Wykład 5 Wyrównanie sieci płaskiej

• Równania poprawek obserwacyjnych

• Sieć kątowo-liniowa

• Sieć kierunkowo-liniowa

• Wstępna analiza dokładności

Równania poprawek obserwacyjnych

Równania obserwacyjne

L^wyr=F(X^wyr) (*)

pozwalają na bezpośrednie wyznaczenie poszukiwanych parametrów gdy ich liczba jest równa liczbie niewiadomych n = u. W praktyce liczba równań obserwacyjnych jest większa od liczby niewiadomych parametrów i układ równań (*) nie ma rozwiązania (jest sprzeczny). Dla usunięcia tego mankamentu wprowadzamy poprawki wyrównawcze v wówczas

L^wyr=L^obs+v (**)

Wyrównane obserwacje muszą spełniać układ (*) z dokładnością co najmniej o rząd wyższą od dokładności obserwacji – jest to kontrola „ostateczna” wyrównania

F(X^wyr)=L^obs+v (***)

Równania obserwacyjne (*) w ogólności są nieliniowe. Możemy je zastąpić liniowym przybliżeniem (zlinearyzować) w niewielkim otoczeniu poszukiwanego rozwiązania. Jeżeli posiadamy dobre przybliżenie wyznaczanych parametrów X^przybl to poszukiwane rozwiązanie możemy wyrazić przy pomocy niewiadomych x w postaci

X^wyr=X^przybl+x

Pozwala to na rozwinięcie równań obserwacyjnych w szereg Taylora

$$\mathbf{L}^{\mathbf{\text{wyr}}}\mathbf{= \ F}\left( \mathbf{X}^{\mathbf{\text{wyr}}} \right)\mathbf{= F}\left( \mathbf{X}^{\mathbf{\text{przybl}}}\mathbf{+ x} \right)\mathbf{=}\mathbf{F}\left( \mathbf{X}^{\mathbf{\text{przybl}}} \right)\mathbf{+}\frac{\mathbf{\text{dF}}}{\mathbf{\text{dx}}}\mathbf{x + \ldots}$$

Odrzucając wyrazy rzędu wyższego niż pierwszy otrzymamy liniowe przybliżenie równań obserwacyjnych

$$\mathbf{L}^{\mathbf{\text{wyr}}}\mathbf{\cong}\mathbf{F}\left( \mathbf{X}^{\mathbf{\text{przybl}}} \right)\mathbf{+ ax\ \ \ \ }\text{\ gdzie}\mathbf{\ a =}\frac{\mathbf{\text{dF}}}{\mathbf{\text{dx}}}$$

A po wstawieniu do (**) zlinearyzowane równania poprawek

    v = ax + l gdzie     l=L^przybl−L^obs;   L^przybl=F(X^przybl)

Sieć kątowo-liniowa

Rozwijana jest na płaszczyźnie – położenie punktów charakteryzowane jest współrzędnymi (x,y) . Punkty wyznaczane mają po dwie niewiadome dx,dy. Sieć płaska składa się z obserwacji odległości, azymutów i kątów:

• Odległość punktów P,K oznaczamy d(P,K) - określa ją funkcja współrzędnych $d\left( P,K \right) = \sqrt{\left( x_{k} - x_{p} \right)^{2} + \left( y_{k} - y_{p} \right)^{2}} = \sqrt{{x}_{\text{pk}}^{2} + {y}_{\text{pk}}^{2}}$ $\frac{\partial d}{\partial x_{p}} = \frac{2\left( x_{k} - x_{p} \right)\left( - 1 \right)}{2\sqrt{\left( x_{k} - x_{p} \right)^{2} + \left( y_{k} - y_{p} \right)^{2}}} = - \frac{{x}_{\text{pk}}}{d\left( P,K \right)} = - cos\left( \text{Az}\left( P,K \right) \right)$ $\frac{\partial d}{\partial y_{p}} = \frac{2\left( y_{k} - y \right)\left( - 1 \right)}{2\sqrt{\left( x_{k} - x_{p} \right)^{2} + \left( y_{k} - y_{p} \right)^{2}}} = - \frac{{y}_{\text{pk}}}{d\left( P,K \right)} = - sin\left( \text{Az}\left( P,K \right) \right)$ $\frac{\partial d}{\partial x_{k}} = \frac{2\left( x_{k} - x_{p} \right)}{2\sqrt{\left( x_{k} - x_{p} \right)^{2} + \left( y_{k} - y_{p} \right)^{2}}} = \frac{_{\text{pk}}}{d\left( P,K \right)} = cos\left( \text{Az}\left( P,K \right) \right)$ $\frac{\partial d}{\partial y_{k}} = \frac{2\left( y_{k} - y \right)}{2\sqrt{\left( x_{k} - x_{p} \right)^{2} + \left( y_{k} - y_{p} \right)^{2}}} = \frac{{y}_{\text{pk}}}{d\left( P,K \right)} = sin\left( \text{Az}\left( P,K \right) \right)$ pochodne względem współrzędnych końca odcinka mają przeciwne znaki do pochodnych względem początka odcinka – suma pochodnych jest równa 0 – długość odcinka ulega zmianie gdy punkty końcowe przesuwają się wzdłuż celowej;

