Gralewski

Zbadać stabilność układu zakmniętego

$$G_{1}(s) = \frac{4}{s + 3}\text{\ \ \ \ \ \ \ }G_{2}(s) = \frac{3}{s + 3}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }G_{3}(s) = \frac{9}{s + 1}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ }G_{4}(s) = \frac{3}{s}$$

$$G_{z}(s) = \frac{\frac{G_{1}(s)}{1 + G_{1}(s)}*\left( G_{2}(s) + \frac{G_{3}(s)}{G_{1}(s)} \right)}{1 + \left\lbrack \frac{G_{1}(s)}{1 + G_{1}(s)}*\left( G_{2}(s) + \frac{G_{3}(s)}{G_{1}(s)} \right) \right\rbrack*G_{4}(s)}$$

$$G_{z}\left( s \right) = \frac{\frac{\frac{4}{s + 3}}{1 + \frac{4}{s + 3}}*\left( \frac{3}{s + 3} + \frac{\frac{9}{s + 1}}{\frac{4}{s + 3}} \right)}{1 + \left\lbrack \frac{\frac{4}{s + 3}}{1 + \frac{4}{s + 3}}*\left( \frac{3}{s + 3} + \frac{\frac{9}{s + 1}}{\frac{4}{s + 3}} \right) \right\rbrack*\frac{3}{s}} = \frac{\frac{\frac{4}{s + 3}}{\frac{s + 7}{s + 3}}*\left( \frac{3}{s + 3} + \frac{9\left( s + 3 \right)}{4\left( s + 1 \right)} \right)}{1 + \frac{\frac{4}{s + 3}}{\frac{s + 7}{s + 3}}*\left( \frac{3}{s + 3} + \frac{9\left( s + 3 \right)}{4\left( s + 1 \right)} \right)*\frac{3}{s}} = \frac{\frac{4}{s + 7}*\frac{27s(}{4\left( s + 4 \right)}}{1 + \frac{4}{s + 7}*\frac{27s(}{\left( s + 4 \right)}*\frac{3}{s}} = \frac{\frac{27}{\left( s + 4 \right)*\left( s + 7 \right)}}{1 + \frac{81}{s*\left( s + 4 \right)*\left( s + 7 \right)}} = \frac{\frac{\ 27}{\left( s + 4 \right)*\left( s + 7 \right)}}{\frac{s^{3} + 11s^{2} + 28s + 81}{s*\left( s + 4 \right)*\left( s + 7 \right)}} = \frac{27s}{s^{3} + 11s^{2} + 28s + 81}\ $$

$$G_{z}(s) = \frac{27s}{s^{3} + 11s^{2} + 28s + 81}$$

Badamy stabilność układu

$$G_{z}\left( s \right) = \frac{L\left( s \right)}{M(s)} = \frac{L(s)}{s^{3} + 11s^{2} + 28s + 81}$$

M(s) =  s³ + 11s² + 28s + 81

Badamy czy układ jest stabilny za pomocą reguły Hurwitza
1.
Wszystkie podwyznaczniki M(s) muszą istnieć i mieć taki sam znak
a₃=1
a₂=11
a₁=28
a₀=81
a₀,a₁,a₂,a_3, a₄ > 0
warunek konieczny jest spełniony zatem obliczamy warunek wystarczający

2. Wszystkie wyznaczniki Δ­_i muszą być większe od zera aby układ był stabilny

Δ₁=a₁=28

Δ₂=

a1	a0
a3	a4

28	81
1	11

Δ₂= 227


Δ_i >0 zatem układ jest stabilny


Zbadać własności dynamiczne układu nieliniowego przedstawionego na rys.

$${x\left( t \right) = Asin\omega t\backslash n}{B = 2\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ G}\left( s \right) = \frac{5}{s\left( 10 + s \right)(1 + 10s)} = \frac{5}{10s^{3} + 101s^{2} + 10s}\backslash n}{I = \frac{4B}{\text{πA}}\backslash n}{k\left( s \right) = G\left( s \right)*I\left( A \right)\backslash n}{G_{z} = \frac{I\left( A \right)G\left( s \right)}{1 + I\left( A \right)G\left( s \right)}\backslash n}$$