Optymalizacja procesów gospodarczych za pomocą programowania marginalnego

Zadanie 1

Przedsiębiorstwo produkuje jeden wyrób. Na podstawie danych statystycznych oszacowano funkcję regresji opisującą zależność między całkowitymi kosztami produkcji (KC) a wielkością produkcji (Q). Funkcja ta ma następującą postać:

KC(Q) = Q² + 12Q + 81.

Określić optymalną wielkość produkcji przyjmując jako kryterium celu:

a) minimalizację kosztu jednostkowego

b) maksymalizację zysku przy cenie sprzedaży 60 zł/szt..

a) $$\text{KJ\ }\left( Q \right) = \frac{KC\ (Q)}{Q} = \ \frac{Q^{2} + \ 12Q + 81}{Q}\text{\ \ } \rightarrow \text{\ \ min}$$ $$\text{KJ}^{'}\left( Q \right) = \ \frac{\left( 2Q + 12 \right)*Q - \left( Q^{2} + \ 12Q + 81 \right)*1}{Q^{2}}$$ $$\text{KJ}^{'}\left( Q \right) = \ \frac{{2Q}^{2} + \ 12Q - Q^{2} - \ 12Q - 81}{Q^{2}}$$ $$\text{KJ}^{'}\left( Q \right) = \ \frac{Q^{2} - 81}{Q^{2}}$$ $$\frac{Q^{2} - 81}{Q^{2}} = 0$$ Q^2 − 81 = 0 Q^2 = 81 Q = 9  lub Q = −9 x^a = ax^a − 1 c^′ =  0 $$\frac{f}{g} = \ \frac{f^{'}*g - f*g'}{g^{2}}$$

Q (-&; -9) -9 (-9; 9) 9 (9; +&) KJ' + 0 - 0 + KJ max min Optymalna wielkość produkcji przy której koszt jednostkowy jest najmniejszy wynosi 9.

b) Z = P − KC P = C * Q Z =  60 * Q − (Q^2 +  12Q + 81)  →  max Z =   − Q^2 +  48Q − 81 Z^′(Q)=  − 2Q + 48 Miejsce zerowe −2Q + 48 = 0 2Q = 48 Q = 24	Q (-&; 24) 24 (24; +&) Z + 0 - Z' max Optymalna wielkość produkcji przy której przedsiębiorstwo maksymalizuje zysk wynosi 24.

Zadanie 2

Przedsiębiorstwo produkuje jeden wyrób. Na podstawie danych statystycznych oszacowano funkcję regresji opisującą zależność między całkowitymi kosztami produkcji (KC) a wielkością produkcji (Q). Funkcja ta ma następującą postać:

KC(Q) = 0, 6Q² + 10Q + 100 000.

Określić optymalną wielkość produkcji przyjmując jako kryterium celu:

a) minimalizację kosztu jednostkowego,

b) maksymalizację zysku przy cenie sprzedaży 510 zł/szt..

Dokonać weryfikacji obliczeń przy cenie sprzedaży 540 zł/szt..

a) $$\text{KJ\ }\left( Q \right) = \frac{KC\ (Q)}{Q} = \ \frac{{0,6Q}^{2} + \ 10Q + 100\ 000}{Q}\text{\ \ } \rightarrow \text{\ \ min}$$ $$\text{KJ}^{'}\left( Q \right) = \ \frac{\left( 1,2Q + 10 \right)*Q - \left( 0,6Q^{2} + \ 10Q + 100\ 000 \right)*1}{Q^{2}}$$ $$\text{KJ}^{'}\left( Q \right) = \ \frac{{1,2Q}^{2} + \ 10Q - {0,6Q}^{2} - \ 10Q - 100\ 000}{Q^{2}}$$ $$\text{KJ}^{'}\left( Q \right) = \ \frac{{0,6Q}^{2} - 100\ 000}{Q^{2}}$$ $$\frac{{0,6Q}^{2} - 100\ 000}{Q^{2}} = 0$$ 0, 6Q^2 − 100 000 = 0 0, 6Q^2 = 100 000 $Q^{2} = 166\ 666\frac{2}{3}$ Q = 408, 25  lub Q = −408, 25 Q = 408  lub Q = −40

