Piotr Łoza 12. 02. 2012

ETI I, gr. 6

Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu.

Część teoretyczna:

Rozchodzenie się dźwięku jest ruchem fali mechanicznej i może mieć miejsce tylko w ośrodku sprężystym.

Jeżeli pewien element ośrodka, którego cząstki są ze sobą wzajemnie związane, pobudzimy do drgań, wówczas energia drgań tego elementu będzie przekazywana do punktów sąsiednich i wywoła w nich drgania.

Proces rozchodzenia się drgań nazywamy falą. Charakter fali rozchodzącej się w ośrodku zależy od jego właściwości sprężystych.

Najczęściej spotykanym ruchem drgającym jest ruch harmoniczny, w którym wychylenie y zmienia się w czasie t wg. równania:

A-amplituda, ω-częstość kołowa, - faza początkowa

Faza początkowa określa stan ruchu w chwili t=0 i jest obierana w dowolny sposób. Jeżeli fala biegnie w kierunku osi x, wówczas kolejne punkty ośrodka pobudzane są do drgań i osiągają tę samą fazę z pewnym opóźnieniem. Prędkość przesuwania się wychylenia(zaburzenia)o stałej fazie jest prędkością rozchodzenia się fali.

Wychylenie y dowolnej cząstki w chwili t, w odległości x od źródła drgań opisane jest funkcją falową :

- liczba falowa, - długość fali, - faza w punkcie x=0 i w chwili t=0.

Równanie fali jest podwójnie okresowe: względem czasu i przestrzeni. Przy ustalonej wartości x opisuje ono drgania cząstki wokół położenia równowagi - drgania te są periodyczne z okresem T. Ustalając w poprzednim równaniu czas otrzymujemy zależność wychylenia cząstek od ich położenia w określonej chwili - zależność ta przedstawia kształt fali. Odległość między najbliższymi punktami posiadającymi tę samą fazę nazywamy długością fali.

Związek między długością i okresem jest prędkością fali:

Prędkość fali w powietrzu:

Ogólne wyrażenie określające prędkość rozchodzenia się fal podłużnych w ośrodku ciągłym ma postać:

(1)

E- moduł Younga ośrodka, - jego gęstość.

Przekształcając podstawową postać prawa Hooke’a możemy napisać:

(2)

i oznaczają odpowiednio różniczkowe zmiany ciśnienia i objętości gazu o objętości V.

Drgania dźwiękowe zachodzą tak szybko, że ściskanie i rozrzedzanie gazu można uważać za procesy adiabatyczne, wobec czego zmiana stanu gazu zachodzi zgodnie ze wzorem Poissona:

- jest stosunkiem ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu do ciepła właściwego przy stałej objętości.

Różniczkując powyższy wzór otrzymujemy:

Podstawiając uzyskaną wartość do równania (2), a następnie uwzględniając otrzymaną w ten sposób postać modułu Younga w równaniu (1), wyrażamy prędkość fali podłużnej wzorem:

(3)

Stosując równanie stanu gazu doskonałego we wzorze na gęstość otrzymamy:

n - ilość moli gazu, R - stała gazowa, T - temperatura.

n można wyrazić jako stosunek całej masy gazu m do masy 1 mola µ : n = m / µ.

Uwzględniają powyższe w ostatnim równaniu wstawiamy do równania (3) i otrzymujemy wzór określający prędkość dźwięku w zależności od rodzaju gazu i temperatury:

(4)

Pomiary i obliczenia:

Aby obliczyć prędkość skorzystam ze wzoru :

λ - długość fali , f – częstotliwość drgań kamertonu (435Hz), t – temperatura otoczenia

Lp.	λi [m]	λ=$\frac{\sum\lambda i}{10}$ [m]	t [^oC]	Vo [m/s]
1	0.80	0.767	22	319.883
2	0.72
3	0.72
4	0.79
5	0.74
6	0.78
7	0.76
8	0.79
9	0.78
10	0.79

Wartość średnia prędkości dźwięku:

Odchylenie standardowe średniej: S_v= $\sqrt{\frac{\mathbf{\sum}\mathbf{(x - xi)}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{(n - 1)}}}$

Po zaokrągleniu:

Wnioski:

Wyznaczona doświadczalnie średnia prędkość dźwięku w powietrzu wynosi: Przyczyną różnic pomiędzy tablicową wartością dźwięku w powietrzu a wyznaczoną w doświadczeniu może wynikać z niedokładności pomiaru odległości(zwykła linijka) oraz z indywidualnych własności ucha obserwatora.