1. Co to jest sygnał?

Jest to proces zmian w czasie pewnej wielkości fizycznej, dlatego też za modele matematyczne sygnału przyjmujemy funkcje, których argumentem jest czas t. Wyróżniamy różne typy sygnałów:

- jednowymiarowe np. sygnał mowy (zmiana ciśnienia powietrza względem czasu, prędkość, przyśpieszenie),

- dwuwymiarowe np. nieruchomy obraz, funkcją jest intensywność, dla obrazu kolorowego jest to trójkanałowy sygnał dwuwymiarowy,

- trójwymiarowe np. obraz zmienny w czasie, tzn. video ( 2 wymiary + czas). W przetwarzaniu sygnałów z pojęciem sygnału utożsamiać będziemy jego model matematyczny.

Cele przetwarzania:

- wyodrębnienie informacji sygnału

- kompresja (zmniejszenie objętości)

- kondycjonowanie

- przystosowanie do kanału, np. podbijanie wysokich częstotliwości dla sygnałów akustycznych, ogólnie zmiana parametrów sygnału bez zmiany jego objętości, tu też „zamazanie” mówcy.

2. Co to jest model sygnału losowego?

Modelem losowym jest rzeczywisty lub zespolony proces stochastyczny (w szczególnym przypadku zmienna losowa); model ten opisuje rzeczywistość dokładniej niż model deterministyczny (m.in. w przeciwieństwie do niego uwzględnia szumy). W modelu losowym nie jesteśmy w stanie określić wartości sygnału w dowolnej chwili czasu, możemy natomiast określić pewne prawdopodobieństwo wystąpienia wartości osiągalnych przez sygnał. Przykładowo, dla sygnału sinusoidalnego:

- model deterministyczny: x(t) = A sin (2πft + φ),

- model losowy: x(t) = A_ξ(t) sin (2πf_ξ(t)t + φ_ξ) + n(t) ← szum (harmoniczne, przydźwięki, interferencje, szum cieplny).

Modelowanie to upraszczanie rzeczywistości

3. Dlaczego sygnał losowy jest nośnikiem informacji a deterministyczny nie jest?

Z punktu widzenia odbiorcy, sygnał przekazuje informację jedynie wówczas, gdy ma dla odbiorcy charakter losowy, gdy odbiorca nie jest w stanie przewidzieć zachowania i wartości sygnału, a jedynie prognozować to z pewnym prawdopodobieństwem. Ponieważ dla sygnału deterministycznego odbiorca może wyznaczyć jego wartość i parametry w dowolnej chwili czasu t, to też nie niesie on informacji.

4. Różnice między ciągłym sygnałem dyskretnym i cyfrowym.

- s. ciągłe t  R, x  R

- s. dyskretne t  Z, x  R

- s. cyfrowe t  Z, x  Z.

5. Z jakiego wzoru obliczana jest energia deterministycznego sygnału ciągłego nieskończonego w czasie?

6. Z jakiego wzoru obliczana jest energia deterministycznego sygnału dyskretnego nieskończonego w czasie?

7. Z jakiego wzoru obliczana jest wartość średnia deterministyczna sygnału ciągłego w przedziale [t1, t2]?

8. Z jakiego wzoru obliczana jest wartość średnia deterministyczna sygnału dyskretnego w przedziale [t1, t2]?

9. Jaką przestrzeń nazywamy przestrzenią zupełną?

Przestrzeń zupełną nazywamy przestrzeń metryczną, w której każdy ciąg Cauchy'ego leżący w tej przestrzeni ma granicę leżącą w tej przestrzeni, oraz w której wszystkie wyniki operacji na jej elementach również należą do tej przestrzeni. Przykładem przestrzeni zupełnej z metryką euklidesową jest zbiór liczb rzeczywistych R:

10. Scharakteryzować przestrzeń unitarną.

Przestrzenią unitarną zwiemy przestrzeń liniową X, w której określony jest iloczyn skalarny, i unormowaną przez normę: ||x|| = (x, x), x  X

Ponieważ iloczyn skalarny indukuje normę, a ta z kolei metrykę, więc przestrzeń unitarna jest zatem przestrzenią metryczną.

