1. Cel i zakres ćwiczenia

Wyznaczenie metodą doświadczalną wysokości metacentrycznej modelu katamaranu dla różnych obciążeń.

1. Wprowadzenie teoretyczne

Jeżeli ciało znajduje się w cieczy, działają na niego siły: jego ciężar G, oraz siła wyporu W. Zrównoważenie się tych sił (G=W) jest warunkiem pływania.

Metacentrum nazywamy punkt przecięcia osi pływania przez wektor wyporu, przy małym wychyleniu z pozycji pionowej. Natomiast wysokość metacentryczna jest wzniesieniem punktu metacentrum ponad środek ciężkości ciała. Jest to miernik stanu równowagi ciała pływającego.

Istnieją 3 rodzaje równowagi:

- Równowaga trwała: m>0

- Równowaga chwiejna m<0

- Równowaga obojętna m=0

Metodą analityczną wysokość metacentryczną wyznaczamy ze wzoru:

[m] (1)

gdzie:

m – wysokość metacentryczna [m],

J – moment bezwładności pola przekroju ciała płaszczyzną pływania względem jego osi obrotu [m⁴],

V – objętość zanurzonej części ciała [m³],

a – odległość liczona w górę od środka wyporu do środka ciężkości ciała [m].

Metodą doświadczalną wysokość metacentryczną , wyznaczamy ze wzoru:

[m] (2)

gdzie:

G’ – ciężar obciążnika, powodującego wychylenie ciała [N],

- odległość między osią modelu i położeniem obciążnika G’ [m],

W – wypór [N],

- kąt wychylenia odpowiadający wielkości b [rad].

1. Opis stanowiska pomiarowego

Stanowisko doświadczalne składa się z katamaranu, płytek balastowych (stalowych, styropianowych i winidurowych) oraz zbiornika z wodą. Model katamaranu zaopatrzony jest w maszt z pionem i skalę kątową, ma również miejsce przeznaczone do układania.

1. Schemat

ZAŁĄCZNIK 1

1. Wyniki pomiarów

Dane płytek balastowych
stalowa
winidurowa
styropianowa

Katamaran - dane
masa
szerokość
długość
wysokość
szerokośc kadłuba
zagłębienie na płyti

1. Obliczenia

Doświadczenie zostało wykonane dla 4 wariantów:

1. Wariant I – katamaran obciążony 1 płytką winidurową

Wariant I	masa = 118g x 2
	Lewa strona
	b/2 [cm]
1	5
2	6,2
3	7,9

1. Wariant II – katamaran obciążony 1 płytką stalową

Wariant II	masa = 436g x 2
	Lewa strona
	b/2 [cm]
1	5
2	6,2
3	7,9

1. Wariant III – katamaran obciążony 2 płytkami styropianowymi i 2 płytkami winidurowymi

Wariant III	masa = 236g x 2
	Lewa strona
	b/2 [cm]
1	5
2	6,2
3	7,9

1. Wariant IV - katamaran obciążony 2 płytkami styropianowymi i 2 płytkami stalowymi

Wariant IV	masa = 872g x 2
	Lewa strona
	b/2 [cm]
1	5
2	6,2
3	7,9

Podstawowe dane:

Temperatura wody t_w = 19C → T = 292 K

Gęstość wody $\rho = \ 998,40\ \left\lbrack \frac{m^{3}}{\text{kg}} \right\rbrack$

Wysokość masztu d = 13,5 cm

Przyśpiesznie ziemskie g = 9,81$\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$

Wszystkie przykładowe obliczenia wykonujemy dla pomiaru 1 wariantu I.

• Wyznaczamy metodą doświadczalną wysokość metacentryczną

Korzystamy z wzoru:

$$m = \frac{G^{'} \bullet b}{W \bullet \varphi}\ \lbrack m\rbrack$$

Na początku przeliczamy wartość φ z milimetórw na radiany.

Korzystam przy tym z wzoru:

$$tg\varphi = \frac{\varphi}{d}$$

Gdzie:

d – zmierzona wysokość masztu [cm]

$$tg\varphi = \frac{0,5}{13,5} = 0,03704$$

φ =  0, 4636 [rad]

Wariant	Numer pomiaru	Lewa strona φ/2 [mm]	Prawa strona φ/2 [mm]	Δφ [mm]	tgφ	Δφ [radiany]
I	1	2	3	5	0,03704	0,4636
	2	2,5	4	6,5	0,04815	0,5864
	3	3	4,5	7,5	0,05556	0,6435
II	1	1,5	3,5	5	0,03704	0,4636
	2	2	4	6	0,04444	0,5404
	3	2,5	4,5	7	0,05185	0,6107
III	1	1,5	3,5	5	0,03704	0,4636
	2	2,5	4	6,5	0,04815	0,5864
	3	3	4,5	7,5	0,05556	0,6435
IV	1	2	4	6	0,04444	0,5404
	2	2,5	4,5	7	0,05185	0,6107
	3	3	5	8	0,05926	0,6747

Następnie wyliczam ciężar obciążnika powodującego wychylenie ciała G^′:

G^′ = m_o • g

Gdzie:

m_o – masa obciążnika [kg]

g – przyśpieszenie ziemskie $\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$

