystuje pojęcia wektora stanu i macierzy przejścia. Wektor stanu inaczej macierz kolumnowa zmiennych opisujących stan elementu w rozważanym przypadku będzie posiadała zmienne przemieszczenia x i siłę wewnętrzną panującą w elemencie.
Z analizy przemieszczeń sprężyny i sił w niej występujących można napisać, że :
Natomiast przemieszczenie :
Ostatecznie :
Równania możemy zapisać macierzowo wyrażając wektor stanu w położeniu 2 przez wektor stanu jaki jest w początkowym miejscu sprężyny 1.
Tp - macierz polowa przejścia
Macierz punktowa czwórnika masy.
Możemy skonstruować wektor stanu tego czwórnika masy :
Tak więc :
Możemy równania zapisać :
Tm - macierz punktowa masy
Skonstruujemy macierz przejścia dla oscylatora harmonicznego.
Wyznaczając wektor stanu :
Następny krok to analiza warunków brzegowych :
x3 ≠ 0 x1 = 0
F3 = 0 F1 ≠ 0
Uwzględniając te warunki :
Rozwiązując ten układ otrzymujemy :
skąd :
Z przedstawionego wynika, że metoda macierzy przeniesienia może służyć jako dogodny algorytm wyznaczania częstości drgań własnych.
Wystarczy dla układu o n stopniach swobody :
Metoda grafów liczb strukturalnych.
Przyporządkowujemy elementom sprężystym i masą odpowiednie dwójniki (masie mω2 z wagą sztywności, sprężynie z
wagą c).
Siły bezwładności są równe siłą grawitacyjnym tzn., że krawędzie wszystkich mas będą zrelacjonowane z biegunem O.
Konstruujemy graf :
Otrzymaliśmy graf biegunowy, który reprezentuje nam drgający układ mechaniczny.
Wystarczy znaleźć liczbę strukturalną dwóch niezależnych odcięć (liczba odcięć n-1).
Liczba strukturalna reprezentuje symboliczne oznaczenia wchodzące w ten wierzchołek krawędzi.
Równanie charakterystyczne Δ(ω) będzie funkcją wyznacznikową detA dla zbioru liczb podatności mechanicznej.
Wykład 8
KLASYCZNE UJĘCIE DRGAŃ ZA POMOCĄ RÓWNAŃ LAGRANGE'A
DRUGIEGO RODZAJU.
Metodyka postępowania w każdym przypadku :
1. Ustalenie współrzędnych uogólnionych.
Struktura dynamiczna :
gdzie:
Aby dokonywać na tym grafie przekształceń należy mu nadać cechy fizyczne :
Graf biegunowy układu
Z - zbiór sztywności.
Możemy również dokonać kolejnych odwzorowań przyporządkowanym kolejnym krawędziom relację, czyli zależność między siłami i przemieszczeniami. Na grafie oznacza to przyporządkowanie np. 2S2 = m2p2. Tych przyporządkowań można zdefiniować wiele - zdefiniujemy ostatni F''' :
N - liczby naturalne.
Uwaga :
W praktyce nie stosuje się wszystkich oznaczeń i odwzorowań, natomiast bez uszczerbku dla całości tematu stosuje się tylko te oznaczenia, które są niezbędne w dalszej działalności. Liczbę strukturalną takiego grafu wyznaczamy jako iloczyn (w sensie liczb strukturalnych ) n-1 czynników pierwszych, jednowierszowych, utworzonych z krawędzi incydentnych z dowolnie wybranymi n-1 wierzchołkami grafów.
Funkcja wyznacznikowa liczby strukturalnej jest to taka funkcja, która tworzy się następująco. Oznaczeniom krawędzi przyporządkowujemy dynamiczną sztywność, następnie mnoży się w kolumnach i dodaje „po kolumnach”.
- równanie charakterystyczne.
- równanie dwukwadratowe
Przyjmując, że :
otrzymamy :
Wykład 9
DRGANIA PRĘTÓW JEDNORODNYCH.
RÓWNANIA DRGAŃ STRUN, PRĘTÓW I WAŁÓW.
Rzeczywiste układy mają masy rozłożone w sposób ciągły, dlatego układy dyskretne są dobrym przybliżeniem w przypadku, gdy w grę wchodzi wyznaczanie pierwszej lub drugiej częstości drgań własnych. Ponadto umożliwiają ocenę strefy pierwszej lub drugiej częstości i w tym przypadku są bardzo pomocne w analizie drgań układów ciągłych. Układy ciągłe można modelować za pomocą strun (jednakowe napięcia w przekrojach ) prętów, wałów, płyt, powłok, tarcz, wirników i profili zamkniętych i otwartych. Najprostszym przypadkiem drgania struny dochodzimy do równania cząstkowego ze względu na współrzędną czasową i liniową np. x i równanie uzyskane nazywa się równaniem falowym.
Równanie drgań poprzecznej struny.