Q (-&; -408) -408 (-408; 408) 408 (408; +&) KJ' + 0 - 0 + KJ max min Optymalna wielkość produkcji przy której koszt jednostkowy jest najmniejszy wynosi 408. C1 = 510 C2 = 540 min 408 408 max 417 442

b) Z =  510 * Q − (0, 6Q^2 +  10Q + 100 000)  →  max Z =  −0, 6Q^2 +  500Q + 100 000 Z^′(Q)=  − 1, 2Q + 500 Miejsce zerowe −1, 2Q + 500 = 0 1, 2Q = 500 Q = 417 Z =  540 * Q − 0, 6Q^2 +  10Q + 100 000  →  max Z =  −0, 6Q^2 +  530Q + 100 000 Z^′(Q)=  − 1, 2Q + 530 Miejsce zerowe −1, 2Q + 530 = 0 1, 2Q = 530 Q = 442	Optymalna wielkość produkcji przy której przedsiębiorstwo maksymalizuje zysk wynosi 417. Q (-&;442) 442 (442; +&) Z + 0 - Z' max Optymalna wielkość produkcji przy której przedsiębiorstwo maksymalizuje zysk wynosi 442. Q (-&;442) 417 (442; +&) Z + 0 - Z' max

Zadanie 3

Przedsiębiorstwie produkuje jeden wyrób. Na podstawie danych statystycznych oszacowano funkcję:

KC(Q) = 4Q² + 2Q + 10 000.

Określić optymalną wielkość produkcji przyjmując jako kryterium celu:

a) minimalizację kosztu jednostkowego

b) maksymalizację zysku przy cenie sprzedaży 602 zł/szt..

a) $$\text{KJ\ }\left( Q \right) = \frac{KC\ (Q)}{Q} = \ \frac{{4Q}^{2} + \ 2Q + 10\ 000}{Q}\text{\ \ } \rightarrow \text{\ \ min}$$ $$\text{KJ}^{'}\left( Q \right) = \ \frac{\left( 8Q + 2 \right)*Q - \left( {4Q}^{2} + \ 2Q + 10\ 000 \right)*1}{Q^{2}}$$ $$\text{KJ}^{'}\left( Q \right) = \ \frac{{8Q}^{2} + \ 2Q - {4Q}^{2} - \ 2Q - 10\ 000}{Q^{2}}$$ $$\text{KJ}^{'}\left( Q \right) = \ \frac{{4Q}^{2} - 10\ 000}{Q^{2}}$$ $$\frac{{4Q}^{2} - 10\ 000}{Q^{2}} = 0$$ 4Q^2 − 10 000 = 0 4Q^2 = 10 000 Q^2 = 2 500 Q = 50  lub Q = −50

Q (-&; -50) -50 (-50; 50) 50 (50; +&) KJ' + 0 - 0 + KJ max min Optymalna wielkość produkcji przy której koszt jednostkowy jest najmniejszy wynosi 50.

b) Z =  602 * Q − (4Q^2 +  2Q + 10 000)  →  max Z =   − 4Q^2 +  600Q − 10 000 Z^′(Q)=  − 4Q + 600 Miejsce zerowe −4Q + 600 = 0 4Q = 600 Q = 150	Q (-&; 150) 150 (150; +&) Z + 0 - Z' max Optymalna wielkość produkcji przy której przedsiębiorstwo maksymalizuje zysk wynosi 151.

Zadanie 4

Koszt stały produkcji jednorodnej wynosi 66 000. Jednostkowy koszt materiałowy produkcji zależy od wielkości produkcji Q i wynosi 18 − 0, 001Q, a pozostałe jednostkowe koszty zmienne wynoszą 10. Cena jednostkowa uzależniona jest od wielkości produkcji i określona jest przez funkcję C = 55 − 0, 0035Q. Określić optymalną wielkość produkcji przyjmując jako kryterium maksymalizację zysku.