11. Scharakteryzować przestrzeń Hilberta.

Przestrzeń Hilberta jest przestrzenią zupełną, liniową (w przestrzeni liniowej zdefiniowane są 2 operacje: dodawanie elementów przestrzeni i mnożenie elementów przestrzeni przez stałą, gdzie wynik mnożenia jest też elementem przestrzeni), unitarną (w przestrzeni unitarnej określony jest iloczyn skalarny i jest ona unormowana poprzez normę ||x|| = (x, x), x  X), a skoro unitarną to w efekcie również metryczną.

12. Scharakteryzować przestrzeń
.

Przestrzeń
jest przestrzenią metryczną i zupełną, znormalizowaną dla przedziału (0, T) norma
, dla przedziału (-,  norma
, całkowalną w kwadracie (całka z kwadratu jest skończona) ale tylko
(0, T), jest ona również przestrzenią sygnałów ciągłych.

13. Podać definicję momentu centralnego r-tego rzędu dla sygnału deterministycznego ciągłego.

gdzie m_x - moment zwykły r-tego rzędu, określony wzorem

14. Jakie operacje na elementach przestrzennych definiowane są w przestrzeni liniowej?

W przestrzeni liniowej definiowane są dwie operacje na elementach przestrzeni, są to: dodawanie elementów przestrzeni, mnożenie elementu przestrzeni przez stałą.

15. Podać zależność na obliczenie iloczynu skalarnego w przestrzeni
(0, T) - sygnałów ciągłych na odcinku czasu od 0 do T)

16. Podać zależność na obliczenie iloczynu skalarnego w przestrzeni sygnałów dyskretnych
.

17. Podać zależność na obliczanie iloczynu skalarnego sygnałów ciągłych w przestrzeni
w nieskończonym czasie.

18. Jaki zbiór elementów przestrzeni może stanowić bazę przestrzeni (np.
)? Z ilu elementów składa się baza przestrzeni
?

Jeśli mamy do czynienia z przestrzenią n-wymiarową, np.
, to każdy zbiór o liczności n będący liniowo niezależny może stanowić bazę tej przestrzeni. Z powyższego prosto wynika, że baza przestrzeni
składa się z n elementów.

19. Omówić różnice między bazą ortonormlaną a nieortonormalną.

Baza ortonormalna od bazy nieortonormalnej różni się tym, iż dla bazy ortonormlanej rozwiązanie układu równań Aα = a jest dużo prostsze. Macierz A oraz
w przypadku bazy ortonormalnej są macierzami jednostkowymi oraz tym, że dla każdego elementu bazy ortonormalnej norma jest jednostkowa, tj. |x_i| = 1 dla i= 1,...,n oraz (x_i, x_j) = 0, i ≠ j, i,j=1,2,…,n

20. Podać warunek ortogonalności dwóch sygnałów w przestrzeni sygnałów.

Dwa sygnały w przestrzeni sygnałów są ortogonalne, jeżeli ich iloczyn skalarny jest równy zeru, czyli: x ┴ y <=> (x, y) = 0 => ||x + y||² = ||x||² + ||y||² - uogólnienie wzoru Pitagorasa na dowolną przestrzeń unitarną.

21. Podać zależność na obliczenie chwilowej wariancji sygnału deterministycznego.

22. Wymień znane z wykładu zbiory ortonormalne zupełne.

* trygonometryczny szereg Fouriera - zbiór zupełny w

(0, T)

- zespolony szereg Fouriera - zbiór zupełny w
(0, T)

- szereg Shermana-Kotielnikowa - zbiór zupełny w przestrzeni
(-, 

- funkcje Haar'a

- funkcje Walsh'a

23. Co to jest norma elementu przestrzeni sygnałów, podać przykładową definicję.

Norma elementu przestrzeni to odwzorowanie elementu przestrzeni w zbiór liczb rzeczywistych dodatnich plus zero ( ||.|| : x → R⁺
{0}). Norma musi spełniać następujące aksjomaty:

