Wydział Budowy Maszyn i Informatyki

Kierunek: Automatyka i Robotyka

Rok akademicki: 2014/2015

Studia: stacjonarne

Semestr: 3

Grupa: 1b

LABORATORIUM

Fizyki

Ćwiczenie nr 40

Zastosowanie metody Stokesa do badania wpływu temperatury na lepkość cieczy

Szymon Gajewski

Piotr Szczygieł

1. Wstęp teoretyczny

Wyobraźmy sobie, że zanurzamy kulkę w cieczy i zaczynamy ją ciągnąć ze stałą prędkością. Zastanówmy się, od czego zależy opór, jaki stawia ciecz poruszającej się kulce, czyli kiedy mocniej a kiedy słabiej trzeba ją ciągnąć, aby zachować daną prędkość.

Jeżeli zmienimy kulkę na większą, to opór wzrośnie. Siła oporu zależy, zatem, od promienia kulki. Jeżeli zwiększymy prędkość kulki, to opór również rośnie. Siła oporu zależy także od rodzaju cieczy, a konkretnie od jej lepkości. Im ciecz bardziej lepka tym siła oporu jest większa.

Dokładnie siłę oporu Fs , działającą na sztywną kulkę poruszającą się w nieograniczonym lepkim płynie powolnym jednostajnym ruchem postępowym, określa prawo Stokesa. Mówi ono, że Fs jest wprost proporcjonalna do prędkości u kulki, jej promienia r oraz współczynnika lepkości η cieczy, a współczynnik proporcjonalności (w przypadku kulki) równy jest 6π:

Fs = 6π r uη . (1)

Prawo Stokesa można wykorzystać do wyznaczenia współczynnika lepkości. Jeżeli kulka o promieniu r, i prędkości u natrafia na opór Fs, to z równania (1) można obliczyć wartość η.

Rozpatrzmy teraz spadanie kulki w cieczy. Spadająca kulka w cieczy podlega Fw

działaniu trzech sił: ciężkości Q = mg , oporu lepkości Fs

i wyporu Fw. Fs

Początkowo siła ciężkości jest większa od sumy sił pozostałych i kulka spada

ruchem przyspieszonym ze wzrastającą prędkością u. Ale w miarę wzrastania prędkości, zgodnie z prawem Stokesa, opór lepkości coraz bardziej rośnie i w

Q = mk g

pewnej chwili siła ciężkości staje się równa sumie

Fs + Fw . Od tego momentu

dalszy spadek kulki odbywa się ruchem jednostajnym. Napiszmy warunek równowagi sił, powodujący ruch jednostajny kulki:

mk g = Fs + Fw . (2)

Zgodnie z prawem Archimedesa, siła wyporu równa jest ciężarowi cieczy wypartej przez zanurzone w niej ciało. Jeżeli objętość kulki wynosi Vk , a gęstość cieczy ρ c , to siłę wyporu jest równa

Fw = Vk ρc g . (3)

Podstawiamy do warunku równowagi sił (2) wzory (1) i (3),

mk g = 6π ruη +Vk ρc g ,

i po przekształceniach otrzymujemy wzór na współczynnik lepkości:

(mk −Vk ρc ) g

η = .

6π ru

(4)

Spadanie kuli w cieczy lepkiej w zakresie opływu laminarnego

Lepkość płynów (cieczy i gazów) jest odpowiedzialna za występowanie oporów ruchu ciała poruszającego się w płynie. Trajektorie cząstek cieczy wokół poruszającej się kuli przedstawia rysunek Rys. 2.

Rys. 2. Spadanie kulki w cieczy lepkiej

Jest to przykład opływu laminarnego, występującego przy małych prędkościach, kiedy ciecz opływająca kulę nie tworzy jeszcze żadnych wirów czy turbulencji.

1. Opis metody

W ćwiczeniu wykorzystywane są następujące przyrządy: wiskozymetr Stokesa, ultratermostat, termometr elektroniczny do pomiaru temperatury cieczy w wiskozymetrze, kulki stalowe – 35 sztuk, śruba mikrometryczna do pomiaru średnicy kulek, stoper, waga laboratoryjna i waga analityczna.

Zasadniczym elementem wiskozymetru jest pionowo ustawiona rura szklana (Rys.2) o długości ok. 80 cm, z otwartym od góry wlotem, wypełniona wodnym roztworem gliceryny

(86 % gliceryny). Dwie poziome linie zaznaczone na rurze wyznaczają odcinek o długości 50 cm. Rura umieszczona jest współosiowo w szklanym cylindrze o nieco większej średnicy, który wyposażony jest w kanały wlotu i wylotu wody dostarczanej z ultratermostatu. Woda pełni rolę czynnika grzewczego i stabilizującego temperaturę roztworu gliceryny. Wymuszony, zamknięty obieg wody jest możliwy dzięki pompie znajdującej się w ultratermostacie. Wewnątrz ultratermostatu woda jest ogrzewana do wymaganej temperatury i pompowana do cylindra. Temperaturę roztworu wskazuje termometr elektroniczny, którego końcówka jest w niej zanurzona

Rys.Wiskozymetr Stokesa

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie wartości dynamicznego współczynnika lepkości η roztworu gliceryny dla siedmiu temperatur, rozpoczynając od temperatury otoczenia. Współczynnik wyznaczany jest pośrednio, w oparciu o pomiar prędkości opadania metalowej kulki w roztworze.

