Analiza portfelowa Markowitza

Krótki rys historyczny

 

Teorię portfela sformułował w 1952 roku, późniejszy laureat Nagrody Nobla, Harry Markowitz[1]. Rozwinął on teorię alokacji środków finansowych w warunkach niepewności, która zajmuje się optymalizowaniem inwestycji w zależności od spodziewanego zysku i ryzyka. Teorię konstrukcji krzywych portfeli inwestycyjnych Markowitz'a uprościł jego uczeń - William Sharp[2]. W 1963 opublikował teorię modelu jednowskaźnikowego, za którą otrzymał nagrodę Nobla. W latach 1964-1965, naukowcy: Sharpe, Lintner i Mossin opracowali model wyceny dóbr kapitałowych. Model ten służył nie tylko wycenie papierów wartościowych, ale także analizie wszelkich poczynań na rynkach finansowych. Za jego wadę uznano bardzo ograniczoną możliwość empirycznej weryfikacji. W 1984 roku powstał kolejny model, uwzględniający w dużo szerszym zakresie tę możliwość. Nazwano go teorią arbitrażu cenowego.

Grupa metod analiz portfelowych charakteryzuje się wysokim stopniem zmatematyzowania. Poza tym, aby zbudować optymalny portfel, należy zebrać ogromną liczbę danych nawet dla małej liczby papierów wartościowych w portfelu. Ponad to obliczenia matematyczne nie należą do najprostszych. Z pomocą inwestorom przychodzi technika komputerowa i liczne programy ułatwiające obliczenia

Inwestowanie w papiery wartościowe, potocznie zwane “grą na giełdzie”, jest specyficznym działaniem inwestycyjnym. Niesie ono za sobą wysokie ryzyko ale także niejednokrotnie wysokie zyski. Jest bardzo dużo teorii, sposobów traktujących o inwestowaniu w akcje. Niestety żadna z nich nie gwarantuje sukcesu, czyli osiągnięcia oczekiwanej stopy zwrotu z poniesionej inwestycji. Różni inwestorzy będą preferowali różne metody gry na giełdzie. Przykładowo indywidualni inwestorzy preferujący grę spekulacyjną będą stosowali analizę techniczną. Analiza fundamentalna stosowana jest przez inwestorów długoterminowych. Metody ekonometryczne, w tym m.in. metody portfelowe, stosują duże instytucje finansowe: banki, fundusze inwestycyjne oraz rozpoczynające działalność w Polsce fundusze emerytalne. Inwestując w akcje możne także posługiwać się kombinacją wspomnianych metod.

Inwestycja w akcje niesie ze sobą ryzyko. Papiery wartościowe o wysokiej stopie zwrotu charakteryzują się wysokim ryzykiem. Inwestor poszukuje takich możliwości lokowania kapitału, w których dla danego ryzyka zwiększa stopę zwrotu lub dla danej stopy zwrotu zmniejsza ryzyko. Możliwość zrealizowania tak sformułowanego założenia stwarza konstruowanie portfela papierów wartościowych, czyli optymalizowania inwestycji w zależności od spodziewanego zysku i ryzyka.

Wraz z rozwojem techniki komputerowej, poprawiła się znacznie jakość a przede wszystkim prędkość przeprowadzanych obliczeń. Z łatwością dokonuje się już estymacji wprowadzania danych wejściowych do modelu. Było to między innymi przyczyną gwałtownego postępu w pracach nad modelowaniem najefektywniejszych portfeli papierów wartościowych. W okresie 1964-1965, William Sharpe, John Lintner i Jan Mossin opracowali model wyceny dóbr kapitałowych CAPM (capital asset pricing model). Model ten służył nie tylko wycenie papierów, ale także ocenie efektywności zarządzania portfelem i analizie wszelkich poczynań na rynkach finansowych. Za jego zasadniczą wadę uznano bardzo ograniczoną możliwość empirycznej weryfikacji. W 1984 roku powstał kolejny model, uwzględniający w dużo szerszym zakresie tę możliwość. Nazwano go teorią arbitrażu cenowego APT (arbitrage pricing theory). Obydwa te modele znajdują się do dziś w powszechnym użyciu.