Będziemy rozważać strunę napiętą siłą F.
Przez strunę rozumiemy napiętą wiotką nić, która w każdej chwili jest styczną do osi. Zakładamy, że wektor wychylenia każdego punktu struny leży w jednej płaszczyźnie wyznaczony przez ugięcie i OXY.
Ponadto zakładamy, że wychylenie U⊥X a oś struny pokrywa się w fazie początkowej z osią x. Przy takich warunkach współrzędne struny można scharakteryzować za pomocą u(x,t).
Aby wyprowadzić równanie drgań struny rozpatrujemy element tej struny :
Jeśli dla małych ugięć u kąt :
(1)
a siła masowa :
(2)
oraz dla strun i prętów wysmukłych :
(3)
to z tw. d'Alamberta przyjmujemy dla strun :
(4)
Uwzględniając (2) w (4) :
(5)
(6)
W ten sposób uzyskaliśmy równanie drgań struny wymuszone obciążeniem q, a wstawiając :
(7)
otrzymamy :
(8)
W przypadku gdy q = 0 :
- równanie falowe (9)
Otrzymane równanie nazywamy równaniem małych drgań poprzecznych strun albo falowym. Uwzględniając warunki brzegowe i początkowe możemy wyznaczyć stałe całkowania.
(10)
Warunki przy układach ciągłych są charakterystyczne tym, że uzyskujemy całe pole prędkości i całe pole przemieszczeń.
Równanie drgań podłużnych prętów.
Badanie drgań polega na tym, aby pod wpływem sił ustalić pole przemieszczeń. Rozważamy drgania jednorodne pręta o małozmiennym przekroju. Załóżmy, że linearyzujące odkształcenia są proporcjonalne do naprężeń (prawo Hooka) jeśli przyjmie siłę osiową :
(11)
Stosując warunek równowagi możemy napisać :
(12)
(13)
Podstawiając równanie (11) i (13) do równania (12) otrzymamy :
(14)
Wprowadzając :
(15)
otrzymujemy :
(16)
W przypadku swobodnych drgań wzdłużnych pręta otrzymamy równanie :
(16a)
a - prędkość rozprzestrzeniania się fali.
W przypadku drgań skrętnych wałów współrzędną opisującą drgania jest kąt opisujący skręcenie profilów w chwili (x,t).
Taki odcięty walec znajduje się w stanie równowagi dynamicznej pod wpływem sił :
(17)
G - moduł Kirchoffa
I0 - geometryczny moment osiowy
Ponadto z zasady d'Alamberta moment sił bezwładności dla elementów będzie się równał :
(18)
Układając warunek równowagi w sensie d'Alamberta odniesiony do wyciętego wału o długości dx możemy napisać :
m - intensywność obciążenia zewnętrznego w postaci momentu odniesionego do długości jednostki.
(19)
W przypadku kiedy sztywność na skręcanie jest stała otrzymujemy :
(20)
(20a)
(21)
a - prędkość rozprzestrzeniania się fali skrętnej.
Wniosek :
Poza warunkami początkowymi trzeba uwzględnić warunki brzegowe. Wyprowadzone równania (9), (16a), (20a) są prawdziwe w każdym wewnętrznym punkcie ośrodka. Dla pełnego określenia rozwiązania poza warunkami początkowymi konieczne jest określenie warunków zachodzących na brzegu.
W przypadkach rozważanych drgań struny, pręta, wała należy każdorazowo podać dwa warunki brzegowe. Każdy z warunków brzegowych określa zjawisko na jednym brzegu.
Przeanalizujemy warunki dla drgań wzdłużnych pręta :
Załóżmy, że pręt jest umocowany na brzegu.
1. U(0,t)=0
Jeśli pręt byłby swobodny na lewym brzegu to naprężenie jest równe zero.
Inne warunki brzegowe należy przyjąć w zależności od danego przypadku.
Uwaga :
Rozważania o których mówiliśmy dotyczyły materiału idealnie sprężystego i założenia stąd wynikającego, że nie występują straty energii. Może się zdarzyć, że materiał posiada cechy lepko-sprężyste - wówczas w miejsce modelu ciała Hooka można zastosować model Voigta albo Maxwella. Innym bardziej złożonym modelem jest model standardowy.
Naprężenia sumujemy przy połączeniu równoległym :
Drgania poprzeczne pręta.
W równaniach drgań giętnych belki w przeciwnie do osiowych prowadzą do równań różniczkowych cząstkowych czwartego rzędu. Uwzględniamy już naprężenia pochodzące od zginania. Będziemy opisywać prostopadle do osi przemieszczenia u(x,t), obciążenia q(x,t).
I(x) - moment względem osi obojętnej.
Q(x,t) - siła poprzeczna.
M.(x,t) - moment zginający.
Układając warunek momentu względem środka oraz warunek rzutu na osi x otrzymuję równanie drgań belki w postaci :
WYKŁAD 3.
39