1) jeżeli ||x|| = 0 => x = Ø (x jest elementem zerowym przestrzeni)

2) ||α x|| = |α| ||x||

3) ||x + y|| <= ||x|| + ||y||

Przykładowa definicja dla przestrzeni
:

24. Podać zależność na obliczenie normy wektora w przestrzeni L² (dla sygnałów dyskretnych).

W przestrzeni
(sygnałów dyskretnych, nieskończona, całkowalna w kwadracie)

25. Podać zależność na obliczenie normy wektora w przestrzeni sygnałów ciągłych na odcinku [t₁, t₂]

W przestrzeni L₂ na odcinku [t₁, t₂]:

26. Do czego służy procedura Gramma-Schmidt'a?

Procedura Gramma-Schmidta pozwala przekształcić dowolną bazę do bazy ortonormalnej

{x₁ ; … ; x_n} - zbiór nieortogonalny

{y₁ ; … ; y_n} - zbiór ortogonalny

{z₁ ; … ; z_n} - zbiór ortonormalny

Procedura ta jest procedurą iteracyjną.

27. Czym różnią się algorytmy wyznaczania dyskretnej reprezentacji w przypadku bazy ortogonalnej i nieortogonalnej?

Przy wyznaczaniu dyskretnej reprezentacji sygnału otrzymujemy układ n skalarnych równań liniowych z niewiadomymi α_i; układ taki można zapisać w postaci macierzowej A α = a. W przypadku bazy nieortogonalnej jego zasadniczą wadą jest fakt iż należy obliczyć wszystkie iloczyny skalarne po obu stronach powyższego wyrażenia, oraz iż do rozwiązania równania α = A^-1 a wymagane jest przeprowadzenie żmudnej odwracania macierzy A. W przypadku bazy ortogonalnej wygodnie jest zastosować odpowiednią część procedury Gramma-Schmidt'a w wyniku której z bazy ortogonalnej tworzona jest baza ortonormalna (czyli unormować ją), co z kolei sprawi, iż zarówno macierz A jak i
będą macierzami jednostkowymi, a ostatecznie sprawi iż α = a, a zatem że α_i = (x, x_i) dla i = 1; …; n

28. Co to jest dyskretna reprezentacja sygnałów w kategorii przestrzeni sygnałów?

Jeżeli mamy ustaloną bazę {x₁, x₂, …, x_n} oraz
x α = {α₁ ,α₂ ,…, α_n} jest dyskretną reprezentacją sygnału przy danej bazie. Dla sygnału stochastycznego dyskretną reprezentację można traktować jako odwzorowanie tego sygnału w odpowiedni ciąg zmiennych losowych.

29. Jakie są istotne różnice pomiędzy dyskretną reprezentacją sygnału deterministycznego i sygnału losowego?

Dla sygnału losowego dyskretna reprezentacja jest odwzorowaniem sygnału nie w zwykły ciąg α = {α₁ ,α₂ ,…, α_n} lecz w ciąg odpowiednich zmiennych losowych (tzn. w przestrzeń
lub
)

30. Dlaczego przy wyznaczaniu dyskretnej reprezentacji sygnału nie jest konieczne odwracanie macierzy, gdy baza jest ortonormalna?

Dlatego, że macierz A jest przy takiej bazie macierzą jednostkową, to również macierz odwrotna
jest macierzą jednostkową.

31.Twierdzenie o rzucie ortogonalnym.

Niech X będzie przestrzenią unitarna, a Xⁿ jej n-wymiarową pod przestrzenią rozpięta na ortonormalnej bazie {x₁,x₂…x_n }. Jeżeli dla każdego
istnieje jeden i tylko jeden element
określony wzorem
taki, że dla każdego
gdzie
zachodzi
oraz wektor
, to wówczas
nazywamy rzutem ortogonalnym elementu x na przestrzeń
.