 

Analiza porfelowa metodą Markowitza  

 Korzystając z modelu Markowitza można wyznaczyć tzw. efektywny portfel inwestycyjny, który w sposób dalece prawdopodobny jest w stanie wyznaczyć portfel spółek, w których inwestowanie będzie opłacalne. Oczywiście wszystkie obliczenia muszą uwzględniać czynnik czasu, a co za tym idzie nie sprowadza się to do przeprowadzania ciągłej analizy rynku. Oczekiwane stopy zwrot w inwestowane akcje muszą pozostać atrakcyjne dla inwestora, który oczekuje pokrycia własnych kosztów i osiągnięcia zakładanych zysków. Oczywiście, jak to zostało już wcześniej powiedziane, sytuacja na rynku, giełdzie nie zawsze jest do przewidzenia ponieważ gospodarką rządzi wiele różnych czynników, które nie zawsze dadzą się przewidzieć a tym bardziej kontrolować. Nie można także ich w sposób jasny stosować w analizie numerycznej, przy matematycznym, czy statystycznym rozpatrywaniu danego problemu, bowiem zazwyczaj nie można ich stopnia nasilenia zmierzyć. Pomiar nasilenia danego zjawiska wiąże się z konstrukcją skali jego pomiaru. Takimi zjawiskami, które w ogromnym stopniu mają wpływ na gospodarkę światową jest sytuacja polityczna i społeczna. Czynniki takie sprawiają, że inwestycje finansowe są związane z ciągłym ryzykiem straty zainwestowanych środków finansowych lub nie osiągnięcia zamierzonych korzyści.

Posługując się modelem Markowitza można dokonać aktualnej oceny preferencji rynkowych. Na podstawie danych historycznych dotyczących kształtowania się stóp zwrotu z inwestycji w akcje, dalece prawdopodobnym jest wyznaczenie pakietu akcji spółek dla których w przyszłym okresie należy spodziewać się największego możliwego zysku, jaki zakłada inwestor giełdowy, przy ponoszeniu najmniejszego ryzyka, nieodzownego w inwestycjach na parkiecie.

Powiedziane już zostało, że analiza portfelowa Markowitza[3] jest przeprowadzana na podstawie stóp zwrotu akcji w przeszłości. Stopę zwrotu w okresie nas interesującym wyznaczyć można stosując wzór.

1.1

gdzie:

P_i(t) - cena i-tej akcji osiągnięta w t- okresie,

P_i(t-1) - cena i-tej akcji osiągnięta w (t-1)-okresie,

D_i(t) - dywidenda wypłacona w (t-1)-okresie.

 

Interesując się możliwą do osiągnięcia stopą zwrotu z zainwestowanych akcji inwestor posługuje się prostym wzorem na średnią arytmetyczną.

1.2

Gdzie oznaczenia, jak poprzednio.

N - ilość rozpatrywanych w analizie stóp zwrotu z przeszłości.

 Dokonując kolejnych obliczeń należy wyznaczyć wagi i- tej akcji, czyli udział w portfelu. Zatem w oznacza sumą udziałów wszystkich akcji, co sprowadza się, że wyrażenie

1.3
musi być prawdziwe .

Zatem oczekiwaną stopę zwrotu z tak wyspecyfikowanego portfela szacujemy zgodnie ze wzorem (1.4).

1.4

Stopa zwrotu oszacowana[4] dla danego portfela powinna być wyższa aniżeli minimalne stopy pojedynczych akcji i pozostawać niższą od zakładanej maksymalnej stopy zwrotu, ze względu na ponoszone przy takiej stopie ryzyko.

Szacując natomiast ryzyko związane z inwestycjami w papiery wartościowe można się posłużyć np.; statystycznymi miarami zróżnicowania, czyli wariancją (V_i) i pierwiastkiem kwadratowym z wariancji, czyli odchyleniem standardowym(S_i). Oba wzory (dla i- tej akcji) zostają zamieszczone poniżej w podanej kolejności.

1.5

1.6

Odchylenie standardowe, jak sama nazwa wskazuje pozwala oszacować o ile odchylały się stopy zwrotu akcji w danym okresie od średniej obliczonej dla tego okresu.

Odchylenie standardowe dla portfela k- papierów wartościowych zostaje oszacowane ze wzoru kolejnego.