• Azymut odcinka P,K oznaczamy Az(P,K) – wartość w gradach określa funkcja współrzędnych $\text{Az}\left( P,K \right) = arctan\left( \frac{y_{k} - y_{p}}{x_{k} - x_{p}} \right)*\rho^{g}$ $\frac{\partial Az}{\partial x_{p}} = \frac{1}{1 + \left( \frac{y_{k} - y_{p}}{x_{k} - x_{p}} \right)^{2}}\frac{- \left( y_{k} - y_{p} \right)\left( - 1 \right)}{\left( x_{k} - x_{p} \right)^{2}}*\rho^{g} = \frac{{y}_{\text{pk}}}{d_{\text{PK}}^{2}}*\rho^{g} = \frac{\sin\left( \text{Az}\left( P,K \right) \right)}{d_{\text{PK}}}*\rho^{g}$ $\frac{\partial Az}{\partial y_{p}} = \frac{1}{1 + \left( \frac{y_{k} - y_{p}}{x_{k} - x_{p}} \right)^{2}}\frac{- 1}{x_{k} - x_{p}}*\rho^{g} = - \frac{{x}_{\text{pk}}}{d_{\text{PK}}^{2}}*\rho^{g} = - \frac{\cos\left( \text{Az}\left( P,K \right) \right)}{d_{\text{PK}}}*\rho^{g}$ $\frac{\partial Az}{\partial x_{k}} = \frac{1}{1 + \left( \frac{y_{k} - y_{p}}{x_{k} - x_{p}} \right)^{2}}\frac{- \left( y_{k} - y_{p} \right)}{\left( x_{k} - x_{p} \right)^{2}}*\rho^{g} = - \frac{{y}_{\text{pk}}}{d_{\text{PK}}^{2}}*\rho^{g} = - \frac{\sin\left( \text{Az}\left( P,K \right) \right)}{d_{\text{PK}}}*\rho^{g}$ $\frac{\partial Az}{\partial y_{k}} = \frac{1}{1 + \left( \frac{y_{k} - y_{p}}{x_{k} - x_{p}} \right)^{2}}\frac{1}{x_{k} - x_{p}}*\rho^{g} = \frac{{x}_{\text{pk}}}{d_{\text{PK}}^{2}}*\rho^{g} = \frac{\cos\left( \text{Az}\left( P,K \right) \right)}{d_{\text{PK}}}*\rho^{g}$ pochodne względem współrzędnych końca odcinka mają przeciwne znaki do pochodnych względem początka odcinka – suma pochodnych jest równa 0 - azymut odcinka ulega zmianie gdy punkty końcowe przesuwają się w poprzek odcinka;

• Kąt o wierzchołku w punkcie C i ramionach przechodzących przez punkty L (lewe) i P (prawe) oznaczamy ∝(C,L,P) określa go różnica azymutów ∝(C,L,P) = Az(C,P) − Az(C,L) $\frac{\partial \propto}{\partial x_{L}} = - \frac{\partial Az\left( C,L \right)}{\partial x_{L}} = \frac{{y}_{\text{CL}}}{d_{\text{CL}}^{2}}*\rho^{g}$ $\frac{\partial \propto}{\partial y_{L}} = - \frac{\partial Az\left( C,L \right)}{\partial y_{L}} = - \frac{{x}_{\text{CL}}}{d_{\text{CL}}^{2}}*\rho^{g}$ $\frac{\partial \propto}{\partial x_{P}} = \frac{\partial Az\left( C,P \right)}{\partial x_{P}} = - \frac{{y}_{\text{CP}}}{d_{\text{CP}}^{2}}*\rho^{g}$ $\frac{\partial \propto}{\partial y_{P}} = \frac{\partial Az\left( C,P \right)}{\partial y_{P}} = \frac{{x}_{\text{CP}}}{d_{\text{CP}}^{2}}*\rho^{g}$ $\frac{\partial \propto}{\partial x_{C}} = \frac{\partial Az\left( C,P \right)}{\partial x_{C}} - \frac{\partial Az\left( C,L \right)}{\partial x_{C}} = \left( \frac{{y}_{\text{CP}}}{d_{\text{CP}}^{2}} - \frac{{y}_{\text{CL}}}{d_{\text{CL}}^{2}} \right)*\rho^{g}$ $\frac{\partial \propto}{\partial y_{C}} = \frac{\partial Az\left( C,P \right)}{\partial y_{C}} - \frac{\partial Az\left( C,L \right)}{\partial y_{C}} = \left( - \frac{{x}_{\text{CP}}}{d_{\text{CP}}^{2}} + \frac{{x}_{\text{CL}}}{d_{\text{CL}}^{2}} \right)*\rho^{g}$ suma pochodnych jest równa 0 - kąt ulega zmianie gdy punkty końcowe ramion kąta przesuwają się prostopadle do ramion albo wierzchołek kąta przesuwa się w kierunku środka okręgu opisanym na trójce punktów tworzących kąt.

