Wykład 3 Wyrównanie sieci niwelacyjnej

Obserwacjami w sieci niwelacyjnej są przewyższenia (różnice wysokości punktów).

Obserwacja wyrównana może być określona dwoma sposobami

H_pk^wyr=H_pk^obs+v_pk=H_k^wyr−H_p^wyr

stąd poprawka wyrównawcza przewyższenia

v_pk=H_k^wyr−H_p^wyr−H_pk^obs

Wprowadzimy niewiadome pośredniczące dh dla punktów wyznaczanych - punkty nawiązania (repery) nie podlegają wyrównaniu i nie posiadają niewiadomych

H_i^wyr=H_i^przybl+dh_i

stąd równanie poprawki

v_pk=H_k^przybl+dh_k−H_p^przybl−dh_p−H_pk^obs

a po uporządkowaniu

v_pk= − dh_p+dh_k+(H_k^przybl−H_p^przybl−H_pk^obs)=(−1)*dh_p+(+1)*dh_k+l

otrzymujemy współczynniki przy niewiadomych {-1, 0 ,+1} oraz wyraz wolny liniowego równania poprawki

Wysokości przybliżone

obliczymy korzystając z wybranych obserwacji przewyższeń

H_pk^obs=H_k^przyb−H_p^przyb

stąd H_k^przyb=H_p^przyb+H_pk^bs lub H_p^przyb=H_k^przyb−H_pk^obs

Przykład

Wyrównanie ciągu niwelacyjnego o punktach wyznaczanych 11 i 12, nawiązanego do reperów 101,102 (tabela1) i składającego się z 3 przewyższeń pomierzonych z różną dokładnością (tabela 2).

Tab.1. Wysokości reperów

Np	H^przybl	dh	H^wyr
101	10,11	0	10,11
102	10,22	0	10,22

Tab.2. Pomierzone przewyższenia

Lp	P	K	ΔΗ^obs	σ
1	101	11	-0,32	0,1
2	11	12	0,04	0,2
3	12	102	0,15	0,1

Czynność 1. Obliczenie przybliżonych wysokości punktów wyznaczanych

i startowych wartości wysokości wyrównanych

Nazwa	H^przybl	dH	H^wyr=H^przyb+dH
101			10,11
102			10,22
1	9,79	0	9,79
2	9,83	0	9,83

Czynność 2. Obliczenie przybliżonych wartości obserwacji

Lp	P	K	ΔΗ^obs	σ	ΔΗ^przybl FUNKCJA	Dodatkowe kolumny do wklejania wartości FUNKCJI i odejmowania
1	101	11	-0,32	0,1	-0,32
2	11	12	0,04	0,2	0,04
3	12	102	0,15	0,1	0,39

Function PRZEWprzybl( p,k, wykazNH as range)

Dim hp As Double, hk As Double

Dim kom As Variant

On Error GoTo blad

kom = p

hp = WorksheetFunction.VLookup(p, wykazNH, 4, False)

kom = k

hk = WorksheetFunction.VLookup(k, wykazNH, 4, False)

PRZEWprzybl=hk-hp

Exit Function

blad: kom=”BLAD “&kom: PRZEWprzybl=kom

End Function

Numeryczne wyznaczenie pochodnej funkcji P(H)

$$\mathbf{P}^{\mathbf{'}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\text{dP}}}{\mathbf{\text{dH}}}\mathbf{\cong}\frac{\mathbf{P}\left( \mathbf{H + dH} \right)\mathbf{- P}\left( \mathbf{H} \right)}{\mathbf{\text{dH}}}\mathbf{\cong}\frac{\mathbf{P}\left( \mathbf{H + dH} \right)\mathbf{- P}\left( \mathbf{H - dH} \right)}{\mathbf{2\ dH}}$$

Czynność 3. Ułożenie równań poprawek

Lp	dh11	dh12	l=Lprz-Lobs
1	1	0	0,00
2	-1	1	0,00
3	0	-1	0,24

Czynność 4. Standaryzacja równań poprawek [A,  L]

