Algorytm Levinsona.

Mając dane:

-Funkcję kowariancji C(0), C(1), C(n), C(n+1) stacjonarnego sygnału y,

-współczynniki a_n,1,… a_n,n optymalnego filtru prognozującego rzędu n,

-błąd średnio kwadraturowy rzędu n

Wówczas prawdziwe są następujące zależności rekurencyjne

=+ρ_n+1

Gdzie:

Δ_n+1=ΔC(n+1)*1+C(n)*a_n,1+..+C(1) a_n,n

ρ_n+1=Δ- przy czym ≤1- WSP. Schura.

Oraz:

=(1-ρ²_n+1) (zatem ≤)

Unormowany algorytm Levinsona.

W przypadku unormowanego algorytmu Levinsona dokonuje się podstawień („unormujemy” rozwiązania w przód i w tył).

;

tj. współczynniki podstawień stanowią rezultat podstawień

;

Przy czym:

- wielkości unormowane

Wprowadzamy oznaczenie:

Wielkość wyraża się jako:

Ostatecznie unormowana wersja algorytmu Levinsona

Realizacja kaskadowego filtru Levinsona.

Realizacja pojedynczej sekcji filtru Levinsona.

Realizacja kaskadowa filtru Levinsona

Czwórnik pobudzony sygnałem 1 daje na wyjściu odpowiednio:

- transmitancję optymalnego filtru prognozującego w przód,

- transmitancję optymalnego filtru prognozującego w tył.

Algorytm Levinsona , sygnał innowacyjny i problem wybielania sygnału .

Filtracja innowacyjna sygnału Y

Sygnał losowy jest scentrowany jest asymptotycznie nieskorelowany

C(k) = Ey(t)y(t-k)0 gdy k∞

Stąd wniosek , że każdy sygnał losowy można ( z dokładnością do ξ ) traktować jako sygnał o skończonym czasie skorelowania .

Dla sygnału o skończonym czasie skorelowania n

E ξ_n(t) ξ_n(t-k) = 0 , dla k=1,2

Nieskorelowanie błędu prognozy wynika z warunków optymalności estymatora , oraz ze skończonego czasu skorelowania sygnału .Nieskorelowanie błędu prognozy oznacza , że ξ_n(t) jest szumem białym .

Sygnał y(t) o widmowej gęstości mocy Wy i o skończonym czasie skorelowania jest przekształcony przez filtr innowacyjny w szum biały . Dlatego filtr innowacyjny jest nazywany również filtrem wybielającym .

Skoro filtr innowacyjny o transmitancji An(Z) przeksztalca sygnał o widmowej gęstości mocy. Wy w szum biały , to szum biały podany na wejście filtru odwrotnego o transmitancji A_n^-1 będzie dawał na wyjściu sygnał (x)