POMIARY MOCY (OBWODY JEDNO- I TRÓJFAZOWE). POMIARY PRĄDÓW I NAPIĘĆ W OBWODACH TRÓJFAZOWYCH

MATERIALY POMOCNICZE

1. Pomiary mocy w obwodzie jednofazowym RL.

W obwodach prądu stałego moc określamy jako iloczyn napięcia i prądu stałego, wobec czego również moc prądu stałego jest niezmienna w czasie. W przypadku prądu zmiennego iloczyn wartości chwilowych napięcia i prądu jako iloczyn wielkości zmiennych w czasie ogólnie biorąc będzie funkcją czasu i nosi nazwę mocy chwilowej.

Przy przebiegach okresowych interesuje nas zazwyczaj wartość średnia mocy chwilowej za okres, którą nazywamy mocą czynną i oznaczamy P:

P = UIcosφ (1)

Moc czynna równa jest iloczynowi wartości skutecznych napięcia i prądu oraz współczynnika mocy cosφ.

W obwodach elektrycznych prądu przemiennego oprócz mocy czynnej występuje także moc bierna będąca iloczynem wartości skutecznych napięcia i prądu oraz sinusa kąta przesunięcia fazowego między prądem i napięciem.

Q = UIsinφ (2)

Moc bierną mierzymy w warach (var).

Iloczyn wartości skutecznych napięcia i prądu sinusoidalnego nazywamy mocą pozorną i oznaczmy S:

S = UI (3)

Jednostką mocy pozornej jest woltoamper (VA).

Moce P,Q,S można przedstawić w postaci trójkąta mocy (rys.1). Wynika z niego, że

$cos\varphi = \frac{P}{S}$ (4)

1. Pomiary prądów, napięć i mocy w obwodach trójfazowych

Obwody trójfazowe

W układach trójfazowych występują trzy przebiegi sinusoidalnie zmienne przesunięte względem siebie o kąt 120°. Przebiegi te można zapisać następująco:

u₁(t) = U_msinωt (5)

$u_{2}\left( t \right) = U_{m}\sin\left( \text{ωt} - \frac{2}{3}\pi \right)$ (6)

$u_{3}\left( t \right) = U_{m}\sin\left( \text{ωt} + \frac{2}{3}\pi \right)$ (7)

Na rysunku 2 przedstawiono sposoby skojarzenia odbiorników w układach trójfazowych.

Rys. 2. Sposoby skojarzenia odbiornika w układach trójfazowych: a) połączenie w gwiazdę, b) połączenie w trójkąt

W przypadku połączenia w gwiazdę (rys.2a) końce poszczególnych faz są zwarte, tworząc tzw. punkt zerowy, a początki faz są wolne. Między początkami faz występują napięcia międzyprzewodowe ₁₂, ₂₃, ₃₁. Wynikają one z różnic geometrycznych poszczególnych napięć fazowych:

₁₂ = _1f − _2f (8)

₂₃ = _2f − _3f (9)

₃₁ = _3f − _1f (10)

Skuteczne wartości napięć międzyprzewodowych obliczmy następująco:

$U_{12} = \sqrt{3}U_{1f}$ (11)

$U_{23} = \sqrt{3}U_{2f}$ (12)

$U_{31} = \sqrt{3}U_{3f}$ (13)

Widać zatem, że skuteczna wartość napięcia międzyprzewodowego U jest związana ze skuteczną wartością napięcia fazowego U_f zależnością:

$U = \sqrt{3}U_{f}$ (14)

Przy połączeniu w gwiazdę prądy w przewodach doprowadzających, tzw. prądy przewodowe I, są równe prądom płynącym w poszczególnych fazach I_f. Zatem dla układu gwiazdowego (Y) podstawowe zależności można dla wartości skutecznych napisać następująco:

$U = \sqrt{3}U_{f};\ \ \ \ I = I_{f}$ (15)

W przypadku połączenia w trójkąt końce i początki kolejnych faz są ze sobą połączone (rys. 2b). Napięcia międzyprzewodowe U są w tym układzie równe napięciom fazowym U_f:

U = U_f (16)

Zespolone prądy przewodowe stanowią różnicę geometryczną prądów poszczególnych faz. Zatem:

₁ = _1f − _2f (17)

₂ = _2f − _3f (18)

₃ = _3f − _1f (19)

Skuteczne wartości prądów przewodowych obliczmy następująco:

$I_{1} = \sqrt{3}I_{1f}$ (20)

$I_{2} = \sqrt{3}I_{2f}$ (21)

$I_{3} = \sqrt{3}I_{3f}$ (22)

Wartość skuteczna prądu przewodowego I jest powiązana z wartością skuteczną prądu fazowego I_f zależnością:

$I = \sqrt{3}I_{f}$ (23)

Zatem dla układu trójkątnego (D) zawiązki podstawowe można zapisać następująco:

$U = U_{f};\ \ \ \ I = \sqrt{3}I_{f}$ (24)

Na rysunku 3 pokazano wykresy wektorowe dla układu połączonego w gwiazdę i trójkąt.

Rys. 3. Wykresy wektorowe: a) napięć przy połączeniu w gwiazdę, b) prądów przy połączeniu w trójkąt.

Pomiar mocy w obwodach trójfazowych

W przypadku sieci trójfazowej symetrycznej wystarczy dokonać pomiaru mocy w jednej fazie (rys. 4), a następnie wynik pomiaru pomnożyć razy 3 zgodnie z podanym związkiem:

P = 3U_fI_fcosφ (25)

czyli

P = 3P_W (26)

gdzie: P - moc czynna w sieci trójfazowej,

P_W - moc czynna wskazana przez watomierz,

U_f - napięcie fazowe,

I_f - prąd fazowy,

cosφ - współczynnik mocy odbiornika.

Rys. 4. Pomiary mocy czynnej w sieci trójfazowej symetrycznej: a) 4-przewodowej, b) 3-przewodowej z dostępnym punktem zerowym, c) 3-przewodowej bez dostępu punktu zerowego.

Wybór sposobu pomiaru zależy bezpośrednio od rodzaju sieci (sieć 3-przeweodowa, sieć 4-przewodowa). Najwięcej kłopotów sprawia pomiar w sieci 3-przewodowej bez dostępnego punktu zerowego. W takim przypadku można dokonać pomiaru, tworząc tzw. punkt zerowy (rys. 4c) przez dołączenie do poszczególnych faz trzech jednakowych rezystancji połączonych w gwiazdę.

Przy jakiejkolwiek niesymetrii w sieci trójfazowej (najczęściej poprzez niesymetryczny odbiornik) pomiary mocy czynnej należy przeprowadzić z użyciem trzech lub dwóch watomierzy. Metodę trzech watomierzy można zastosować wtedy, gdy dostępny jest przewód zerowy lub punkt zerowy (rys. 5a) lub gdy w sieci 3-przewodowej można utworzyć sztuczny punkt zerowy (rys.5b). Całkowita moc czynna wynosi:

P = P_W1 + P_W2 + P_W3 (27)

gdzie: P_W1, P_W2, P_W3 - wskazania watomierzy

Rys.5. Pomiary mocy czynnej: a) w sieci niesymetrycznej z dostępnym przewodem lub punktem zerowym, b) w sieci 3-przewodowej ze sztucznym zerem.

W sieci 3-przewodowej niesymetrycznej najbardziej uzasadniony jest tzw. układ Arona, złożony z dwóch watomierzy (rys.6). Realizacja układu Arona polega na tym, że cewki prądowe oraz początki cewek napięciowych włącza się w dwie dowolne fazy, a końce cewek napięciowych przyłącza się do fazy pozostałej. Całkowita moc czynna wynosi:

P = P_W1 + P_W2 (27)

gdzie: P_W1, P_W2 - wskazania watomierzy

Rys. 6. Układ Arona do pomiaru mocy czynnej w sieci 3-przewodowej.