1.7

Gdzie oznaczenia jak poprzednio, a wartość w nawiasie jest niczym innym, jak wzorem na współczynnik korelacji liniowej Pearsona dla i- tej oraz j- tej.

Analizując portfel z krótkim terminem sprzedaży za prawdziwą należy uznać następującą zależność;

1.8

Gdzie oznaczenia jak w powyższych wzorach.

Oznacza to, że ryzyko portfela akcji mierzone wariancją stopy zwrotu portfela jest większe od kwadratu ważonej sumy ryzyk poszczególnych papierów wartościowych, mierzonych odchyleniami standardowymi stóp zwrotu.

Wyznaczając efektywny portfel złożony z k- papierów wartościowych należy przyjąć założenie o minimalnej stopie zwrotu R₀ i dokonać rozwiązania problemu programowania kwadratowego , czyli zminimalizować wariancję stóp zwrotu dla całego portfela. Przyjmując jednocześnie, że oczekiwana stopa zwrotu osiągnie wartość wyższą od przyjętej minimalnej stopy zwrotu. Minimalna stopa zwrotu jest stopą o najniższej wartości możliwej do zaakceptowania przez inwestora. Decyzja o wyborze portfela polega na wybraniu zatem portfela papierów wartościowych z najmniejszym, będącym do przyjęcia ryzykiem, czyli z najmniejszymi wahaniami w przeszłości stopy zwrotu oraz zadowalającej oczekiwanej stopie zwrotu z tego portfela.

Zgodnie z modelem Markowitz'a, aby uzyskać efektywny portfel, należy rozwiązać problem programowania kwadratowego w postaci;

1.9

przy następujących ograniczeniach

jeśli nie jest dozwolona krótka sprzedaż lub pominąwszy ostatni warunek, w przypadku odwrotnym, czyli dopuszczając sprzedaż krótką.

Programowanie kwadratowe jest metodologicznie zbliżone do programowania liniowego. Wykorzystywane są podobne algorytmy obliczeniowe. Przy czym ich różnorodność pozwala dopasować do własnych potrzeb czas potrzebnych obliczeń oraz dokładność podawanych wyników. W zadaniu programowania liniowego zarówno funkcja celu, jak i funkcje ograniczeń posiadają postać liniową, czyli:[5]

1.10

- współczynniki, czyli wektor wierszy c,

- współczynniki funkcji ograniczających, czyli wektor kolumnowy b, oraz:

dla
oraz
.

Zapisanego w postaci macierzy A z niezerowymi współczynnikami . Wówczas zadanie programowania liniowego zapisać należy w postaci:

gdzie wektory c oraz x są maksymalizowane przy ograniczeniach;

.

W podobny też sposób odbywa się odszukiwanie pożądanego wektora rozwiązań w przypadku zagadnienia programowania kwadratowego.

Do tak postawionego problemu programowania kwadratowego rozwiązaniu służyć mogą metody nieliniowe. Zastosować można jednak także wysoce wydajne algorytmy. Są to tak zwane metody zbiorów aktywnych. Jedną z takich metod zoptymalizowaną ze względów pracochłonności obliczeń jest metoda reprezentowana przez algorytm z bibliotek optymalizacji programu Matlab (wersje 4.0, 4.2, 5.0, 5.3. 6.0). Używając funkcji qp można dokonywać rozwiązań zagadnień programowania kwadratowego o dużej nawet mocy skomplikowania, chociażby nawet i tylko na wielkość układu, w jakim odnalezione mają zostać współczynniki funkcji celu.

Najkrótsze użycie funkcji qp występuje przy użyciu następującej składni:

1.11

natomiast najdłuższe, co ma spowodować dokładniejsze sprecyzowanie ograniczeń narzucanych na owo rozwiązanie wygląda następująco:

1.12
, co można przyjąć za postać ostateczną funkcji

gdzie:

H - macierz H i wektor kolumnowy c zawierają współczynniki funkcji celu,

A - macierz A i wektor b zawierają współczynniki nierówności liniowych,

vlb,

vub - pozwalają narzucić dodatkowe odpowiednio dolne oraz górne ograniczenia na wartości zmiennych niezależnych x.

n - określa liczbę ograniczeń równościowych.