32. Jaki problem rozstrzyga twierdzenie o rzucie ortogonalnym?

Twierdzenie o rzucie ortogonalnym zapewnia, że aproksymacja przestrzeni X przed element podprzestrzeni
zostanie przeprowadzona z możliwie najmniejszym błędem, rozstrzyga problem umożliwienia prostego i efektywnego rozwiązania zagadnienia najlepszej aproksymacji.

33. Omówić zagadnienie najlepszej aproksymacji sygnałów przestrzeni X przez elementy podprzestrzeni X^n.

Element X nie należący do podprzestrzeni
można reprezentować elementem
jedynie z pewnym przybliżeniem. Poszukiwanie najlepszego przybliżenia to treść zagadnienia najlepszej aproksymacji, które można formułować następująco: niech X będzie przestrzenią linearną, a
jej n-wymiarową podprzestrzenią rozpięta na bazie {x₁,x₂…x_n }. Dla danego elementu
należy znaleźć taki element
, dla którego norma elelmentu różnicowego
jest najmniejsza. Inaczej: dla którego zachodzi nierówność
dla każdego
różnego od
.

34. Wady reprezentacji sygnału z przestrzeni X przez elementy podprzestrzeni
.

Wiele różnych sygnałów może mieć tą samą reprezentację.

- nie wszystkie elementy przestrzeni X są dostatecznie dobrze aproksymowane - błąd. śr. kwadratowy ||ε|| wynikający z najlepszej aproksymacji może być znaczny;

- nie istnieje globalne ograniczenie błędu ||ε|| w całej przestrzeni;

- reprezentacją takiego wektora był by wektor zerowy. (tu rysunek wektor ku górze)

35. Co to jest kombinacja liniowa elementów przestrzeni?

Niech X będzie przestrzenią liniową nad ciałem F i niech {x₁,x₂…x_n }
X. Każdy element (wektor) o postaci
, gdzie

F; i = 1, 2, …, n jest nazywany kombinacją liniową elementów x_i.

36. Jaki zbiór elementów nazywamy zbiorem liniowo niezależnym?

Zbiór elementów {x₁,x₂…x_n }.przestrzeni liniowej X nad ciałem F nazywamy liniowo niezależnym, a elementy tego zbioru liniowo niezależnymi, jeśli:

gdzie Ø oznacza element zerowy przestrzeni X oraz α_i Є F, i = 1, …, n. Liniowa niezależność elementów x_i oznacza, że żaden z tych elementów nie może być przedstawiony w postaci kombinacji liniowej pozostałych elementów.

37. Podać definicję sygnału okresowego.

Sygnał nazywamy okresowym gdy jego wartości chwilowe powtarzają się periodycznie (w jednakowych odstępach czasu) f(t) = f(t+nT), T≠0, gdzie T jest okresem po którym występują powtarzające się elementy. Najmniejszy okres dodatni (jeśli istnieje) nazywamy okresem zasadniczym.

38. Jakim wyrażeniem określony jest ortogonalny, zupełny, trygonometryczny sygnał szeregu Fouriera w przestrzeni
(0, T)?

Zbiór funkcji
jest zbiorem ortogonalnym zupełnym w przestrzeni
(0, T). Każdy sygnał x(t) należący do tej przestrzeni można zatem reprezentować szeregiem Fouriera x(t) = α₀
+

pierwszy składnik to składowa stała. Wyznaczanie współczynników:

α₀₌

39. Jakim wyrażeniem określony jest ortogonalny, zupełny, zespolony sygnał szeregu Fouriera w przestrzeni
(0, T)?

W przestrzeni
(0, T) zbiorem ortonormalnym jest zbiór funkcji

Zespolony szereg Fouriera sygnału x(t) należącego do tej przestrzeni ma więc postać

Wyznaczanie współczynników:

40. Jak wyznacza się współczynnik Fouriera, dlaczego w przypadku bazy ortonormalnej wyznaczenie ich jest łatwiejsze?

Szereg Fourira elelmentu
Tworzymy (. , xj) j = 1, …, n

j = 1, …, n

np. dla j = 1 (x, x_j) = α₁ (x₁, x1) + α₂ (x₂, x₁) + … + α_n (x_n, x₁) co z kolei prowadzi do układu równań, który w postaci macierzowej można zapisać jako A α = a, zatem α =
a

W przypadku bazy ortonormalnej zarówno macierz A, jak
są jednostkowe, co eliminuje konieczność odwracania macierzy i znacznie upraszcza obliczenia.