Sieć kierunkowo-liniowa

jest rodzajem sieci płaskiej w której zamiast pomiaru kątów wykonano pomiar kierunków czyli odczytywano koło poziome teodolitu Hz w dowolnym położeniu. Takie rozwiązanie jest realizowane we współczesnych instrumentach typu tachimetr, total station wyposażonych w automatyczna rejestracje.

Kierunki różnią się od azymutów niewiadomą orientacyjną instrumentu równą azymutowi zera limbusa. K(P,K) = Az(P,K) − C(P)

Punkty będące stanowiskami mają więc dodatkową niewiadomą dc

C^wyr(P) = C^prybl(P) + dc

Wyrównanie sieci płaskiej

Nazwy punktów PunktyStałe > 100 PunktyWyznaczane <100

	Parametry przybliżone	Niewiadome pośredniczące	Parametry wyrównane
N	X	Y	k	dx
101	100,000	0,000
102	0,000	0,000	0,100
103	0,000	100,000	120,000
1	50,000	50,000		0
2	50,000	100,000	30,000	0
3	100,000	50,000	50,000	0

Niewiadome

k102,

k103

x1, y1,

x2, y2, k2

x3,y3,k3

liczba niewiadomych u=10

EXTRAKOD obserwacji
C	L	P
P	K	0	odległość PK
W	L	P	kątWierzcholekLewyPrawy
P	K	-1	kierunek PK - I orientacja na punkcie
P	K	-2	kierunek PK - II orientacja na punkcie

C	L	P	O	M
101	3	0	50,100	0,010	odległość
102	101	1	50,100	0,003	kąt
102	101	-1	399,900	0,002	kierunek
102	1	-1	49,900	0,002	kierunek
102	2	-1	70,383	0,002	kierunek
103	102	-1	180,000	0,002	kierunek
103	1	-1	230,000	0,002	kierunek
103	2	-1	280,000	0,002	kierunek
103	3	-1	250,483	0,002	kierunek
2	103	-1	170,000	0,002	kierunek
2	1	-1	270,000	0,002	kierunek
2	3	-1	320,000	0,002	kierunek
3	102	-1	179,517	0,002	kierunek
3	1	-1	150,000	0,002	kierunek
3	2	-1	100,000	0,002	kierunek
3	101	-1	250,000	0,002	kierunek

Function Oprz(c, l, p, wykazNXYK as range)

Dim xa As Double, ya As Double, xb As Double, yb As Double

Dim a1 As Double, ko As Double, ro As Double, kom As Variant

ro = 200 / WorksheetFunction.pi()

On Error GoTo blad

kom = c

xa = WorksheetFunction.VLookup(c, wykazNXYK, 8, False)

ya = WorksheetFunction.VLookup(c, wykazNXYK, 9, False)

kom = l

xb = WorksheetFunction.VLookup(l, wykazNXYK, 8, False)

yb = WorksheetFunction.VLookup(l, wykazNXYK, 9, False)

If p = 0 Then Oprz = Sqr((xb - xa) ^ 2 + (yb - ya) ^ 2): Exit Function

kom = p: a1 = WorksheetFunction.Atan2(xb - xa, yb - ya) * ro

Select Case p

Case Is = -1: ko = a1 - WorksheetFunction.VLookup(c, wykazNXYK, 10, False)

