Def;

Równanie płaszczyzny ∏ przechodzącej przez punkt P₀(x₀,y₀,z₀) i prostopadłej do wektora N= [A,B,C] ma postać: ∏: A(x-x₀) + B(y-y₀) +C(z-z₀)=0 równanie normalne płaszczyzny

N= [A,B,C] wektor normalny płaszczyzny.

N P₀

• Ax-Ax₀+By-By₀+Cz-Cz₀=0

Ax+By+Cz-Ax₀-Bx₀-Cz₀=0

D

∏: Ax+By+Cz-D=0 Równanie ogólne płaszczyzny

Przykład: Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt:

P₀(-1,2,0) N =[2,-3,0]

x₀y₀z₀ A B C

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

2(x+1)-3(y-2)+1(z-0)=0

2x+2-3y+6+z=0

2x-3y+z+8=0

Przykład: Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez środek odcinka AB gdzie

A (3,2,-1) B (5,0,7)

a₁a₂a₃ b₁b₂b₃

A(x-x₀) +B(y-y₀) +C(z-z₀)=0

2(x+1)+3(y-2)+1(z-0)=0

2x+2-3y+6+2=0

2x-3y+z+8=0

Przykład: Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez środek odcinka AB

Gdzie A(3, 2, -1) B(5, 0, 7)

a₁ a₂ a₃ b₁ b₂ b₃

A P= a₁+b₁ a₂+b₂ a₃+b₃

2 2 2

P = (4,1,3)

P

B

AB = [5-9,0-2,7-(-1)] = [2,-2,8] = N

A(x-x₀) +B(y-y₀) +C(z-z₀)=0

2(x-4)+3(y-1)+1(z-3)=0

2x-8-2y+2+8z-24=0

2x-2y+8z-30=0

Przykład: Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez 3 punkty

P₁(0.1.2) P₂(-1,4,5) P₃(2,-2,3)

P₁P2 = [-1,3,5]

P₃ P₂P₃ = [2,-3,1]

P₁ P₂ N = P₁P₂ x P₁P₃

i j k

P₁P₂ x P₁P₂ -1 3 3 = 3i +3k +6j-6k+9i + j = 12i +7j -3k = [12,7,-3]

2 -3 1

N = [12,7,-3]

A(x-x₀) +B(y-y₀) +C(z-z₀)=0

12(x-0)+7(y-1-3(z-2)=0

12x+7y-7-3z+6=0

12x+7y-3z-1=0

Def:

Równanie prostej l przechodzącej przez punkt P₀(x₀,y₀,z₀) i wyznaczony przez wektor kierunkowy IvI = [a,b,c] ≠ 0 ma postać:

x= x₀+at

l = y= y₀+bt , gdzie t € R v

z= z₀+ct P₀

v

Równanie parametryczne prostej.

x= x₀+at /:a

l = y= y₀+bt /:b

z= z₀+ct /:c

x-x₀ x-x₀ y-y₀ z-z₀

a = t a = b = c rów. kierunkowe prostej

y-y₀

b = t ₁

z-z₀

c = t

Przykład: Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt P₀(0,3,2) i równoległej do

v = [1,-3,0]

x= 0+1t x = t

l = y= 3-3t y = 3-3t

z= 2+0t z = 2+t x-x₀ y-y₀ z-z₀

a = b = c

x y-3 z-2

1 = -3 = 0

Napisać równanie przechodzącej przez dwa punkty: P₁(3,2,-3) P₂(-1,2,0)

P₁P₂ = [-4,0,-3] = v l

P₂

P₁

l ║ P₁P₂

x-3 y-2 z+3

1 = -4 = 0 = -3

ROZDZIAŁ V- CIĄGI

Def: Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowującą zbiór liczb naturalnych, z zbiór liczb rzeczywistych. Wartość tej funkcji dla liczby naturalnej N nazywamy n- tym wyrazem ciągu: a_n, b_n, itp.

Ciąg o takich wyrazach oznaczamy (a_n),(b_n) itp.

Sposoby określania ciągów: n 1

1. Przy pomocy wzorów np: a_n= n²+1 b_n= sin n!

2. Rekurencyjnie (tzn. każdy wyraz ciągu wyraża się przez wyrazy poprzednie)

np. a₁= 3 a_n+1= 3*a_n+7

a₂= 3*a₁+7= 3*3+7 =16

a₃= 3*a₂+7= 3*16+7=55

3. Opisowo np. a_n - liczna podzielników liczby naturalnej n (> 0)

a₁= {1} a₂=2 {1,2} a₃= 3 {1,3} ... a₆=6 {1,2,3,6}

INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA CIĄGÓW

a₃ * *

*

a₁ * *

a₂ *

1 2 3 4 5 6

Def: Ciąg (a_n) nazywamy ograniczonym z dołu, jeżeli istnieje dla każdego n para liczb R, że dla każdego N takie coś zachodzi

v ^

x (istnieje x) x dla każdego x

Def:

Ciąg (a_n) nazywamy ograniczonym z dołu jeżeli istnieje m rzeczywiste a_n > m

* *

* *

m

def: 1

Ciąg (a_n) nazywamy ograniczonym z góry jeżeli M∈R n∈N a_n ≤ M

M

* * *

* * * *

1 n

def:

Ciąg (a_n) nazywamy ograniczonym jeżeli mM∈R n∈N m ≤ a_n ≤ M

M

* * *

m * * * *

1 n

a_n= 1/n

a₁= 1, a₂= ˝, a₃=¹/₃, a₄=¹/₄. ....... 0≤ a_n ≤ 1

1 *

_*

*

*

1 2 3 4

Def:

Ciąg a_n nazywamy rosnącym (niemalejącym) jeżeli: a₁<a₂<a₃.... tzn. n∈N a_n < a_(n+1)

a₁≤a₂≤a₃.......... tzn. n∈N a_n≤(>) a_(n+1)

Def:

Ciąg a_n nazywamy malejącym (nierosnącym) jeżeli: a₁>a₂>a₃.... tzn. n჎N a_n > a_(n+1)

a₁≥a₂≥a₃.......... tzn. n჎N a_n ≥ a_(n+1)

Ćw. Zbadać monotoniczność ciągu n-1

a_n= n

(n+1)-1 n-1 n *n (n-1)(n+1) n²-(n²-1) n²-n²+1 1

a_n+1 - a_n = n+1 - n = (n+1)*n - (n+1)*n = (n+1)*n = (n+1)*n = (n+1)*n >0

a_n+1>a_n - rosnący

Def:

GRANICE CIĄGU lim

Ciąg a_n jest do granicy właściwej a∈R co zapisujemy n→∞ a_n=0 gdy E >0 n₀∈N n>n₀ Ia_n-aI<E

[a_n∈(a-E,a+E)]

a+E

a E _*

E _* ^*

a-E *

*

1 2 3 4 5

n₀ lim

Def: Ciąg a_n jest zbliżony do granicy niewłaściwej nieskończoność n→∞ = ∞

E >0 n₀∈N n>n₀ a_n>E

E

1 2 lim a_n

ciąg a_n jest zbieżny do granicy niewłaściwej minus nieskończoność n→-∞

E >0 n₀∈N n>n₀ a_n<E

E

Uwaga: GRANICA CIĄGU GEOMETRYCZNEGO

0 dla IqI < 1 (-1<q<1)

Lim 1 dla q = 1

n→∞ qⁿ = ∞ dla q > 1

nie

istnieje dla q ≤ -1

Twierdzenie :

Jeżeli ciągi a_n i b_n są zbierzne do granic właściwych to:

Lim lim an + lim bn

1. n→∞ (a_n + b_n) = n→∞ n→∞

Lim lim an - lim bn

2. n→∞ (a_n - b_n) = n→∞ n→∞

Lim lim an

3. n→∞ (C * a_n) = C * n→∞ C ∈ R

Lim lim an * lim bn

4. n→∞ (a_n * b_n) = n→∞ n→∞

Lim lim an lim bn

5. n→∞ (a_n / b_n) = n→∞ n→∞ n∈ N bn ≠ 0

Lim lim an P

6. n→∞ (a_n)^P = n→∞

Lim k lim an

7. n→∞ ^k√a_n = √ n→∞

Twierdzenie

Ciąg a_n = (1+¹/_n)ⁿ jest zbierzny

Granice ciągu oznaczamu przez e (liczba Eulera)

tzn lim

. n→∞ (1 + ¹/_n)ⁿ= e e ≈ 2,7182818...... log _ex = lnx

Uwaga jeżeli ciąg (a_n) o wyrazach dodatnich jest zbieżny do granicy niewłaściwej ∞ to granica

Lim

. n→∞ (1+¹/_an)^an= e

def: wyrażenia [∞*∞] [0*∞] [⁰/₀] [^∞/_∞] [1^∞] [∞⁰] [0⁰] nazywamy wyrażeniami nieoznaczonymi ich wartość zależy od ciągów je tworzących.

Przykład: obliczyć granicę ciągu: lim n²+2n ∞

n→∞ 3n²+4n+1 = ∞ /:n²

= ¹/₃

lim 3n⁵+4n +7 ∞ 3

n→∞ -5n⁵+5n²-1 = ∞ /: n⁵ = -5

Jeżeli stopień licznika jest równy stopniowi mianownika to dzielimy współczynniki przy najwyższej potędze

lim 3n²+2n +7 0

n→∞ 4n³+2n+4 = 4 /: n³ = 0

Jeżeli stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika to granica wynosi 0

lim 2n³+3n +5 ∞

n→∞ n-1 = 1 = ∞

lim 1

n→∞ 1+ 3n = - ∞

jeżeli stopień licznika jest wyższy niż stopień mianownika to granica wynosi ± ∞ a znak zależy od znaku współczynnika przy najwyższych potęgach.

lim 1 3n

n→∞ 1 + 3n = e

lim 2 n lim 1 ⁿ/₂ 2

n→∞ 1 + n = [1^∞] = n→∞ ( 1+ ⁿ/₂ ) = e²

e

---