Lp	dh11	dh12	l
1	10	0	0,00
2	-5	5	0,00
3	0	-10	2,40

Czynność 5. Ułożenie równań normalnych z symetrycznym wierszem dodatkowym $\begin{bmatrix} \mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{A} & \mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{L} \\ \mathbf{L}^{\mathbf{T}}\mathbf{A} & \mathbf{L}^{\mathbf{T}}\mathbf{L} \\ \end{bmatrix}$

dh11	dh12	l
125	-25	0,00
-25	125	-24,00
0,00	-24,00	5,76

Czynność 6. Obliczenie macierzy odwrotnej i rozwiązanie układu równań normalnych $\begin{bmatrix} \left( \mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{A} \right)^{\mathbf{- 1}} & \mathbf{x} \\ \end{bmatrix}$

0,008333	0,001667	-0,040
0,001667	0,008333	-0,200

Czynność 7. Obliczenie wysokości wyrównanych i ich odchyleń standardowych

Np.	Nr obs.	Hprzybl	dh	Hwyr	σH
11	1	9,79	0,04	9,83	0,913
12	2	9,83	0,20	10,03	0,913

Czynność 8. Obliczenie $\begin{bmatrix} {\mathbf{A}\left( \mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{A} \right)}^{\mathbf{- 1}} & \mathbf{\text{Ax}} \\ \end{bmatrix}\mathbf{= A}\begin{bmatrix} \left( \mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{A} \right)^{\mathbf{- 1}} & \mathbf{x} \\ \end{bmatrix}$ oraz A_i(A^TA)⁻¹A_i^T

0,083333	0,016667	-0,40	0,833333
-0,03333	0,033333	-0,80	0,333333
-0,01667	-0,08333	2,00	0,833333

Czynność 9. Obliczenie obserwacji wyrównanych, kontrola ostateczna,

obliczenie odchyleń standardowych poprawek

Lp	P	K	ΔΗ	σ	Hp-Hk	V	v	obs+v	Hk-Hp	kontrola	σV
1	101	11	-0,32	0,1	-0,32	0,40	0,04	-0,28	-0,28	0,00	0,408
2	11	12	0,04	0,2	0,04	0,80	0,16	0,20	0,20	0,00	0,816
3	12	102	0,15	0,1	0,39	0,40	0,04	0,19	0,19	0,00	0,408

Czynność 10. Obliczenie ${\hat{\sigma}}_{0}^{2} = \frac{1}{n - u}{\hat{\mathbf{v}}}^{\mathbf{T}}\hat{\mathbf{v}}$=0,96

UZUPEŁNIENIE

Rozwiązanie układu równań liniowych metodą redukcyjną

a) wypisujemy macierz dołączoną układu oddzielając macierz wyrazów wolnych pionową kreską.

b) wykonując opisane poniżej operacje doprowadzamy macierz układu do postaci macierzy jednostkowej. Wówczas jedynki na odpowiednich miejscach oznaczają niewiadome, a liczby za kreską są ich wartościami /rozwiązaniami/.

c) Jeżeli w trakcie wykonywanych operacji pojawi się wiersz złożony z samych zer „0” to układ jest nieoznaczony.

d) Jeżeli w trakcie wykonywanych operacji pojawi się wiersz złożony z samych zer z lewej strony kreski, a nie będący zerem po prawej stronie kreski to układ jest sprzeczny.

Dozwolone operacje:

1. działać można tylko na wierszach

2. wiersze można zamieniać miejscami

3. wiersz można pomnożyć lub podzielić przez dowolną liczbę różną od „0”.

4. do danego wiersza można dodać inny wiersz pomnożony przez stałą.