G^′ = 0, 317 • 9, 81 = 3, 110 [N]

Obliczam wypór W korzystając z wzoru:

W = m_c • g

Gdzie:

m_c - masa katamaranu i łączna masa płytek [kg]

Wariant	mc [kg]	W [N]
I	3,756	36,85
II	4,392	43,09
III	3,992	39,16
IV	5,264	51,64

Mając wszystkie dane możemy wyliczyć wysokość metacentryczną:

$$m = \frac{3,110\ \bullet 0,1}{36,85 \bullet 0,4636} = 0,01820\ \lbrack m\rbrack$$

Wariant	Numer pomiaru	m [m]
I	1	0,01820
	2	0,01816
	3	0,02072
II	1	0,01557
	2	0,01656
	3	0,01867
III	1	0,01713
	2	0,01709
	3	0,01950
IV	1	0,01114
	2	0,01223
	3	0,01410

• Wyznaczamy metodą analityczną wysokość metacentryczną

Korzystamy z wzoru:

$$m = \frac{J}{V_{z}} - a\ \lbrack m\rbrack$$

Wyznaczamy objętość zanurzonej części V_z korzystając z zależności:

G = W

m_c • g = V_z • g • ρ

$$V_{z} = \frac{m_{c}}{\rho}\text{\ \ }\left\lbrack m^{3} \right\rbrack$$

$$V_{z} = \frac{3,756}{998,40} = 0,003762\ \left\lbrack m^{3} \right\rbrack$$

Wariant	m [kg]	Vz[m^3]
I	3,756	0,003762
II	4,392	0,004399
III	3,992	0,003998
IV	5,264	0,005272

Wyliczamy moment bezwładności J:

$$J = \frac{{0,24}^{3} \bullet 0,6}{12} - 2 \bullet \frac{{0,10}^{3} \bullet 0,14}{12} - 2 \bullet \frac{{0,10}^{3} \bullet 0,1}{12} = 0,0005345\ \lbrack m^{4}\rbrack$$

Środek ciężkości:

$$S_{c} = \frac{m_{k} \bullet \left( \frac{w_{k}}{2} \right) + 4 \bullet m_{i} \bullet (w_{k} + 1 \bullet w_{o})}{m_{k} + 4 \bullet m_{i}} = 0,1542\ \lbrack m\rbrack$$

Gdzie:

m_k −  masa katamaranu

w_k −  wysokosc katamaranu

m_i −  masa plytek

w₀− wysokość płytki obciążającej

P_p- powierzchnia zanurzenia (2 prostokąty o bokach 0,08 x 0,8 [m])

Środek wyporu:

$$S_{w} = \frac{1}{2} \bullet \frac{V_{z}}{P_{p}} = \frac{1}{2} \bullet \frac{0,0046}{0,1006} = 0,01959\ \lbrack m\rbrack$$

a = Sc − S_w = 0, 1346[m]

$$m = \frac{J}{V_{z}} - a\ \lbrack m\rbrack$$

$$m = \frac{0,0005345}{0,003762} - 0,1346 = 0,007479\ \lbrack m\rbrack$$

Zestawienie wyników w tabeli:

Wariant	mi [kg]	Sc [m]	Sw [m]	a [m]	m [m]
I	0,236	0,1542	0,01959	0,1346	0,0074
II	0,872	0,3087		0,2891	0,1471
III	0,472	0,2285		0,2089	0,0668
IV	1,744	0,3989		0,3793	0,2372

1. Rachunek błędów

Niepewności mogły być spowodowane błędem obserwatora przy odczytywaniu kąta φ i pomiaru taśmą mierniczą.

$$tg\varphi = \frac{1}{d} \bullet (\varphi)$$

$$tg\varphi = \ \frac{1}{13,25} \bullet 0,02 = 0,001509$$

$$m = \left| \frac{G^{'} \bullet b}{W \bullet \varphi} \right| - \left| \frac{G^{'} \bullet b \bullet \varphi}{W \bullet \varphi^{2}} \right|$$

$$m = \left| \frac{3,110 \bullet 0,001}{36,85 \bullet 0,4636} \right| - \left| \frac{3,110 \bullet 0,1 \bullet 0,002}{36,85 \bullet {0,4636}^{2}} \right| = 0,0001035\ \lbrack m\rbrack$$

Wariant	Pomiar	m [m]
I	1	0,0001035
	2	0,00008343
	3	0,00006675
II	1	0,00008853
	2	0,00007227
	3	0,00005704
III	1	0,00009740
	2	0,00007850
	3	0,00006281
IV	1	0,00007020
	2	0,00005857
	3	0,00004746

1. Wykres

2. Wnioski

Wysokość metacentryczna zależy ściśle od geometrycznych parametrów badanego układu.

Można zauważyć że każdemu stanowi równowagi odpowiada inna wartość wysokości metacentrycznej.

W każdym z naszych przypadków wysokość metacentryczna była dodatnia, a zatem, mamy tu do czynienia z równowagą trwałą.

Na podstawie przeprowadzonego doświadczenia stwierdzić można, że wysokość metacentryczna rośnie wraz ze wzrostem odległości środka wyporu od środka ciężkości.