Kulka wrzucona do cieczy jest poddana działaniu trzech sił : siły ciężkości Q, siły wyporu cieczy Fw i siły oporu lepkiego T, którą w dalszym ciągu nazywać będziemy siłą Stokesa

1. Pomiary wstępne.

   1. Dla poszczególnych kulek wykonać pomiary masy przy użyciu wagi analitycznej.

   2. Zmierzyć średnicę kulek za pomocą śruby mikrometrycznej.

   3. Zmierzyć wewnętrzną średnicę cylindra oraz odległość l między znaczkami górnym i dolnym.

   4. Odczytać temperaturę, w jakiej wykonywano pomiary.

2. Pomiar prędkości ruchu kulek: wpuszczać pojedynczo kulki do cylindra z cieczą (możliwie blisko osi cylindra) i mierzyć czas w jakim przebywają drogę l.

1. Obliczenia

Nr. Pomiaru	Temperatura []	Temperatura [K]	1/T 10^−4[K^−1]	t1 [s]	t2 [s]	t3 [s]	t4 [s]	t5 [s]	⟨t⟩ [s]
1	23,2	296,2	33,76	5,18	5,20	5,21	5,12	5,07	5,16
2	25,4	298,4	33,51	4,50	4,42	4,33	4,46	4,34	4,41
3	30,2	303,2	32,98	3,50	3,51	3,40	3,38	3,46	3,45
4	35,1	308,1	32,25	2,96	2,86	2,86	2,83	2,82	2,87
5	40,3	313,3	31,92	2,25	2,77	2,32	2,33	2,41	2,34
6	45,4	318,4	31,41	1,99	2,00	1,99	2,13	2,06	2,03
7	50,3	323,3	30,93	1,77	1,84	1,88	1,91	1,72	1,82

Tab.1

Tab.2

d1 [10^−3m]	d2 [10^−3m]	d3 [10^−3m]	d4 [10^−3m]	d5 [10^−3m]	⟨d⟩ [10^−3m]	Sd [10^−3m]	d [10^−3m]
2,485	2,480	2,485	2,490	2,480	2,4825	0,005	0,11

Tab.3

M1 [mg]	M2 [mg]	M [mg]	M [mg]	m [mg]	m [mg]
660-7,7	650+1,1	651,7	0,61	65,17	0,061

Tab.4

Nr. Pomiaru	T [K]	1/T 10^−4[K^−1]	η $$\lbrack\frac{\text{Ns}}{m^{2}}\rbrack$$	∆η $$\lbrack\frac{\text{Ns}}{m^{2}}\rbrack$$	Ln η [-]	ηt $$\lbrack\frac{\text{Ns}}{m^{2}}\rbrack$$
1	296,2	33,79	0,24	0,020	-1,429	0,27
2	298,4	33,51	0,20	0,019	-1,585	0,25
3	303,2	32,98	0,16	0,017	-1,830	0,20
4	308,1	32,25	0,13	0,016	-2,013	0,17
5	313,3	31,92	0,10	0,015	-2,220	0,14
6	318,4	31,41	0,08	0,014	-2,358	0,11
7	323,3	30,93	0,09	0,014	-2,466	0,09

a=3648 $\left\lbrack \frac{\text{eV}}{\frac{J}{K}} \right\rbrack$ ∆a=210$\left\lbrack \frac{\text{eV}}{\frac{J}{K}} \right\rbrack$ E = 0, 314[eV]

b=-13,81 [-] ∆b=0,69[-] E = 0, 018[eV]

$$\left\langle t \right\rangle = \frac{\sum_{i = 1}^{5}t_{i}}{5} = \frac{5,18 + 5,20 + 5,21 + 5,12 + 5,07}{5} = 5,16\left\lbrack s \right\rbrack$$

$$\left\langle d \right\rangle = \frac{\sum_{i = 1}^{5}d_{i}}{5} = \frac{2,485 + 2,480 + 2,485 + 2,490 + 2,480}{5} = 2,483\lbrack um\rbrack$$

$$S_{d} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{5}{(\left\lbrack d \right\rbrack - d_{i})^{2}}}{5 - 1}} \bullet t_{\alpha,n} = = \sqrt{\frac{(2,483 - 2,485{)^{2} - (2,483 - 2,480)^{2} - (2,483 - 2,485)^{2} - (2,483 - 2,490)^{2} - (2,483 - 2,480)}^{2}}{4}} = 0,005\lbrack um\rbrack$$

