Problem filtracji innowacyjnej sygnałów II rzędu.

Sygnałem innowacyjnym jest ciąg nieskorelowanych zmiennych losowych

{e_n(n), n=0,1,2,..,p} czyli szum biały.

Macierz łańcuchowa rozproszenia filtru innowacyjnego ma postać:

stąd wniosek:

A_p(z) = θ₁₁ + θ₁₂

We = 1 = |A_p|²Wy

Powyższy filtr realizuje przekształcenie sygnału y o widmowej gęstości mocy Wy w szum biały, tj. sygnał o widmowej gęstości mocy We=1. Filtr ten często jest też zwany filtrem wybielającym.

Statystyki II rzędu (tj. widmowa gęstość mocy lub równoważnie kowariancja) sygnału y zostają „zakodowane” w postaci parametrów określających transmitancję filtru innowacyjnego.

Zbiór wsp. Schura określa całkowicie globalną macierz rozproszenia θ_0,-1, a co za tym idzie transmitancję A_p filtru innowacyjnego, a tym samym statystyki II rzędu.

Problem ortogonalnej parametryzacji sygnałów II rzędu.

Znajomość współczynników Schura {ρ₁,...,ρ_p} obserwowanego sygnału y jest wystarczająca do przeprowadzenia ortogonalnej cyfrowej syntezy (modelowania stochastycznego) tego sygnału. Wyznaczenie tych współczynników nazywa się „parametryzacją sygnału y”. Istnieje kilka równoważnych metod parametryzacji sygnału:

1) Jeśli dane są obserwacje sygnału y, tj. zbiór zmiennych losowych

{y(t),y(t-1),...,y(t-p)} to wsp. Schura można wyznaczyć jako:

ρ_i = -(e_i-1(t), r_i-1(t))u = -E e_i-1(t) r_i-1(t)

2) Jeżeli obserwację stanowi nabór próbek {y₀,...,y_p} to wyznacza się elementy

wsp. Schura:

ρ_i,T = [e_i-1,0.....e_i-1,T][r_i-1,0….r_i-1,T-1]^t

e_i,t oraz r_i,t to próbki sygnałów błędów prognozy w przód i w tył.

3) Jeśli punkt wyjścia stanowi funkcja kowariancji {c(0),c(1),...,c(p)} sygnału y,

to wsp. Schura można wyznaczyć z zależności:

gdzie g_i(i)= oznacza normę

Ta wersja jest identyczna z algebraiczną wersją algorytmu Schura.

4) Jeśli jest dana widmowa gęstość mocy sygnału y, to parametryzację sygnału

można przeprowadzić następująco:

ρ₁ = -(A_i-1(z),zB_i-1(z))w

Problem cyfrowej syntezy sygnałów 2-go rzędu.

Idea tzn. modelowanie stochastycznego (czyli cyfrowej syntezy) sygnału losowego y.

Szum biały podany na wejście filtru odwrotnego A_P^-1 względem filtru innowacyjnego generuje na jego wyjściu sygnał ^y który jest stochastycznie równoważny sygnałowi oryginalnemu y zgodnie z zależnością

Filtr ten zwany jest często filtrem modulującym lub filtrem kształtującym bowiem przekształca on widmową gęstość mocy białego szumu w widmową gęstość mocy modelowanego sygnału.

Rozwiązanie problemu modelowania stochastycznego sygnału 2-go rzędu sprowadza się więc do wyznaczenia filtru odwrotnego A_P^-1 względem filtru innowacyjnego A_P.

Problem filtru modelującego można rozwiązać następująco:

- mając dany zbiór wsp. Schura można wyznaczyć transmitancje A_P za pomocą algorytmu Levinsona,

- uwzględniając A_P można wyznaczyć w postaci jawnej transmitancję A_P^-1 ,

- przeprowadzić syntezę A_P^-1 standardową metodą.

Modelowanie stochastyczne sygnałów 2-go rzędu

Idea tzw. modelowania stochastycznego (czyli cyfrowej syntezy) sygnału losowego y.

Szum biały podany na wejście filtru odwrotnego względem filtru innowacyjnego, generuje na jego wyjściu sygnał , który jest stochastycznie równoważny sygnałowi oryginalnemu y, zgodnie z zależnością:

Filtr ten często zwany jest filtrem modelującym lub filtrem kształtującym, bowiem przekształca on widmową gęstość mocy białego szumu w widmową gęstość mocy modelowanego sygnału.

Rozwiązanie problemu modelowania stochastycznego sygnału 2-go rzędu sprowadza się więc, jak widać, do wyznaczenia filtru odwrotnego względem filtru innowacyjnego .

problem optymalnej prognozy średniokwadraturowej sygnałów stacjonarnych 2-go rzędu podejście algebraiczne.

Problem optymalnej prognozy średniokwadraturowej sprowadza się do rozwiązania następującego układu równań:

Ze względu na współczynniki {a1,,,,an}, tj odpowiedź impulsową filtru prognozującego. Jeżeli wprowadzimy oznaczenie.(Ta delta przed macierzą ma być nad zakiem „=” a nie za niestety nie dało się tak zrobić w Wordzie tak samo w pozostałych przypadkach)

C=Δ, An=Δ, Pn=Δ

To układ równań można zapisać następująco

Cn*An=Pn

Zakładając że macierz Cn jest nieosobliwa, nasze rozwiązanie ma postać

An=Cn^-1*Pn

Tak więc problem optymalnej prognozy średniokwadraturowej sprowadza się do wyznaczenia macierzy odwrotnej względem macierzy kowariancyjnej tego sygnału.

Macierz kowariancyjną wyznaczają jej I wiersz (bla bla).

Rekurencyjna metoda rozwiązania powyższego równania umożliwia

-Wykorzystanie właściwości Teoplitza macierzy kowariancyjnej

- rekurencyjne rozwiązanie problemu prognozy optymalnej

Wszystko to stosuje Algorytm Levinsona.