Case Else

xb = WorksheetFunction.VLookup(p, wykazNXYK, 8, False)

yb = WorksheetFunction.VLookup(p, wykazNXYK, 9, False)

ko = WorksheetFunction.Atan2(xb - xa, yb - ya) * ro - a1

End Select

If ko<0 then ko=ko+400

If ko>400 then ko=ko-400

Oprz = ko

Exit Function

blad: kom=”BLAD „& kom: Oprz=kom

End Function

Wstępna analiza dokładności Przeanalizujemy sieć o jednym punkcie wyznaczanym P[100,100] i dwóch punktach stałych S[0,0] i T[100,0]. Pomierzono kąt o wierzchołku w punkcie stałym S, lewym ramieniu przechodzącym przez punkt stały T i prawym przechodzącym przez punkt wyznaczany P z dokładnością σ_α = 0.001^g oraz odległość SP wzdłuż prawego ramienia kąta z dokładnością σ_α = 0.005m.

Układamy równania poprawek zrównoważonych bez wyrazów wolnych ( macierz A)

$$V_{d} = \frac{v\left( d_{\text{SP}} \right)}{\sigma_{d}} = \frac{100}{100\sqrt{2}*0.005}*\text{dx}_{P} + \frac{100}{100\sqrt{2}*0.005}*\text{dy}_{P} = 141.4*\text{dx}_{P} + 141.4*\text{dy}_{P}$$

$$V_{\alpha} = \frac{v\left( \alpha \right)}{\sigma_{\alpha}} = \frac{- 100{*63.66}^{g}}{2*100^{2}*{0.001}^{g}}*\text{dx}_{P} + \frac{- 100{*63.66}^{g}}{2*100^{2}*{0.001}^{g}}*\text{dy}_{P} = {- 318.3*dx}_{P}{+ 318.3*dy}_{P}$$

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} \ \ 141.4 & 141.4 \\ - 318.3 & 318.3 \\ \end{bmatrix}$

Obliczamy macierz współczynników układu równań normalnych Gaussa

$$\mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{A =}\begin{bmatrix} 121321.2 & - 81321.2 \\ - 81321.2 & 121321.2 \\ \end{bmatrix}$$

Obliczamy macierz cowariancyjną niewiadomych

$\mathbf{\text{cov}}\left( \mathbf{x} \right) = \left( \mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{A} \right)^{- 1} = \frac{1}{{121321.2}^{2} - {81321.2}^{2}}\begin{bmatrix} 121321.2 & 81321.2 \\ 81321.2 & 121321.2 \\ \end{bmatrix}\mathbf{=}\begin{bmatrix} 0.00001497 & 0.00001003 \\ 0.00001003 & 0.00001497 \\ \end{bmatrix}$

Stąd dokładności współrzędnych σ(x_P)=$\text{\ σ}\left( y_{P} \right) = \sqrt{0.00001497} = 0.0039m$

Koordynacja dokładnościowa

W układzie współrzędnych o osi Ox równoległej do mierzonego boku różniczki obserwacji określają wzory

d(d_SP) = cos(Az_SP) * dx_P + sin(Az_SP) * dy_P = 1 * dx_P + 0 * dy_P = dx_P

$$d\left( \alpha \right) = \frac{- sin\left( \text{Az}_{\text{SP}} \right)*\rho^{g}}{d_{\text{SP}}}*\text{dx}_{P} + \frac{\cos\left( \text{Az}_{\text{SP}} \right)*\rho^{g}}{d_{\text{SP}}}*\text{dy}_{P} = \frac{\rho^{g}}{d_{\text{SP}}}*\text{dy}_{P}$$

Jeśli różniczki utożsamimy z odchyleniami standardowymi obserwacji (błędami średnimi) to

σ_d = dx_P, $\ \sigma_{\alpha} = {\frac{\rho^{g}}{d_{\text{SP}}}*dy}_{P}$

Koordynacja dokładnościowa oznacza jednakowe wpływy podłużne i poprzeczne dx_P = dy_P stąd

$\sigma_{d} = \frac{\sigma_{\alpha}}{\rho^{g}}d$ czyli $\frac{\sigma_{d}}{d} = \frac{\sigma_{\alpha}}{\rho^{g}}$

Przykład 1

Zakładamy sieć poligonową o średnich bokach d=200m. Mamy dalmierz o dokładności σ_d = 0.01m. Jaką dokładność powinien mieć teodolit

$$\sigma_{\alpha} = \frac{\sigma_{d}}{d}\rho^{g} = \frac{0.01m}{200m}{63.66}^{G} = {0.0032}^{g}$$

Kolokwium 20.11.2012r.