Schemat obliczeniowy

Tabela wyjściowa (pierwotna)

A	B

jest przekształcana do tabeli docelowej

I	x

Algorytm może być opisany w formie mnożenia całego wiersza tabeli przez macierz A⁻¹ możemy ją uzyskać w postaci jawnej wstawiając do tabeli wyjściowej B=I, co oznacza zwiększenie liczby kolumn i oczywiście zwiększenie liczby obliczeń. Wynika stąd, że rozwiązanie układu równań liniowych można otrzymać mniejszym nakładem obliczeń niż w metodzie nieoznaczonej.

Rozkład macierzy na czynniki trójkątne

Przedstawiając macierz w postaci iloczynu A = GH

Rozwiązanie układu równań liniowych AX = B można przedstawić w postaci

X=A⁻¹B=H⁻¹G⁻¹B

Metoda taka będzie atrakcyjna rachunkowo tylko w przypadku gdy odwrotności czynników będą łatwo wyznaczalne. Taka sytuacja zachodzi dla czynników o postaci trójkątnej – dolnej (Lower) gdy elementy powyżej przekątnej głównej są zerowe lub górnej (Upper) gdy elementy poniżej przekątnej głównej są zerowe. Rozpatrzymy rozkład na iloczyn trójkąta dolnego i górnego A = L * U

Rozkład ten jest niejednoznaczny ponieważ liczba poszukiwanych elementów czynników wynosi n²+n a liczba równań (elementów macierzy wyjściowej) wynosi n².

Przypadek 1

Zakładamy l_ii = 1

Elementy pierwszego wiersza a_1i = u_1i stąd u_1i = a_1i

Elementy pierwszej kolumny a_w1 = l_w1 * u₁₁ stąd l_w1 = a_w1/u₁₁ = u_1w/u₁₁ dla w > 1

a dla układu symetrycznego l_w1 = u_1w/u₁₁

Elementy drugiego wiersza a_2k = l₂₁u_1k + u_2k dla k>1

stąd u_2k = a_2k − l₂₁u_1k = a_2k − a₂₁a_1k/a₁₁

Elementy drugiej kolumny

a₃₂ = l₃₁ * u₁₂ + l₃₂ * u₂₂  stąd l₃₂ = (a₃₂ − l₃₁ * u₁₂)/u₂₂

a_w2 = l_w1 * u₁₂ + l_w2 * u₂₂  stąd l_w2 = (a_w2 − l_w1 * u₁₂)/u₂₂

Ogólnie $a_{\text{wk}} = \sum_{i = 1}^{w - 1}{l_{\text{wi}}*u_{\text{ik}} + u_{\text{wk}}}\ \ \ dla\ \ k \geq w$

stąd ${u_{\text{wk}} = a}_{\text{wk}} - \sum_{i = 1}^{w - 1}{l_{\text{wi}}*u_{\text{ik}}\text{\ \ \ }}$

$a_{\text{wk}} = \sum_{i = 1}^{k}{l_{\text{wi}}*u_{\text{ik}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ dla\ w > k}$

stąd $l_{\text{wk}} = \left( a_{\text{wk}} - \sum_{i = 1}^{k - 1}{l_{\text{wi}}*u_{\text{ik}}\ } \right)/u_{\text{kk}}$

a dla układów symetrycznych l_wk = u_kw/u_kk

We wzorach tych rozpoznajemy algorytm Gaussa zapisany w postaci rozkładu.

Przypadek 2

Zakładamy L=U^T - istnienie takiego rozwiązania wymaga symetrii i dodatniej określoności macierzy A

Rozkład ten zapisywany jest w postaciach A = LL^T = U^TU

Element a₁₁ = u₁₁² stąd $u_{11} = \sqrt{a_{11}}$

Kolejne elementy pierwszego wiersza a_1k = u₁₁ * u₁    dla k > 1 stąd $u_{1k} = \frac{a_{1k}}{u_{11}}$

Element na przekątnej $a_{\text{ww}} = \sum_{i = 1}^{w}u_{\text{iw}}^{2}$ stąd $u_{\text{ww}} = \sqrt{a_{\text{ww}} - \sum_{i = 1}^{w - 1}u_{\text{iw}}^{2}}$

Kolejne elementy wiersza $a_{\text{wk}} = \sum_{i = 1}^{w}{u_{\text{iw}}*u_{\text{ik}}}\text{\ \ \ \ dla}\ \ k > w$ stąd $u_{\text{wk}} = \frac{a_{\text{wk}} - \sum_{i = 1}^{w - 1}{u_{\text{iw}}*u_{\text{ik}}}}{u_{\text{ww}}}$

Wzory te stanowią algorytm Choleskiego-Banachiewicza.

Iloczyn kolumnowy (krakowianowy) M × N=M^TN

pozwala na proste obliczenie tablic występujących w metodzie najmniejszych kwadratów

V^TV = V × V , A^TA = A × A , A^TL = A × L

a nawet tablic złożonych (macierzy blokowych) tworzących układ równań normalnych

[A,L]^T[A,L] = (A,L) × (A,L)

Schemat obliczeniowy MNK wykorzystujący algorytm Choleskiego-BANACHEWICZA

Dla metody najmniejszych kwadratów tworzymy tabelę pierwotną M w postaci

$\begin{matrix} \begin{matrix} \mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{A} & \mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{L} \\ \end{matrix} & \mathbf{\text{\ \ \ \ \ }}\begin{matrix} \mathbf{I} & \mathbf{\text{\ \ \ \ }}\mathbf{A}^{\mathbf{T}} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}$

W wyniku wykonania algorytmu Choleskiego-Banachiewicza uzyskamy rozkład M=R^TR

realizując w kolejnych wierszach wzory

$\mathbf{r}_{\mathbf{\text{ii}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{m}_{\mathbf{\text{ii}}}\mathbf{-}\sum_{\mathbf{k = 1}}^{\mathbf{i - 1}}\mathbf{r}_{\mathbf{\text{ki}}}^{\mathbf{2}}}$ $\mathbf{r}_{\mathbf{\text{ij}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{m}_{\mathbf{\text{ij}}}\mathbf{-}\sum_{\mathbf{k = 1}}^{\mathbf{i - 1}}{\mathbf{r}_{\mathbf{\text{ki}}}\mathbf{r}_{\mathbf{\text{kj}}}}}{\mathbf{r}_{\mathbf{\text{ii}}}}$

otrzymamy tabelę

$\begin{matrix} \begin{matrix} \mathbf{R} & \mathbf{\text{\ \ NA}}^{\mathbf{T}}\mathbf{L} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \mathbf{N} & \mathbf{\text{NA}}^{\mathbf{T}} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}$ gdzie N=(R^T)⁻¹

Obliczenia możemy zrealizować w jednolitym schemacie tworząc tabelę pierwotną powiększona o dodatkowy wiersz

A^TA	A^TL	I	A^T
L^TA	L^TL	0	L^T

w którym realizujemy wzory uproszczone

$\mathbf{r}_{\mathbf{\text{ii}}}\mathbf{=}\mathbf{m}_{\mathbf{\text{ii}}}\mathbf{-}\sum_{\mathbf{k = 1}}^{\mathbf{i - 1}}\mathbf{r}_{\mathbf{\text{ki}}}^{\mathbf{2}}$ $\mathbf{r}_{\mathbf{\text{ij}}}\mathbf{=}\mathbf{m}_{\mathbf{\text{ij}}}\mathbf{-}\sum_{\mathbf{k = 1}}^{\mathbf{i - 1}}{\mathbf{r}_{\mathbf{\text{ki}}}\mathbf{r}_{\mathbf{\text{kj}}}}$

W wyniku otrzymamy tabelę wtórną

R	NA^TL	N	NA^T
	$${\hat{\mathbf{V}}}^{\mathbf{T}}\hat{\mathbf{V}}$$	$${\hat{\mathbf{x}}}^{\mathbf{T}}$$	$${\hat{\mathbf{V}}}^{\mathbf{T}}$$

Zdecydowana większość obliczeń we wzorach roboczych to sumy iloczynów elementów kolumn

DOWÓD - ponieważ z założenia rozkładu R^TR=A^TA

to (A^TA)⁻¹=(R^TR)⁻¹=R⁻¹(R^T)⁻¹=N^TN=N × N

stąd rozwiązania wyznaczymy ze wzorów ${\hat{\mathbf{V}}}^{\mathbf{T}}\hat{\mathbf{V}}\mathbf{=}\mathbf{L}^{\mathbf{T}}\mathbf{L -}\mathbf{L}^{\mathbf{T}}{\mathbf{A}\left( \mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{A} \right)}^{\mathbf{- 1}}\mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{L =}\mathbf{L}^{\mathbf{T}}\mathbf{L -}\mathbf{L}^{\mathbf{T}}\mathbf{A}\mathbf{N}^{\mathbf{T}}\mathbf{N}\mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{L =}\mathbf{L}^{\mathbf{T}}\mathbf{L -}\left( \mathbf{N}\mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{L} \right)\mathbf{\times}\left( \mathbf{N}\mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{L} \right)$

${\hat{\mathbf{x}}}^{\mathbf{T}}\mathbf{= -}\mathbf{L}^{\mathbf{T}}\mathbf{A}\left( \mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{A} \right)^{\mathbf{- 1}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{L}^{\mathbf{T}}\mathbf{A}\mathbf{N}^{\mathbf{T}}\mathbf{N =}\left( \mathbf{\text{NA}}^{\mathbf{T}}\mathbf{L} \right)^{\mathbf{T}}\mathbf{N = 0 -}\left( \mathbf{\text{NA}}^{\mathbf{T}}\mathbf{L} \right)\mathbf{\times N}$

${\hat{\mathbf{V}}}^{\mathbf{T}}\mathbf{=}\mathbf{L}^{\mathbf{T}}\mathbf{+}{\hat{\mathbf{x}}}^{\mathbf{T}}\mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{=}\mathbf{L}^{\mathbf{T}}\mathbf{-}\mathbf{L}^{\mathbf{T}}\mathbf{A}\mathbf{N}^{\mathbf{T}}\mathbf{N}\mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{=}\mathbf{L}^{\mathbf{T}}\mathbf{-}\left( \mathbf{\text{NA}}^{\mathbf{T}}\mathbf{L} \right)^{\mathbf{T}}\mathbf{N}\mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{=}\mathbf{L}^{\mathbf{T}}\mathbf{-}\left( \mathbf{\text{NA}}^{\mathbf{T}}\mathbf{L} \right)\mathbf{\times}\left( \mathbf{N}\mathbf{A}^{\mathbf{T}} \right)$

Iloczyn kolumnowy (krakowianowy) M × N=M^TN

pozwala na proste obliczenie tablic występujących w metodzie najmniejszych kwadratów

V^TV = V × V , A^TA = A × A , A^TL = A × L

a nawet tablic złożonych (macierzy blokowych) tworzących układ równań normalnych

[A,L]^T[A,L] = (A,L) × (A,L)

Zwarty schemat obliczeniowy MNK

Tworzymy tabelę wyjściową w postaci

$\begin{bmatrix} \mathbf{P} \\ \mathbf{D} \\ \end{bmatrix}\mathbf{=}\begin{bmatrix} \begin{matrix} \mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{A} & \mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{L} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \mathbf{I} & \mathbf{A}^{\mathbf{T}} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \mathbf{L}^{\mathbf{T}}\mathbf{A} & \mathbf{L}^{\mathbf{T}}\mathbf{L} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \mathbf{0} & \mathbf{L}^{\mathbf{T}} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$

Tabelę wtórną

$\begin{bmatrix} \mathbf{U} \\ \mathbf{Q} \\ \end{bmatrix}\mathbf{=}\begin{bmatrix} \begin{matrix} \mathbf{R} & \mathbf{W} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \mathbf{N} & \mathbf{\text{NA}}^{\mathbf{T}} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \mathbf{0} & {\hat{\mathbf{V}}}^{\mathbf{T}}\hat{\mathbf{V}} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} {\hat{\mathbf{x}}}^{\mathbf{T}} & {\hat{\mathbf{V}}}^{\mathbf{T}} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$ gdzie R^TR=A^TA,    N=(R^T)⁻¹, W = NA^TL

otrzymamy realizując w początkowych wierszach P algorytm Choleskiego-Banachiewicza stanowiący rozkład macierzy A^TA na czynniki trójkątne A^TA=R^TR według wzorów

$u_{\text{ww}} = \sqrt{p_{\text{ww}} - \sum_{i = 1}^{w - 1}u_{\text{iw}}^{2}}$ $u_{\text{wk}} = \frac{p_{\text{wk}} - \sum_{i = 1}^{w - 1}{u_{\text{iw}}*u_{\text{ik}}}}{u_{\text{ww}}}$

w ten sposób otrzymamy początkowe wiersze tworzące macierz   U = NP

a w dodatkowym wierszu algorytm Gaussa (wzory uproszczone – bez pierwiastkowania i dzielenia)

$q_{\text{ww}} = d_{\text{ww}} - \sum_{i = 1}^{w - 1}u_{\text{iw}}^{2}$ $q_{\text{wk}} = d_{\text{wk}} - \sum_{i = 1}^{w - 1}{u_{\text{iw}}*u_{\text{ik}}}$

( drugi wzór jest wzorem ogólnym bo pierwszy otrzymamy dla k=w)

Otrzymany w ten sposób dodatkowy wiersz

Q=D − L^TA(A^TA)⁻¹P = D−L^TAN^TNP = D−W^TNP = D−W^TU

Zdecydowana większość obliczeń we wzorach roboczych to sumy iloczynów elementów kolumn

DOWÓD - ponieważ z założenia rozkładu R^TR=A^TA

to (A^TA)⁻¹=(R^TR)⁻¹=R⁻¹(R^T)⁻¹=N^TN=N × N

stąd rozwiązania wyznaczymy ze wzorów ${\hat{\mathbf{V}}}^{\mathbf{T}}\hat{\mathbf{V}}\mathbf{=}\mathbf{L}^{\mathbf{T}}\mathbf{L -}\mathbf{L}^{\mathbf{T}}{\mathbf{A}\left( \mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{A} \right)}^{\mathbf{- 1}}\mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{L =}\mathbf{L}^{\mathbf{T}}\mathbf{L -}\mathbf{L}^{\mathbf{T}}\mathbf{A}\mathbf{N}^{\mathbf{T}}\mathbf{N}\mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{L =}\mathbf{L}^{\mathbf{T}}\mathbf{L -}\mathbf{W}^{\mathbf{T}}\mathbf{W =}\mathbf{L}^{\mathbf{T}}\mathbf{L - W}\mathbf{\times}\mathbf{W}$ ${\hat{\mathbf{x}}}^{\mathbf{T}}\mathbf{= -}\mathbf{L}^{\mathbf{T}}\mathbf{A}\left( \mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{A} \right)^{\mathbf{- 1}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{L}^{\mathbf{T}}\mathbf{A}\mathbf{N}^{\mathbf{T}}\mathbf{N = -}\left( \mathbf{\text{NA}}^{\mathbf{T}}\mathbf{L} \right)^{\mathbf{T}}\mathbf{N = -}\mathbf{W}^{\mathbf{T}}\mathbf{N}\mathbf{= 0 - W \times N}$

${\hat{\mathbf{V}}}^{\mathbf{T}}\mathbf{=}\mathbf{L}^{\mathbf{T}}\mathbf{+}{\hat{\mathbf{x}}}^{\mathbf{T}}\mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{=}\mathbf{L}^{\mathbf{T}}\mathbf{-}\mathbf{L}^{\mathbf{T}}\mathbf{A}\mathbf{N}^{\mathbf{T}}\mathbf{N}\mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{=}\mathbf{L}^{\mathbf{T}}\mathbf{-}\mathbf{W}^{\mathbf{T}}\mathbf{N}\mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{=}\mathbf{L}^{\mathbf{T}}\mathbf{-}\mathbf{W}\mathbf{\times}\left( \mathbf{N}\mathbf{A}^{\mathbf{T}} \right)$

Obliczymy charakterystyki dokładnościowe wielkości wyrównanych

$$\mathbf{\text{Cov}}\left( \hat{\mathbf{x}}\mathbf{,}\hat{\mathbf{x}} \right) = \left( \mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{A} \right)^{\mathbf{- 1}}\mathbf{=}\mathbf{N}^{\mathbf{T}}\mathbf{N}\mathbf{= N \times N}$$

$$\mathbf{\text{Cov}}\left( \hat{\mathbf{v}}\mathbf{,}\hat{\mathbf{v}} \right)\mathbf{=}{\mathbf{I - A}\left( \mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{A} \right)}^{\mathbf{- 1}}\mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{=}\mathbf{I} - \left( \mathbf{\text{NA}}^{\mathbf{T}} \right)\mathbf{\times}\left( \mathbf{N}\mathbf{A}^{\mathbf{T}} \right)$$

Wielkości te można obliczyć na podstawie elementów tabeli wtórnej tworzących macierz U

Najczęściej ograniczamy się do wariancji które wymagają tylko obliczenia sum kwadratów elementów odpowiednich kolumn macierzy U

$$\mathbf{\sigma}^{\mathbf{2}}\left( {\hat{\mathbf{x}}}_{\mathbf{i}} \right)\mathbf{=}\sum_{w = 1}^{n}N_{\text{wi}}^{2}$$

$\mathbf{\sigma}^{\mathbf{2}}\left( {\hat{\mathbf{v}}}_{\mathbf{i}} \right)\mathbf{=}\mathbf{1 -}\sum_{w = 1}^{n}\left( \mathbf{N}\mathbf{A}^{\mathbf{T}} \right)_{\text{wi}}^{2}$obserwacjiśc wysokościyrównanycherwotnejości punktów wyznaczanychących na przekątnej głównej.

Przykład

Wyrównanie ciągu niwelacyjnego o punktach wyznaczanych 11 i 12, nawiązanego do reperów 101,102 (tabela1) i składającego się z 3 przewyższeń pomierzonych z różną dokładnością (tabela 2).

Czynności 1-6 identyczne jak w ujęciu macierzowym

Czynność 7. Zestawienia tabeli pierwotnej z dodatkowym wierszem

Równania normalne	Macierz jednostkowa	Transponowane równania poprawek	- suma
dh11	dh12	l	dh11
125	-25	0,00	1
-25	125	-24,00	0
0,00	-24,00	5,76	0,00

Czynność 8. Obliczenie tabeli wtórnej z dodatkowym wierszem

Równania normalne	Macierz jednostkowa	Transponowane równania poprawek	- suma	kontrola
dh11	dh12	l	dh11	dh12
11,18	-2,24	0,00	0,09	0,00
	10,95	-2,19	0,02	0,09
		0,96	0,04	0,20

Czynność 9. Obliczenie wysokości wyrównanych

Np.	Nr obs.	Hprzybl	dh	Hwyr
11	1	9,79	0,04	9,83
12	2	9,83	0,20	10,03

Czynność 10. Obliczenie obserwacji wyrównanych i kontrola ostateczna

Lp	P	K	ΔΗ	σ	Hp-Hk	V	v	obs+v	Hk-Hp	kontrola
1	101	11	-0,32	0,1	-0,32	0,40	0,04	-0,28	-0,28	0,00
2	11	12	0,04	0,2	0,04	0,80	0,16	0,20	0,20	0,00
3	12	102	0,15	0,1	0,39	0,40	0,04	0,19	0,19	0,00