41. Czy widmo Fouriera sygnału rzeczywistego jest rzeczywiste czy zespolone?

Widmo sygnału jest w ogólnym przypadku funkcją zespoloną zmiennej f.

42. Podać definicję funkcji korelacji wzajemnej pomiędzy dwoma procesami niestacjonarnymi, podać znaczenie oznaczeń.

R_xy (τ) = (x, y) = ∫x(t) y(t+ τ) dτ

43. Czy funkcja korelacji wzajemnej dwóch procesów jest wielkością losową czy deterministyczną? deterministyczną

44. Kiedy funkcja autokorelacji procesu jest funkcją tylko jednego czasu?

Wtedy gdy układ jest słabo stacjonarny (stacjonarny w szerszym sensie), wartość średnia m_x procesów słabo stacjonarnych jest stała, a funkcja autokorelacji (R_x) zależy tylko od przesunięcia (τ) czyli m_x(t₁) = mx oraz R_x (t₁, t₁+τ) = R_x(τ)

45. Właściwości funkcji autokorelacji rzeczywistego procesu stacjonarnego. Czy funkcja autokorelacji jest wielkością zdeterminowaną czy losową?

- jest funkcją parzystą R(τ) = R(-τ);

- ma maksimum w zerze |R(τ)|
R(0), R(0) = τ²;

- funkcja autokorelacji procesu jest wielkością deterministyczną

46. Jakim wzorem wyraża się transformacja falkowa, omówić.

Transformata falkowa jest funkcją dwu zmiennych niezależnych i jest definiowana jako skalar. Wyraża się wzorem W(a, b) = (x, ψ_ab) - x -analizowany sygnał, ψ_ab - rodzina falek. Transformata falkowa pozwala na przeniesienie sygnału z układu czas-wartość do układu czas-częstotliwość.

47. Jak formułowana jest zasada nieoznaczoności w transformacji falkowej?

Ponieważ każda falka odpowiada za pewien obszar płaszczyzny (okno czasowo-częstotliwościowe), dobrze jest konstruować falki bardzo precyzyjne określające czas i częstotliwość, o małym oknie czasowo-częstotliwościowym. W praktyce okazuje się, że okno to nie może być niesk. małe.

Z zasady nieoznaczoności Δt Δf >= 1/2

Zjawisko to powoduje powstawanie trójwymiarowych izolinii zamiast punktów.

48. Na czym polegają transformacje czasowo - częstotliwościowe?

Dla rodziny falek:

t/a - przesuniecie w dziedzinie częstotliwości; a - wsp. skali, powoduje zmianę czasu trwania falki (rozciągniecie lub skrócenie); b - wsp. przesunięcia zmienia położenie falki na osi czasu

49. Co to jest okno czasowo - częstotliwościowe w transformacji falkowej?

Jest to pewien obszar czasu i częstotliwości na płaszczyźnie, za który odpowiada konkretna falka

50. Jaka jest różnica pomiędzy dyskretną a ciągłą transformacją falkową?

W(a, b) = (x, ψ_ab)

- dla ciągłej transformaty falkowej a, b
R; a ≠ 0;

- dla dyskretnej transformaty falkowej a = Z^-m; b = na; j,m,n
Z

51. Transformacjom czasowo - częstotliwościowym podaje się sygnały stacjonarne czy niestacjonarne? Dlaczego?

niestacjonarne

52. Omów pojęcie położenia falki i rozciągliwości falki w dziedzinie czasu i częstotliwości.

Położenie falki zależne jest od współczynnika przesunięcia b, zaś jej rozciągliwośc zależy od współczynnika skali a, we wzorze:

dysponując falkową transformatą Fouriera

Położenie na osi czasu:

Rozciągłość w osi czasu:

Położenie na osi częstotliwości:

Rozciągłość na osi częstotliwości

53. Co to jest realizacja procesu stochastycznego?

x (t, ξ) | _{ξ = const} = x (t)

x (t, ξ) - proces stochastyczny, x(t) - realizacja procesu stochastycznego

Jeżeli ustalimy zdarzenie elementarne ξ
S (przestrzeń probabilistyczna), to mamy do czynienia z deterministyczną funkcją czasu którą nazywamy realizacją procesu stochastycznego. Wszystkie realizacje razem wzięte stanowią wartość procesu.

54. Podać definicję autokorelacji sygnału deterministycznego.

R_xx (τ) = ∫x(t) x(t+τ) dτ

55. Podobieństwa i różnice między zmienną losową a procesem stochastycznym.

Proces stochastyczny jest funkcją dwu zmiennych x(t, ξ), a zmienna losowa jest funkcją jednej zmiennej x(ξ). Zmienna losowa jest szczególnym przypadkiem procesu stochastycznego, gdy przyjmiemy t = const. ; x (t, ξ) | _{t = const} = x (ξ)

56. Jaki proces nazywamy ergodycznym?

Proces jest ergodyczny, jeśli na podstawie jednej realizacji procesu z prawdopodobieństwem 1 można wyznaczyć wszystkie statystyki tego procesu. Oznacza to, że każda realizacja jest pełną reprezentacją procesu. Dla procesów ergodycznych uśrednienie po zbiorze można zastąpić uśrednieniem po czasie, jest procesem stacjonarnym.

57. Wymień i podaj definicje statystyk I rzędu.

- dystrybuanta

F(x, t) = Pr {x(t)
x} Pr - prawdopodobieństwo

F(-, t   F(t, ) = 1

- gęstość prawdopodobieństwa - określa prawd. wystąpienia danego sygnału

f(x, t) =

- wartość średnia oznaczona m(t) lub
lub η = E{x(t)}

m(t) = E{x(t)}

jest to średnia ważona prawdopodobieństwa

np. m(t) =

m(t) =

58. Wymień i podaj definicje statystyk II rzędu.

* dystrybuanta F (x₁, x₂, t₁, t₂) = Pr {x(t₁)
x_1; x(t₂)
x₂}

* gęstość prawdopodobieństwa f(x₁, x₂, t₁, t₂) =

* funkcja autokorelacji R(t₁, t₂) = E{x(t₁), x(t₂)}

* funkcja autokowaniencji C(t₁, t₂) = E{[x(t₁) - m(t₁)][x(t₂) - m(t₂)]}

* wariancja δ² (t) = E{[x(t) - m(t)]²}

* widmowa gęstość mocy - rozkład mocy w funkcji częstotliwości

S (f₁, f₂) = FT{R(t₁, t₂)} =

59. Czy gęstość prawdopodobieństwa procesu jest wielkością zdeterminowaną czy losową?

zdeterminowaną

60. Czy widmo gęstości mocy procesu losowego jest wielkością losową czy zdeterminowaną?

zdeterminowaną

61. Podać definicję dwuwymiarowej gęstości prawdopodobieństwa procesu stochastycznego.

f(x₁, x₂, t₁, t₂) =

62. Podać definicję dwuwymiarowej dystrybuanty procesu stochastycznego.

F (x₁, x₂, t₁, t₂) = Pr {x(t₁)
x1_; x(t2)
x₂}

63. Właściwości funkcji korelacji wzajemnej procesów losowych rzeczywistych.

R_xy(τ) = R_yx (-τ)