KS = 66 000 KZJ (Q)materialow = 18 − 0, 001Q KZJ (Q)pozostale = 10 C = 55 − 0, 0035Q KZJ (Q) = 28 − 0, 001Q KC = KS + KZ KC = KS + KZJ * Q KZ = (28−0,001Q) * Q Z = Q * C + KC Z = (55−0,0035Q) * Q − (28 − 0, 001Q − 66 000) Z = 55Q−0, 0035Q^2 − 28Q − 0, 001Q^2 − 66 000 Z = −0, 0025Q^2 + 27Q − 66 000 Z^′ = −0, 005Q + 27 Miejsce zerowe −0, 005Q + 27 = 0 0, 005Q = 27 Q = 5 400	Q (-&; 5400) 5400 (5400; +&) Z + 0 - Z' max Optymalna wielkość produkcji przy której przedsiębiorstwo maksymalizuje zysk wynosi 5400.

Zadanie 5

W przedsiębiorstwie przemysłowym wytwarzającym jednorodny produkt ustalono zależność pomiędzy kosztem całkowitym (KC) a ilością produkcji (Q) w postaci funkcji:

$\text{KC}\left( Q \right) = \frac{1}{3}Q^{3} - 8Q^{2} + 52Q$.

Ustalić optymalny plan produkcji, przyjmując za kryterium optymalności minimalizację kosztu jednostkowego.

$$\text{KJ}\left( Q \right) = \frac{\text{KC}}{Q}$$ $$\text{KJ}\left( Q \right) = {\frac{1}{3}Q}^{3} - {8Q}^{2} + 52Q$$ $$\text{KJ}\left( Q \right) = {\frac{1}{3}Q}^{3} - 8Q + 52\ \ \rightarrow \text{\ \ min}$$ $$\text{KJ}'\ \left( Q \right) = \frac{2}{3}Q - 8$$ Miejsce zerowe $$\frac{2}{3}Q - 8 = 0$$ $$\frac{2}{3}Q - 8 = 0$$ $$\frac{2}{3}Q = 8$$ 2Q = 24 Q = 12	Q (-&; 12) 12 (12; +&) Z - 0 + Z' max Optymalna wielkość produkcji przy której koszt jednostkowy jest najmniejszy wynosi 12.

Zadanie 6

W przedsiębiorstwie produkcyjnym ustalono, że pomiędzy kosztem produkcji (KC) a jej ilością (Q) zachodzi zależność:

KC(Q) = Q² + 24Q + 160.

Cena produktu wynosi 52 zł. Dzienna zdolność produkcyjna przedsiębiorstwa wynosi 13 szt. Określić optymalną dzienną wielkość planowanej produkcji, przyjmując za kryterium maksymalizację zysku.

C = 52 ZP = 13 szt. QIe < 0; 13> Z = P − KC P = Q * C Z = 52Q−Q^2 − (24Q + 160) Z = −Q^2 + 28Q − 160   →  max Z^′ = −2Q + 28 Miejsce zerowe −2Q + 28 = 0 2Q = 28 Q = 14	Q (-&; 14) 14 (14; +&) Z + 0 - Z' max Optymalna wielkość produkcji przy której przedsiębiorstwo maksymalizuje zysk wynosi 14. Jednak przedsiębiorstwo nie może produkować więcej niż 13. Możliwa największa optymalna wielkość produkcji wynosi 13.

Zadanie 7

W przedsiębiorstwie produkcyjnym godzinny koszt użytkowania maszyny transportującej jest sumą kosztu stałego i kosztu zmiennego zależnego od prędkości tej maszyny. Wiadomo, że koszt stały wynosi 162 zł/godz., a koszt zmienny 0, 18 x² zł/godz., gdzie x oznacza prędkość maszyny w kilometrach na godzinę. Przy jakiej prędkości maszyny koszt transportu 1 km jest najmniejszy, jeżeli maszyna może rozwijać prędkość do 32 km/godz.