 Korelacje stóp zwrotu

 Ważnym zagadnieniem w teorii portfelowej jest pojęcie korelacji stóp zwrotu[6] (współczynnik korelacji). Korelacja papieru wartościowego określa powiązanie stóp zwrotu papierów wartościowych. Współczynnik korelacji między stopami zwrotu dwóch papierów wartościowych wyznacza się według wzoru :

1.13

gdzie:

N - liczba okresów z przeszłości, z których wykorzystywane są informacje,

- stopa zwrotu dla i- tej, j-tej akcji w okresie t,

- oczekiwana stopa zwrotu akcji pierwszej spółki,

- oczekiwana stopa zwrotu akcji drugiej spółki.

 Wyrażenie zawarte w liczniku wzoru (1.13) nazywa się kowariancją stóp zwrotu. Można zatem zapisać:

1.14

gdzie:

- kowariancja stóp zwrotu akcji pierwszej i drugiej spółki.

Wyrażenie zawarte w mianowniku wzoru (1.13) jest iloczynem odchyleń standardowych stóp zwrotu akcji obu spółek. Można zatem napisać inny wzór na współczynnik korelacji stóp zwrotu:

1.15

Właściwości współczynnika (1.15) korelacji są następujące:

        Wartość współczynnika zawiera się w przedziale [-1,1],

        Współczynnik mierzy zależność liniową między stopami zwrotu dwóch spółek,

        Wartość bezwzględna tego współczynnika wskazuje na siłę powiązania między stopami zwrotu akcji dwóch spółek. Im wartość bezwzględna tego współczynnika jest bliższa jedności (tzn. sam współczynnik jest bliższy -1 lub 1), tym liniowe powiązanie między stopami zwrotu akcji dwóch spółek jest silniejsze. Wartość bezwzględna równa 1 oznacza liniową zależność funkcyjną między stopami zwrotu akcji. Sytuacja ta w praktyce nie jest spotykana. Wartość współczynnika korelacji równa 0 oznacza brak zależności liniowej między stopami zwrotu akcji spółek[7].

Znak tego współczynnika wskazuje na kierunek powiązania liniowego między stopami zwrotu akcji dwóch spółek. Jeśli współczynnik ten jest dodatni, oznacza to tzw. dodatnią korelację - wtedy wzrostowi (spadkowi) stopy zwrotu akcji jednej spółki towarzyszy wzrost (spadek) stopy zwrotu akcji drugiej spółki. Jeśli współczynnik ten jest ujemny, oznacza to tzw. ujemna korelację - wtedy wzrostowi (spadkowi) stopy zwrotu akcji jednej spółki towarzyszy spadek (wzrost) stopy zwrotu akcji drugiej spółki[8].

[1] Harry Markowitz (ur. 1927). Ekonomista amerykański, specjalista w dziedzinie bankowości i finansów, profesor City University of New York. W swych pracach (Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments -1959, Mean-Variance Analysis in Portfolio Choice - 1987). W 1990 został laureatem nagrody Nobla.

[2] William Sharpe (ur. 1934) Ekonomista amerykański, profesor uniwersytetu Stanford. W 1963 opublikował teorię modelu jednowskaźnikowego (“Single-index model”). W 1990 otrzymał nagrodę Nobla

[3] Weron A., Weron R., Inżynieria finansowa, WNT, Warszawa 1998.

[4] W. Tarczyński., red. nauk., Rynki kapitałowe, Skuteczne inwestowanie, cz. I i II, Materiały, Konferencje, WNUS, Szczecin 2000, W. Tarczyński, M. Zwolankowski , Inżynieria finansowa, A.W. Placet, Warszawa 1999. 

[5] A. Zalewski , R.Cegła, Matlab, Obliczenia Numeryczne i ich zastosowanie, Nakom, Poznań 2001, S. 302 305.

[6] Tarczyński W., Mojsiewicz M., Zarządzanie ryzykiem, PWE, Warszawa 2001, s. 78.

[7] Z. Hellwig, Elementy rachunku podobieństwa i statystyki matematycznej, PWN, Warszawa 1998, s. 149-151.

[8] M. Kolupa, Metoda Z.Hellwiga wyznaczania portfela lokat, Rector's Lectures. Nr 20, Akademia Ekonomiczna, Kraków 1994.

---