R_xy(τ) = 0
R_yx(τ) = 0

R_xy(τ) = E {y(t) x(t+τ)}

64. Jakie warunki spełnia układ liniowy?

Jeśli x₁(t), x₂(t)- to pobudzenia i a₁, a₂ - skalary oraz y(t) = L[x(t)], x(t) → L → y(t) to układ jest:

- liniowy y(t) = L {a₁x₁ (t) + a₂x₂(t)} = a₁ L {x₁(t)} + a₂ L {x₂(t)}

- niezmienny w czasie x(t, τ₁) = x(t, τ2) → y(t, τ₁) = y(t, τ₂)

- inercyjny y(t) =
x(t - α) h(α)

65. Podać definicję autokowariancji procesu ciągłego (ogólną i dla procesu stacjonarnego).

autokowaniencja ogólna:

C(t₁, t₂) = E{[x(t₁) - m(t₁)][x(t₂) - m(t₂)]}

autokowaniencja dla procesu stacjonarnego:

C(t₁, t₂) = C(τ) t₁-t, t₂=t+ τ

C(τ)= E{[x(t) - m(t)][x(t+ τ) - m(t+ τ)]}

66. Podać definicję wielowymiarowej dystrybuanty stochastycznej i znaczenie oznaczeń.

F (x₁, x₂,…x_n, t₁, t₂,…,t_n) = Pr {x(t₁)
x_1, x(t₂)
x₂,…, x(t_n)
x_n}

67. W kategoriach przestrzeni sygnałów zdefiniować znany ci współczynnik korelacji.

Współczynnik korelacji:

inaczej
przy czym 0


1

gdzie zero oznacza s. kompletnie niepodobne, a 1 takie same.

68. Podać definicję korelacji wzajemnej między sygnałami deterministycznymi.

unormowana f. korelacji wzajemnej:

69. Jaką postać ma autokorelacja procesu stacjonarnego?

f(x₁, x₂, t, t+ τ)= f(x₁, x₂, τ) oraz t₁=t, t₂=t+τ, t₀

R(t₁, t₂) =

70. Podać zależność pomiędzy funkcją autokorelacji procesu stacjonarnego a jego widmową gęstością mocy. - nie pewna odp.

S (f₁, f₂) = FT{R(t₁, t₂)

Widmo gęstości mocy jest transformatą Fouriera funkcji autokorelacji sygnału o ograniczonej mocy średniej. Funkcja autokorelacji i widmo gęstości mocy stanowią parę transformat Fouriera w sensie granicznym.

71. Co to jest wzajemna widmowa gęstość mocy?

S_xy= FT{R_xy(τ)}=
R_xy

72. Jak zdefiniowana jest widmowa gęstość mocy i jakie informacje o procesie zwiera?

Widma gęstości mocy są wartościami zdeterminowanymi. Widmowa gęstości mocy jest to rozkład mocy w funkcji częstotliwości.

S (f₁, f₂) = FT{R(t₁, t₂)} =

Zawiera ona informację o energii niesionej przez poszczególne składowe.

73. Czy widmowa gęstości mocy może przyjmować ujemne wartości? Udowodnić.

Nie, z definicji S(f)
0 - widmo gęstości mocy jest funkcją nieujemną. Sygnał zawsze niesie pewną energię (a zatem i moc) większą od zera.

74. Co powoduje, że widmowa gęstość mocy jest funkcją rzeczywistą.

Widmowa gęstości mocy jest funkcją czysto rzeczywistą, ponieważ Im S(f)=0.

Z racji tego, że funkcja autokorelacji sygnałów rzeczywistych jest funkcją rzeczywistą, to i widmo gęstości mocy sygnałów rzeczywistych jest również funkcją rzeczywistą.

75. Podać zależność pomiędzy widmową gęstością mocy sygnału na wejściu i wyjściu układu liniowego.

Zakładając, że S_yy(f) - na wyjściu, S_xx(f) - na wejściu i H(f)-transmitancja częstotliwościowa układu:

S_yy(f)=H(f)H(f) S_xx(f)=|H(f)|² S_xx(f)

76. Właściwości widmowej gęstości mocy rzeczywistego procesu stacjonarnego.

- jest czysto rzeczywista

Im S(f)=0.