Współczynnik studenta t_α, n wynosi dla poziomu ufności α = 0, 7 i liczby pomiarów n=5 wynosi 1,2

Błąd systematyczny pomiaru średnicy δ=0,01mm

Błąd systematyczny pomiaru masy wynosi δ=0,1 mg

Błąd systematyczny pomiaru czasu wynosi δ=0,2s

Stała Boltzmanna k = R/NA = (1,380622± 0,000059)·10⁻²³ J/K, gdzie R stała gazowa, NA liczba Avogadra

$$d = \sqrt{S_{d}^{2} + \delta^{2}} = \sqrt{{0,005}^{2} + {0,01}^{2}} = 0,11\lbrack um\rbrack$$

$$M = \sqrt{\left( \frac{M_{1} - M_{2}}{2} \right)^{2} + \delta^{2}} = \sqrt{\left( \frac{652,3 - 651,1}{2} \right)^{2} + 0,1} = 0,61\lbrack mg\rbrack$$

$$m = \frac{M}{10} = \frac{0,61 \bullet 10^{6}}{10} = 0,061\ \lbrack mg\rbrack$$

$$\eta = \frac{\left( m - \frac{1}{6}\text{ρπ}d^{3} \right) \bullet gt}{3\pi \bullet d \bullet l} = \frac{\left( 65,17 \bullet 10^{- 6} - \frac{1}{6} \bullet 1219 \bullet 3,14 \bullet \left( {2,48}^{} \bullet 10^{- 3} \right)^{3} \right)9,81 \bullet 5,16}{3 \bullet 3,14 \bullet 2,48 \bullet 10^{- 3} \bullet 0,5} = 0,24\left\lbrack \frac{\text{Ns}}{m^{2}} \right\rbrack$$

$$\eta = \eta\left( \frac{m + \frac{1}{2}\pi d^{2} \bullet \rho d}{m - \frac{1}{6}\pi d^{3}\rho} \right) = 0,24\left( \frac{0,061 \bullet 10^{- 6} + \frac{1}{2} \bullet 3,14 \bullet \left( {2,48}^{} \bullet 10^{- 3} \right)^{2} \bullet 1219 \bullet 0,11 \bullet 10^{- 3}}{65,17 \bullet 10^{- 6} - \frac{1}{6} \bullet 3,14 \bullet \left( {2,48}^{} \bullet 10^{- 3} \right)^{3} \bullet 1219} \right) = 0,020\left\lbrack \frac{\text{Ns}}{m^{2}} \right\rbrack$$

E = a • k = 3648 • 1, 3805 • 10⁻²³ = 5034, 24•10⁻²³[J]

E = a • k = 210 • 1, 3805 • 10⁻²³ = 289, 9 • 10⁻²³[J]

1[eV] = 1, 602 • 10⁻¹⁹[J]

$$E = \frac{5034,24{\bullet 10}^{- 23}}{1,602 \bullet 10^{- 19}} = 3142,47 \bullet 10^{- 4} = 0,314\lbrack eV\rbrack$$

$$E = \frac{289,9 \bullet 10^{- 23}}{1,602 \bullet 10^{- 19}} = 180,9 \bullet 10^{- 4} = 0,018\lbrack eV\rbrack$$

$$ln\eta = (\frac{E}{k)} \bullet \frac{1}{T} + ln\eta$$

y = ax           +        b

$$ax = (\frac{E}{k)} \bullet \frac{1}{T}$$

$$a = (\frac{E}{k) = \left\lbrack \frac{\text{eV}}{\frac{J}{K}} \right\rbrack}$$

$\eta_{t} = \eta_{0} \bullet e^{\frac{E}{\text{kT}}} = 1,219 \bullet e^{\frac{5034,24{\bullet 10}^{- 23}}{1,38 \bullet 10^{- 23} \bullet 296,2}} =$0,27$\left\lbrack \frac{\text{Ns}}{m^{2}} \right\rbrack$

y₁ = ax₁ + b = 3648 • 30,93 • 10⁻⁴ − 13, 81 = −2, 53

y₂ = ax₂ + b = 3648 • 33, 79 • 10⁻⁴ − 13, 81 = −1, 48

1. Wnioski

Z ćwiczenia płynie jeden podstawowy wniosek zależności lekkości od temperatury, im wyższa temperatura tym niższy współczynnik lepkości. Przyczyną rozbieżności pomiaru z wartościami teoretycznymi widocznymi na wykresie n=f(T), może być między innymi człowiek, którego refleks jest wymagany w tym doświadczeniu (obsługa stopera oraz synchronizacja czynności członków zespołu).