1. Cel i zakres ćwiczenia

Wyznaczenie metodą doświadczalną wysokości metacentrycznej modelu katamaranu dla różnych obciążeń.

1. Wprowadzenie teoretyczne

Jeżeli ciało znajduje się w cieczy, działają na niego siły: jego ciężar G, oraz siła wyporu W. Zrównoważenie się tych sił (G=W) jest warunkiem pływania.

Metacentrum nazywamy punkt przecięcia osi pływania przez wektor wyporu, przy małym wychyleniu z pozycji pionowej. Natomiast wysokość metacentryczna jest wzniesieniem punktu metacentrum ponad środek ciężkości ciała. Jest to miernik stanu równowagi ciała pływającego.

Istnieją 3 rodzaje równowagi:

- Równowaga trwała: m>0

- Równowaga chwiejna m<0

- Równowaga obojętna m=0

Metodą analityczną wysokość metacentryczną wyznaczamy ze wzoru:

[m] (1)

gdzie:

m – wysokość metacentryczna [m],

J – moment bezwładności pola przekroju ciała płaszczyzną pływania względem jego osi obrotu [m⁴],

V – objętość zanurzonej części ciała [m³],

a – odległość liczona w górę od środka wyporu do środka ciężkości ciała [m].

Metodą doświadczalną wysokość metacentryczną , wyznaczamy ze wzoru:

[m] (2)

gdzie:

G’ – ciężar obciążnika, powodującego wychylenie ciała [N],

- odległość między osią modelu i położeniem obciążnika G’ [m],

W – wypór [N],

- kąt wychylenia odpowiadający wielkości b [rad].

1. Opis stanowiska pomiarowego

Stanowisko doświadczalne składa się z katamaranu, płytek balastowych (stalowych, styropianowych i winidurowych) oraz zbiornika z wodą. Model katamaranu zaopatrzony jest w maszt z pionem i skalę kątową, ma również miejsce przeznaczone do układania.

1. Schemat

Zaraz dorobie

1. Wyniki pomiarów

Dane płytek balastowych
stalowa
winidurowa
styropianowa

Katamaran - dane
masa
szerokość
długość
wysokość
szerokośc kadłuba
zagłębienie na płyti

1. Obliczenia

Doświadczenie zostało wykonane dla 4 wariantów:

1. Wariant I – katamaran obciążony 1 płytką winidurową

Wariant I	masa = 118g x 2
	Lewa strona
	b/2 [cm]
1	5
2	6,2
3	7,9

1. Wariant II – katamaran obciążony 1 płytką stalową

Wariant II	masa = 436g x 2
	Lewa strona
	b/2 [cm]
1	5
2	6,2
3	7,9

1. Wariant III – katamaran obciążony 2 płytkami styropianowymi i 2 płytkami winidurowymi

Wariant III	masa = 236g x 2
	Lewa strona
	b/2 [cm]
1	5
2	6,2
3	7,9

1. Wariant IV - katamaran obciążony 2 płytkami styropianowymi i 2 płytkami stalowymi

Wariant IV	masa = 872g x 2
	Lewa strona
	b/2 [cm]
1	5
2	6,2
3	7,9

Podstawowe dane:

Temperatura wody t_w = 19C → T = 292 K

Gęstość wody $\rho = \ 998,40\ \left\lbrack \frac{m^{3}}{\text{kg}} \right\rbrack$

Wysokość masztu d = 13,5 cm

Przyśpiesznie ziemskie g = 9,81$\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$

Wszystkie przykładowe obliczenia wykonujemy na pomiaru 1 wariantu I.

• Wyznaczamy metodą doświadczalną wysokość metacentryczną

Korzystamy z wzoru:

$$m = \frac{G^{'} \bullet b}{W \bullet \varphi}\ \lbrack m\rbrack$$

Na początku przeliczamy wartość φ z milimetórw na radiany.