- jest parzysta

S(f)=S(-f)

- jest funkcją nieujemną

S(f)
0

77. Jak zdefiniowana jest wartość średnia procesu i czy jest ona funkcją czasu?

Wartością średnią (oczekiwaną) m(t) nazywamy nielosową funkcję czasu, której wartość w punkcie t_i jest równa wartości oczekiwanej m_i(t) zmiennej losowej dla każdej chwili czasu t_i; gdy proces jest stacjonarny, to wartość średnia nie zależy od czasu

m(t)=E{x(t)}=

78. Jak zdefiniowana jest wariancja procesu i czy jest ona funkcją czasu?

Gdy proces jest stacjonarny, to w takim wypadku wariancja procesu nie zależy od czasu (
=E{x²(t)}) Definicja wariancji:
=E{[x(t)-m(t)]²}

79. Co to jest proces losowy?

Proces losowy (stochastyczny) jest to model sygnału losowego jest on funkcją dwóch zmiennych - czasu i wyniku losowania.

x (t, ξ) - proces losowy

80. Czym jest przekrój procesu stochastycznego po czasie?

Jest jednowymiarową zmienną losową.

81. Dla jakiego procesu wartość średnia nie jest funkcją czasu?

stacjonarnego

82. Kiedy wariancja nie zależy od czasu?

stacjonarnego

83. Czy wariancja procesu jest wartością losową czy deterministyczną?

deterministyczną

84. Kiedy proces jest ściśle stacjonarny słabo, n-tego rzędu?

- proces ściśle stacjonarny - proces losowy jest ściśle stacjonarny, jeżeli przesunięcie punktu zerowego (obserwacji) nie oddziałuje na jego rozkłady prawdopodobieństwa dowolnego rzędu; dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa zależą od czasu.

- proces słabo stacjonarny - gdy wartość oczekiwana (średnia) m(t)=m, czyli nie zależy od czasu, oraz gdy funkcja autokorelacji jest funkcją jednej zmiennej, czyli R(t₁,t₂)= R(t,t+ τ)=R(τ)

- proces stacjonarny n-tego rzędu - dla którego przesunięcia τ wartości funkcji gęstości prawdopodobieństwa sygnału i sygnału przesuniętego względem niego o τ są sobie równe, czyli f_1,…,n (x_1,…,n, xt_1,…,n, t_n)= f_1,…,n(x_1,…,n,t₁- τ_1,…,n, t₁- τ)

85. Co to jest szum biały?

Jest on przykładem sygnału losowego, który jest bardzo szybko zmienny. Jego funkcją autokorelacji jest delta Diracka (czyli nie istnieje powiązanie między sąsiednimi w czasie próbkami), a jego widmowa gęstość mocy jest stała w funkcji częstotliwości. Sygnał ten jest idealnie szerokopasmowy (teoretycznie). Nie da się go wytworzyć w układach fizycznych.

86. Co to jest gaussowski szum biały?

(Gaussian White Noise) - szum biały którego rozkład prawdopodobieństwa ma kształt krzywej Gaussa, ma on równą średnią energię w całym paśmie częstotliwości.

Definicje norm i iloczynów skalarnych:

przestrzeń	norma	iloczyn skalarny

Parametry sygnałów deterministycznych:

sygnały ciągle	sygnały dyskretne i cyfrowe
energia nieskończona w czasie
energia ograniczona w czasie
wartość średnia (składowa stała) - nieskończona w czasie
wartość średnia (składowa stała) - ograniczona w czasie
wariancja nieskończona w czasie
wariancja ograniczona w czasie
wartość średnia (liczona arytmetycznie w oknie długości N)
parametry chwilowe	parametry bieżące (adaptacja)
	- uśredniona stała adaptacji 0< <1
wariancja

moment zwykły r-tego rzędu

moment centralny r-tego rzędu

12

---