Problem optymalny filtracji odszumiającej – podejście geometryczne.

(złożenie sygnałów x(t) i n(t) jest addytywne

Idealna filtracja odszumiająca:

x(t) = F [y(t)]

Geometryczne rozwiązanie problemu filtracji odszumiającej

x(t) – sygnał losowy związany z sygnałem y; jest liniowo niezależny od zmiennych losowych .

Rozważmy (n+1) wymiarową podprzestrzeń rozpiętą na obserwacjach (zmiennych losowych) sygnału y

Rozwiązanie problemu filtracji odszumiającej sprowadza się do wyznaczenia reprezentacji sygnału w podprzestrzeń , czyli do wyznaczenia elementu , leżącego w minimalnej (w sensie metryki przestrzeni S) odległości od x(t). Rozwiązanie to wynika z twierdzenia o najlepszej aproksymacji, w myśl którego istnieje jeden jedyny element

, który leży w najmniejszej odległości od elementu x(t).

Jeśli wyznaczymy błąd to

Ortogonalna realizacja optymalnego filtru odszumiającego.

Algorytm optymalnej ortogonalnej filtracji odszumiającej dla n=1,...,N

1)

2)

3)

4)

5)

Inicjalizacje:

Ortogonalna realizacja kaskadowego filtru odszumiającego: