Wykład 11 Wyrównanie nieliniowe i odporne ROBUST

Niezawodność

Zadanie optymalizacji (SOLVER)

• Funcja celu E=v^TC⁻¹v gdzie v=L^adj−L^obs

W szczególności dla obserwacji niezależnych $\mathbf{E =}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\left( \frac{\mathbf{v}_{\mathbf{i}}}{\mathbf{\sigma}_{\mathbf{i}}} \right)^{\mathbf{2}}$

a dla jednakowo dokładnych $\mathbf{E =}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\mathbf{v}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{2}}$

• Zadanie z ograniczeniami

min E(V) przy czym W(L)=0 w szczególności BV = w

• Zadanie bez ograniczeń

min E(X)=v^TC⁻¹v gdzie v(X)=L(X)−L^obs

w szczegolnosci V = Ax + L E=V^TV=x^TA^TAx + 2x^TA^TL+L^TL

Wyrównanie odporne na błędy grube (Robust) – manipulowanie wagami (dokładnością obserwacji)

Zmodyfikowana funkcja celu $\mathbf{E =}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{p}\left( \mathbf{V}_{\mathbf{i}} \right)\mathbf{*}\mathbf{V}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{2}}}$

gdzie poprawki standaryzowane $\mathbf{V}_{\mathbf{i}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{v}_{\mathbf{i}}}{\mathbf{\sigma}_{\mathbf{i}}}$

Funkcje tłumienia (wagowe) p(V)

„Black and White” $\mathbf{p}\left( \mathbf{V} \right)\mathbf{=}\left\{ \begin{matrix} \mathbf{\ \ 1\ \ dla\ }\left| \mathbf{V} \right|\mathbf{<}\mathbf{V}_{\mathbf{\text{graniczne}}}\mathbf{= 3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \mathbf{0\ \ w\ przeciwnym\ przypadku} \\ \end{matrix}\mathbf{\text{\ \ \ \ }} \right\}$

Gaussa p(V)=e^−V2/2

Problemy z inicjacją iteracji – przykład na średniej

Obserwacje jednakowo dokładne σ = 1 : 200, 110, 111, 112

Start x=200 “dobra” tylko obserwacja 200 x^wyr=200

Start x=110 “dobre” 110, 111, 112 x^wyr=111

Rozwiązaniem jest Start od wyrównania klasycznego – które praktycznie przesądza dyskwalifikacji obserwacji odstających

Niezawodność – możliwość wykrycia i identyfikacji błędu grubego

V = R L

R = I − A(A^TA)⁻¹A^T

R = R²

trace R = n − u

0 ≤ R_ii ≤ 1

Symulujemy tylko jeden błąd w k-tej obserwacji

$$L_{i} = \begin{Bmatrix} e\ \ dla\ \ i = k \\ 0\ \ \ dla\ i \neq k \\ \end{Bmatrix}$$

$$L = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{matrix} \\ e \\ \begin{matrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$$

V = R L = [e R_ie]

W szczególności V_k = e R_kk

Ponieważ 0 ≤ R_kk ≤ 1 to

• Dla obserwacji niekontrolowanej (np. w ciągu wiszącym, w konstrukcji jednoznacznej)

R_kk = 0      V_k = 0  

• Dla obserwacji kontrolowanej stałą (np. odległość punktów stałych)

R_kk = 1      V_k = e  

• Jeśli |R_kk|>1/2 to większość zaburzenia e oddziałuje na macierzystą obserwację, czyli błąd w obserwacji odbije się w jej poprawce

Function NormKatGrad01(srodek, kat)

Dim low As Double, up As Double, res As Double

low = (srodek - 1) * 200: up = low + 400: res = kat

Do While res >= up: res = res - 400: Loop

Do While res < low: res = res + 400: Loop

NormKatGrad01 = res

End Function

Function Oprz(c, l, p, wykazNXYK) 'range

Dim xa As Double, ya As Double, xb As Double, yb As Double

Dim a1 As Double, ko As Double, ro As Double, kom As Variant

ro = 200 / WorksheetFunction.pi()

On Error GoTo blad

kom = c

xa = WorksheetFunction.VLookup(c, wykazNXYK, 2, False)

ya = WorksheetFunction.VLookup(c, wykazNXYK, 3, False)

kom = l

xb = WorksheetFunction.VLookup(l, wykazNXYK, 2, False)

yb = WorksheetFunction.VLookup(l, wykazNXYK, 3, False)

If p = 0 Then Oprz = Sqr((xb - xa) ^ 2 + (yb - ya) ^ 2): Exit Function

kom = p: a1 = WorksheetFunction.Atan2(xb - xa, yb - ya) * ro

Select Case p

Case Is = -1: ko = a1 - WorksheetFunction.VLookup(c, wykazNXYK, 4, False)

Case Is = -2: ko = a1 - WorksheetFunction.VLookup(c, wykazNXYK, 5, False)

Case Else

xb = WorksheetFunction.VLookup(p, wykazNXYK, 2, False)

yb = WorksheetFunction.VLookup(p, wykazNXYK, 3, False)

ko = WorksheetFunction.Atan2(xb - xa, yb - ya) * ro - a1

End Select

Oprz = NormKatGrad01(1, ko) ' * ro

Exit Function

blad: MsgBox ("Oprz CLP " & c & "," & l & "," & p & " ?? " & kom)

End Function