Korzystam przy tym z wzoru:

$$\text{tgφ} = \frac{\varphi}{d}$$

Gdzie:

d – zmierzona wysokość masztu [cm]

$$\text{tgφ} = \frac{0,5}{13,5} = 0,03704$$

φ =  0, 4636 [rad]

Wariant	Numer pomiaru	Lewa strona φ/2 [mm]	Prawa strona φ/2 [mm]	Δφ [mm]	tgφ	Δφ [radiany]
I	1	2	3	5	0,03704	0,4636
	2	2,5	4	6,5	0,04815	0,5864
	3	3	4,5	7,5	0,05556	0,6435
II	1	1,5	3,5	5	0,03704	0,4636
	2	2	4	6	0,04444	0,5404
	3	2,5	4,5	7	0,05185	0,6107
III	1	1,5	3,5	5	0,03704	0,4636
	2	2,5	4	6,5	0,04815	0,5864
	3	3	4,5	7,5	0,05556	0,6435
IV	1	2	4	6	0,04444	0,5404
	2	2,5	4,5	7	0,05185	0,6107
	3	3	5	8	0,05926	0,6747

Następnie wyliczam ciężar obciążnika powodującego wychylenie ciała G^′:

G^′ = m_o • g

Gdzie:

m_o – masa obciążnika [kg]

g – przyśpieszenie ziemskie $\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$

G^′ = 0, 317 • 9, 81 = 3, 110 [N]

Obliczam wypór W korzystając ze wzoru:

W = m_c • g

Gdzie:

m_c - masa katamaranu i łączna masa płytek [kg]

Wariant	mc [kg]	W [N]
I	3,756	36,85
II	4,392	43,09
III	3,992	39,16
IV	5,264	51,64

Mając wszystkie dane możemy wyliczbyć wysokość metacentryczną:

$$m = \frac{3,110\ \bullet 0,1}{36,85 \bullet 0,4636} = 0,01820\ \lbrack m\rbrack$$

Wariant	Numer pomiaru	m [m]
I	1	0,01820
	2	0,01816
	3	0,02072
II	1	0,01557
	2	0,01656
	3	0,01867
III	1	0,01713
	2	0,01709
	3	0,01950
IV	1	0,01114
	2	0,01223
	3	0,01410

• Wyznaczamy metodą analityczną wysokość metacentryczną

Korzystamy z wzoru:

$$m = \frac{J}{V_{z}} - a\ \lbrack m\rbrack$$

Wyznaczamy objętość zanurzonej części V_z korzystając z zależności:

G = W

m_c • g = V_z • g • ρ

$$V_{z} = \frac{m_{c}}{\rho}\text{\ \ }\left\lbrack m^{3} \right\rbrack$$

$$V_{z} = \frac{3,756}{998,40} = 0,003762\ \left\lbrack m^{3} \right\rbrack$$

Wariant	m [kg]	Vz[m^3]
I	3,756	0,003762
II	4,392	0,004399
III	3,992	0,003998
IV	5,264	0,005272

Wyliczamy moment bezwładności I:

$$J = \frac{{0,24}^{3} \bullet 0,6}{12} - 2 \bullet \frac{{0,12}^{3} \bullet 0,14}{12} - 2 \bullet \frac{{0,12}^{3} \bullet 0,1}{12} = 0,0004205\ \lbrack m^{4}\rbrack$$

Środek ciężkości:

$$S_{c} = \frac{m_{k} \bullet \left( \frac{w_{k}}{2} \right) + 4 \bullet m_{i} \bullet (w_{k} + 1 \bullet w_{o})}{m_{k} + 4 \bullet m_{i}} = 0,1542\lbrack m\rbrack$$

gdzie:

m_k −  masa katamaranu

w_k −  wysokosc katamaranu

m_i −  masa plytek

w₀− wysokość płytki obciążającej

P_p- powierzchnia zanurzenia (2 prostokąty o bokach 0,08 x 0,8 [m])

Środek wyporu:

$$S_{w} = \frac{1}{2} \bullet \frac{V_{z}}{P_{p}} = \frac{1}{2} \bullet \frac{0,0046}{0,1006} = 0,01959\ \lbrack m\rbrack$$

a = Sc − S_w = 0, 1346[m]

$$m = \frac{I}{V_{z}} - a\ \lbrack m\rbrack$$

$$m = \frac{0,0005345}{0,003762} - 0,1346 = 0,007479\ \lbrack m\rbrack$$

Zestawienie wyników w tabeli:

Wariant	mi	Sc	Sw	a	m
I	0,236	0,1542	0,01959	0,1346	0,0074
II	0,872	0,3087		0,2891	0,1471
III	0,472	0,2285		0,2089	0,0668
IV	1,744	0,3989		0,3793	0,2372