Zaliczenie przedmiotu – zasady:

1. Konwersatorium przynajmniej na dst.

2. Egz pisemny(test) – ostatnie spotkanie – 23.05

3. Jedna ustna poprawka na dyżurze: 23.06

4. Zaliczenie obowiązuje wszystkich studentów.

Jeśli z egzaminu z wykładów 3, a z konwersatorium jest 5 to podnosi to ocenę z wykładów, czyli jest 3+.

Jeśli z egzaminu z wykładów 3+, a z konwersatorium 5 to ocena z wykładów wynosi: 4.

1. Szczegóły dot. Zaliczenia:

2. http://www.staff.amu.edu.pl/~pewka/dyd3w/zal.html

1. Klasyczny rachunek zdań

1. Klasyczny rachunek zdań – to najprostszy system logiki formalnej służący do sprawdzania poprawności wnioskowań, czyli takich procesów myśleniowych, podczas których na podstawie uznania za prawdziwe jednych zadań (przesłanek) dochodzimy do uznania kolejnego zdania (wniosku)

2. Zdanie w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest prawdziwe lub fałszywe

3. Prawdę i fałsz nazywamy wartościami logicznymi . Prawdę oznaczamy symbolem 1, a fałsz symbolem 0

4. Logika, która opiera się na złażeniu, że zdanie w sensie logicznym posiada dokładnie tylko jedną z tych 2 wartości logicznych nazywa się logika dwuwartościową lub logiką klasyczną

5. Zdania proste – zdanie nie powstałe z innych zdań za pomocą spójników zdaniowych. Np. Marysia dostanie chomika (nie występują spójniki)

6. Zdania złożone – zdania powstałe z innego zdania (lub z innych zda n) za pomoc a jednego ze spójników zdaniowych np. Marysia dostanie chomika lub świnkę morską

7. Zmienne zdaniowe p, q, r, s (lub z indeksem p1, p2 reprezentują dowolne zdania

8. Spójniki logiczne (in. Funktory) służą do konstrukcji zdań logicznych (KONIECZNIE DO ZALICZENIA TESTU)

1. Zdania p i q nazywamy argumentami spójników.

2. Wyróżniamy 5 podstawowych spójników logicznych.

3. Schematy zdań (in. Formuły zdaniowe, formuły KRZ) to wyrażenia poprawnie zbudowane ze zmiennych zadaniowych za pomoc a spójników logicznych

4. W formułach zawierających kilka spójników stosujemy nawiasy, żeby jednoznacznie określić argumenty każdego spójnika

1. POPRZEDNIK I NASTĘPNIK WYSTĘPUJE WYŁĄCZNIE PRZY IMPLIKACJI (test!)

1. Przykłady

• Zygmunt jest filozofem, z Grzegorz biznesmenem.

p∧q

• Jeżeli przeczytam podręcznik lub będę chodził na wykłady, to bez trudu zdam egzamin.

(p∨q) -> r

Nawiasy pokazują, że zdania oznaczone zmiennymi p oraz q tworzą pewną całość i dopiero wzięte razem stanowią poprzednik implikacji. Implikacja pełni w tym schemacie rolę spójnika głównego – łączy wyrażenie w nawiasie ze zmienną r.

• Nieprawda, że jeśli dopadnę drania, to od razu się z nim policzę.

~(p -> q)

Nawiasy są konieczne, aby pokazać, że negacja jest tu spójnikiem głównym i odnosi się do całej implikacji.

• Nie jest prawdą, ze jeśli skończę studia i prestiżowy kurs językowy, to znajdę dobrze płatną pracę.

~[(p∧q) -> r]

Nawias kwadratowy wskazuje, że negacja odnosi się do całego zdania złożonego i pełni rolę spójnika głównego. Natomiast nawias okrągły pokazuje iż zdania p oraz q dopiero razem wzięte stanowią poprzednik implikacji.

Jest to przykład zdania, w którym występuje większa ilość nawiasów – wskazują one hierarchię wyrażeń.

• Wiesław zostanie ministrem kultury lub przemysłu ciężkiego.

p∨q

p – W. zostanie ministrem kultury

q – W. zostanie ministrem przemysłu ciężkiego

Uwaga! Napisanie, że ozn. „przemysłu ciężkiego”, albo „przemysł ciężki” to BŁĄD!

Q to zmienna zdaniowa, a więc zastępuje ona zdanie.

1. Schemat, w którym nawiasy nie wskazują jednoznacznie głównego spójnika, jest wieloznaczny (dopuszcza różne możliwości interpretacji). Takie wieloznaczne wyrażenia noszą nazwę amifobolii.

2. Napisanie schematu będącego amfibolią traktowane jest jako błąd logiczny. Określa się go mianem amfibologii.

3. Przykłady: p ∨ q r może być rumiany jak: implikacja (p ∨ q) r bądź alternatywa p ∨ (q r)

4. Zdania: Oskarżony zakopał łuk wraz z teściową. Jan zakopał skarb wraz z żoną i teściową. W księgarni Alicji zrobiło się duszno.

5. Tabelka zero-jedynkowe (in. Matryce logiczne) służą do określania prawdziwości lub fałszywości zdań zawierających spójniki logiczne.

Spójnik negacji jest jednoargumentowy, pozostałe spójniki są dwuargumentowe

Negacja zdania prawdziwego jest zdaniem fałszywym.

Negacja zdania fałszywego jest zdaniem prawdziwym.

Np.; Nieprawda, że Zosia jest brzydka.

1. Koniunkcja – koniunkcja dwóch zdań jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba argumenty są prawdziwe Np. Jan śpi i chrapie

1. Alternatywa – alternatywa dwóch zdań jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej 1 argument jest prawdziwy np. Kupię książkę lub gazetę.

1. Implikacja – Implikacja dwóch zdań (zdanie warunkowe) jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy poprzednik jest prawdziwy, a następnik jest fałszywy. Np. Jeśli Agnieszka zobaczy Ryszarda w tym stanie, to będzie rozczarowana.

1. Równoważność – równoważność dwóch zdań jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba argumenty mają tę samą wartość logiczną. Np. Prostokąt ma 4 boki wtedy i tylko wtedy, gdy Warszawa jest stolicą Polski

1. Zastosowanie tabelek – przykład:

Ustalenie wartości logicznej zdania

Tabelki pozwalają jednocześnie stwierdzić czy zdanie złożone jest prawdziwe, czy fałszywe (niezależnie od jego długości), gdy tylko znamy wartości logiczne wchodzących w jego skład zdań prostych.

Wartość logiczną całego zdania reprezentuje symbol umieszczony pod głównym spójnikiem schematu, a więc pod implikacją.

Obliczamy wartość logiczna zdania:

p -> (q ∧ r)

przy założeniu, że: zmienne p i q reprezentują zdanie prawdziwe (1), natomiast zmienna r – zdanie fałszywe (0).

Zachodzi sytuacja: p -> (p ∧ r )

1 1 0

Otrzymujemy sytuację(symbole podkreślone pokazują wartości, z których skorzystaliśmy do obliczeń): p -> (q ∧ r)

1. 1 0 0

W tym momencie możemy już określić wartość logiczną całego zdania, sprawdzając w tabelce jaką wartość przyjmuje implikacja, której poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy.

p -> (q ∧ r)

1 0 1 0 0

Ostatecznie widzimy, że całe zdanie jest fałszywe, ponieważ pod głównym spójnikiem otrzymaliśmy wartość 0.

TAUTOLOGIA I KONTRTAUTOLOGIA

1. Tautologia nazywamy formułę KRZ, która przyjmuje wartość logiczną 1 dla każdego wartościowania zmiennych występujących w tej formule, Inaczej jest to schemat zdań wyłącznie prawdziwych (tzw. Takich, które są zawsze prawdziwe niezależnie od wartości logicznych zdań prostych wchodzących w skąd tego schematu)

2. Kontrtautologia – to schemat nietautologiczny, czyli grupa schematów zdań wyłącznie fałszywych (które przyjmują wartość 0 dla każdego wartościowania)

3. Każda negacja kontrtautologii jest tautologią i odwrotnie.

4. Zdanie, które nie jest tautologią nie musi być kontrtautologią

5. Tautologie są prawami logicznymi rachunku zdań.

6. Przykłady tautologii – Prawa rachunku zdań (1 prawo de Morgana, 2 prawo de Morgana i prawo transpozycji – NA PAMIĘĆ)

1. Sprawdzanie statusu formuł – metoda zero-jedynkowa

Służy do badania formuł i pozwala na udzielenie odpowiedzi, czy dana formuła jest tautologią, kontrtautologią czy żadną z nich.

W tym celu posłużymy się tabelkami zero-jedynkowymi.

Ogólna idea metody zero-jedynkowej polega na zbudowaniu tabelki, w której w dwóch pierwszych kolumnach wypisane zostaną wszystkie możliwości wartości logicznych zmiennych p i q, a w następnych kolumnach będą oceniane wartość formuł, będących członami badanej formuły.

Przykład formuły:

p	q	p∧q	p∨q	(p∧q) -> (p∨q)
1	1	1	1	1
1	0	0	1	1
0	1	0	1	1
0	0	0	0	1

Ponieważ w ostatniej kolumnie znajdują się same wartości 1 (odp. Prawdziwe), to powyższa formuła jest tautologią.

1. Idea metody nie wprost:

• Zakładamy, że formuła nie jest tautologią

• Jeżeli uzyskamy sprzeczność to znaczy że formuła jest tautologią

1. Wynikanie logiczne

1. Wynikanie z jednego zdania drugiego zdania oznacza, ze prawdziwość pierwszego zdania pociąga za sobą prawdziwość drugiego zdania.

2. Zdanie B wynika logicznie ze zdania A gdy spełnione są dwa warunki:

1. Zdanie postaci Jeśli A to B jest prawdziwe

2. Pomiędzy zdaniami A i B zachodzi związek o charakterze logicznym gwarantujący to, że prawdziwość zdania A pociąga za sobą prawdziwość zdania B.

Zdanie A – racja logiczna

Zdanie B – zastępstwo logiczne

Jeżeli nie istnieją studenci będący milionerami, to żaden student nie jest milionerem.

Jeżeli Antek ma skrzypce t Antek ma flet, to Antek ma flet.

1. (Egz) Prawda logiczna (zdanie logiczne prawdziwe) to zdanie, którego schematem jest tautologia

2. (Egz) Fałsz logiczny (zdanie logicznie fałszywe) to zdanie, którego schematem jest kontrtautologią.

3. (Egz) Zdanie B wynika logicznie ze zdania A wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie postaci A->B (jeżeli A to B) jest prawdą logiczną

4. Aby sprawdzić, czy zdanie B wynika logicznie ze zdania A, należy sprawdzić czy formuła S(A) -> A(B) (gdzie S(A), S(B) to schematy zdań A i B) jest tautologią

5. Sprawdzanie czy z jednego zdania logicznie wynika drugie zdanie

1. Zdania logiczne zapisujemy za pomocą schematów zdań

2. Budujemy formułę łącząc implikacja schematy zdań: zdanie A -> zdanie B

3. Korzystamy z metody zero-jedynkowej aby sprawdzić czy formuła jest tautologią. Jeżeli formuła jest tautologią to ze zdania pierwszego wynika logicznie zdanie drugie.

1. W ogólnym przypadku możemy też mówić o wynikaniu zdania ze zbioru zdań.

Przykład:

Ze zbioru zdań

{Ania idzie na wykład, Jeśli A. idzie na wykład, to A jest studentką, Jeśli Ania jest studentką, to A ma indeks}

Wynika logiczne zdanie:

Ania ma indeks.

1. Zdania A i B są logicznie równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie postaci A wtedy i tylko wtedy, gdy B jest prawdą logiczną (lub inaczej, gdy formuła S(A) <-> S(B) jest tautologia).

2. Logiczna równoważność dwóch zdań oznacza, ze każde z nich wynika logicznie z drugiego.

Nieprawda, że świat jest zarazem celowy i nieskończony <-> Jeśli świat jest celowy, to nie jest nieskończony.

1. Wnioskowanie dedukcyjne

1. Wnioskowanie: proces myślowy (rozumowanie) w którym od uznania pewnych zdań (zwanych przesłankami) dochodzi się do uznania kolejnego zdania (wniosku)

Wnioskowanie w którym wniosek wynika logicznie z przesłanek, nazywa się wnioskowaniem dedukcyjnym.

Wnioskowanie jest niezawodne wtedy i tylko wtedy, gdy prawdziwość przesłanek stanowi

1. Logiczne wynikanie zapisujemy też w postaci schematów wnioskowania:

A1,A2,…,An A1

__________ Lub A2

B ..

An

__________

B

Formuły A1,A2,…An – przesłanki

Formuła - wniosek

Schemat wnioskowania nazywamy logiczną regułą wnioskowania KRZ, jeżeli wniosek logicznie wynika z przesłanek (tzn, ze zbioru przesłanek)

1. Schemat wnioskowania jest niezawodny wtedy i tylko wtedy, gdy wniosek wynika logicznie z przesłanek. Schemat nazywamy zawodnym, gdy nie jest niezawodny.

Wnioskowanie dedukcyjne jest niezawodne.

Schematy wnioskowań – przykłady:

Jeżeli Jaś kocha Małgosię, to przynosi jej dużo kwiatów. >przesłanki

Jaś kocha M.

Zatem, Jaś przynosi Małgosi dużo kwiatów. >

Jeśli W. dostał wypłatę to jest w barze u Zenka.

Wacka nie ma w barze.

Zatem W. nie dostał wypłaty.

p->(q v r), ~q

___________

~q

1. Błędy popełniane przy wnioskowaniach

1. Błąd formalny – popełniamy twierdząc, ze dane wnioskowanie jest dedukcyjne w sytuacji, gdy schemat tego wnioskowania jest zawodny, tj. gdy wnioskowanie nie wynika logicznie z przesłanek.

Np.;

On ma samochodów lub on ma rower.

Zatem on ma samochodów i on ma rower.

Wnioskowanie, w którym popełniono tego rodzaju błąd, może (choć nie musi) prowadzić od prawdziwych przesłanek do fałszywego wniosku.

1. Błąd materialny – popełniamy, gdy przynajmniej jedna z przesłanek jest fałszywa a mylnie uważana jest za prawdziwą

Np.;

Rekiny są rybami ni delfiny są rybami.

Zatem rekiny są rybami lub delfiny są rybami.

Szczególnym przypadkiem jest tu wnioskowanie ze sprzecznego układu przesłanek. W tym przypadku również wniosek tego wnioskowania może (choć nie musi) być fałszywy.

Układ przesłanek jest sprzeczny, gdy ich koniunkcja jest tautologią.

1. Wnioskowanie entymematyczne (entymemat) – to takie wnioskowanie, w którym pominięte zostały pewne przesłanki uważane za oczywiste lub powszechnie znane.

Te pominięte przesłanki nazywa się przesłankami entymematycznymi.

Np.;

Wieloryb jest ssakiem, zatem nie jest rybą.

To nie jest słodkie, więc to nie jest cukier.

Wnioskowanie redukcyjne – to takie w którym przesłanka ( co najmniej jedna) wynika logicznie z wniosku lub z wniosku i innym przesłanek.

Np.;

Na ulicy jest mokro, zatem padał deszcz.

KLASYCZNY RACHUNEK NAZW

1. Semiotyka – nauka o znakach i ich relacji. Wyróżniamy 3 grupy:

1. Semantyka – znaki i jego znaczenie

2. Syntaktyka – budowa(forma) znaków

3. Pragmatyka – nauka o stosunku jaki zachodzi pomiędzy znakiem a człowiekiem

1. Znak – czynność, której sens polega na zakomunikowaniu komuś czegoś.

1. Własności znaku:

- jest dostrzegalny zmysłowo

- ma nadawcę i odbiorcę

- nadawca udostępnia znak po to, by ten został dostrzeżony oraz by wywołał u odbiorcy myśl o treści ustalonej przez nadawcę

Nadawca i odbiorca znają, dotyczący owego znaku, sposób posługiwania się nim (ustalony w danej społeczności).

1. Język – jest to system obejmujący wyznaczony przez pewne reguły zbiór znaków słownych.

Wyraz czy wyrażenie złożone ma ustalone znaczenie w danym języku, jeśli wśród ludzi mówiących danym językiem istnieje pewien ustalony sposób posługiwania się danym wyrazem czy wyrażeniem jako znakiem.

Wyrażenie – stosunek miedzy znakiem słownym a myślą jego twórcy.

1. Kategorie syntaktyczne – klasa wyrażeń wzajemnie zastępowalnych z zachowaniem gramatyczności.

Dokładnie: wyraz/wyrażenie należy do tej samej kategorii syntaktycznej co inny wyraz/wyrażenie, jeżeli w poprawnie zbudowanym wyrażeniu złożonym jedne z nich można zastępować drugimi, a składność tego wyrażenia złożonego będzie zachowana.

(Egz) Wyróżniamy następujące kategorie syntaktyczne:

• Podstawowe(pierwotne):

- nazwy

- zdania

• Pochodne

-funktory

1. Funktory – wyrażenia, które nie są ani nazwami ani zdaniami a służą do budowania wyrażeń złożonych (co najwyżej dwa argumenty) np.;

Jas kocha Małgosię.

Zielona ławka.

Nieprawda, że Kasia była w kinie.

PODZIAŁ FUNKTORÓW ZE WZGLĘDU NA TO CO TWORZĄ

1. F. nazwotwórcze – tworzą nazwy złożone np.; wysokie drzewo

2. F. zdaniotwórcze – tworzą zdania np.; Piotr śpi i chrapie

3. F. funktorotwórcze – tworzą funktory np.; wtedy i tylko wtedy

PODZIAŁ FUNKTORÓW ZE WZGLĘDU NA TO Z CZEGO TWORZĄ

1. Ilość – wyrażeń wiązanych przez funktor(tzw. Argumentów funktora). Np.: Nieprawda, ze Piotr pisze. Kraków leży nad Wisłą.

2. Kategorię składniową – kolejnych elementów. Np.; Kasia pisze esej i Piotr od niej przepisuje. Piotr wie, że dzisiaj jest piątek.

Wyrażenia, do których w jakimś zdaniu złożonym odnosi się jakiś funktor, nazywają się jego argumentami.

NAZWY

1. Nazwa- wyrażenie służące do oznaczania przedmiotów

2. Wyrażenia mogą być

1. proste np. człowiek, książka

2. złożone – wskazujące na pewien przedmiot np. zły człowiek, nudna ksią

1. Desygnat nazwy – jest to przedmiot oznaczony przez daną nazwę

2. Denotacja (zakres) nazwy – zbiór wszystkich i tylko desygnatów danej nazwy

• Zakresem nazwy książka jest zbiór wszystkich książek

• Zakresem nazwy miasto jest zbiór wszystkich miast

1. Treść nazwy – zbiór ce3ch przysługujących każdemu z jej desygnatów

• Treść nazwy kwadrat: figura płaska, czworoboczna, itp.

1. Klasyfikacja nazw:

1. Podział ze względu na ilość desygnatów:

• Nazwy puste – nie mają żadnego desygnatu (fikcyjne) np. krasnoludek UWAGA! Nazwy puste mają denotację, która jest zbiór pusty. Wszystkie nazwy puste mają tę samą denotację, czyli ten sam zakres

• Nazwy jednostkowe – posiadają dokładnie 1 desygnat np. Słońce

• Nazwa ogólna – maja więcej niż 1 desygnat np. książka

1. Podział ze względu na jednoznaczność (ostrość) zakresu

• Nazwy ostre – nazwy, w przypadku których da się jednoznacznie określić ich zakres, a wiec oddzielić ich desygnaty od przedmiotów nimi nie będących np. minister rządu RP, tautologia

• Nazwy nieostre – nazwy pozostałe, takich których zakres jest wątpliwy, czyli oprócz obiektów na pewno pod daną nazwę podpadających (desygnatów) oraz niewątpliwie niepodpadających (nie-desygnaty) istnieją też i takie, co do których nie bardzo wiadomo, do której grupy je zaliczyć np. piękna kobieta

1. Podział ze względu na sposób istnienia desygnatów:

• Nazwy konkretne – to nazwy dla przedmiotów dla których desygnatów sa przedmiotami materialnymi (zajmuje w miejsce w przestrzeni, można je zobaczyć itp.), lub byłyby takimi, gdyby istniały np. Inteligentny polityk

• Nazwy abstrakcyjne – to wszystkie nazwy nie będące konkretnymi. A więc nazwy uczuć, relacji itp. Zaliczamy tu również nazwy liczb i figur geometrycznych, np. miłość

1. Podział ze względu na sposób wskazywania desygnatów:

• Nazwy indywidualne – imiona własne, nazwiska, nazwy geograficzne itp. Oraz utworzone przez „wskazanie palcem” np. ten oto człowiek, Adam Mickiewicz

• Nazwy generalne – nazwy przysługujące przedmiotom ze względu na jakieś cechy, które tym przedmiotom przypisujemy np. stolica Polski, poeta romantyczny

1. Przykłady: (zdjęcie)

1. Student: ogólna, konkretna, generalna, ostra

2. Obecna stolica Polski: jednostkowa, konkretna, generalna, ostra

3. Obecny król Polski: pusta, konkretna, generalna, ostra

STOSUNKI MIĘDZY ZAKRESAMI NAZW

Stosunek nazwy do jej zakresu nazywa się denotowaniem

Pomiędzy zakresami dowolnych dwóch nazw S i P zachodzi dokładnie jeden z 5 stosunków:

1. Stosunek równoważności (zmienności) zachodzi, gdy zakres nazwy S jest równy zakresowi nazwy P np. dentysta (S) i stomatolog (P)

2. Stosunek nadrzędności S względem P: zakres nazwy S obejmuje zały zakres P np. ssak (S) – pies (P)

3. Stosunek podrzędności S względem P: zakres nazwy S jest częścią właściwą zakresu P np. pies (S) i ssak (P)

4. Stosunek krzyżowania się: zakres nazwy S i P mają wspólne desygnaty bp. Student (S) i sportowiec (P)

5. Stosunek wykluczający się – zakresy nazwy nie posiadają wspólnych desygnatów: ksiązka (S) człowiek (P)