KINEMATYKA

Samochód w ciągu 10s może uzyskać prędkość 100km/h. Przyjmując że przyspieszenie jest stałe, oblicz na jakiej drodze samochód osiągnie prędkość 90 km/h…

t = 10s

V = 100km/h = 100*1000/3600 = 27,27m/s

V₀ = 50 km/h = 13,89m/s

V` = 90 km/h = 25m/s

$$a = \frac{V}{t}$$

$$a = \frac{27,28}{10} = 2,778\ m/s^{2\ }$$

$$s = \ s_{0} + \ V_{0}t + \ \frac{at^{2}}{2}$$

s₀ = 0

t =  t₁ −  t₂

$$a = \frac{V}{t}$$

$$a = \frac{25 - 13,89}{t}\ $$

$$a = \frac{11,11}{t}$$

$$t = \frac{11,11}{a}$$

$$t = \frac{11,11}{2,778}$$

t = 3, 99  ≈ 4 s

$$s = \ 0 + \ \left( 13,89 \times 4 \right) + \ \frac{2,778{\times 4}^{2}}{2}$$

s =  55, 56 + 22, 224

s =  77, 784 m

Kolarz przebył trasę 100km ze średnią prędkością 20km/h. Połowę przebył ze średnia prędkością 15kh/h. Z jaką prędkością przebył pozostałą część trasy?

s= 100 km

Vśr = 20 km/h

V1= 15 km/h

V₂=?

s=s₁ + s₂

s₁ = 50 km

s₂ = 50 km

t= t₁ + t₂

$$t = \frac{s}{V_{sr}}$$

$$t = \frac{100\ s}{20}$$

t = 5 h

$$t_{1} = \ \frac{s_{1}}{V_{1}}$$

$$t_{1} = \ \frac{50}{15}$$

t₁ =  3, 33 h

t= t₁ + t₂

t₂ = t - t₁

t₂ = 5h − 3, 33 h

t₂ = 1, 67h

$$V_{2} = \frac{s_{2}}{t_{2}}$$

$$V_{2} = \frac{50}{1,67}$$

V₂ = 29, 94 km/h

odp. kolarz przebył resztę trasy z prędkością 29,94 km/ h .

Po rzece pływa łódka od A do B. Ile razy czas ruchu łódki pod prąd jest dłuższy niż z prądem, jeżeli prędkość rzeki 2m/s, a łódki względem wody 10m/s?

Vr= 2m/s

Vł= 10 /s

V₁ z prądem

t₁ z prądem

V₂ pod prąd

t₂ pod prąd

V₁ = V_l +  V_r

$$V_{1} = 2 + 10 = 12\frac{m}{s}$$

V₂ = V_l −  V_r

$$V_{2} = 8\frac{m}{s}$$

s =  V₁  ×  t₁

s =  V₂  ×  t₂

V₁  ×  t₁ =  V₂  ×  t₂

$$t_{1} = \frac{s}{V_{1}}$$

$$t_{2} = \frac{s}{V_{2}}$$

$$\frac{t_{2}}{t_{1}} = \frac{\frac{s}{V_{2}}}{\frac{s}{V_{1}}} = \ \frac{s}{V_{2}}\ \times \frac{V_{1}}{s} = \ \frac{1}{8}\ \times 12 = 1,5\ $$

odp. Czas ruchu łódki pod prąd jest 1,5 razy dłuższy.

6. Kula opuszcza lufę karabinu o długości 120cm z prędkością 720m/s. Jak duże przyspieszenie wywołuje gaz w lufie i jak długo pocisk pozostaje w lufie?

l=s= 120cm= 1,2m

V= 720 m/s

t₀ = 0

V = V −  V₀

$$a = \frac{V}{t}$$

$$s = \ s_{0} + \ V_{0}t + \ \frac{a{t}^{2}}{2}$$

$$s = \frac{at^{2}}{2}$$

$$a = \frac{V}{t}$$

$$t = \frac{V}{a}$$

$$s = \frac{\frac{V}{t}t^{2}}{2}$$

$$s = \frac{V\ \times t}{2}$$

2s = V × t

$$t = \ \frac{2s}{V}$$

$$t = \ \frac{2 \times 1,2}{720}$$

t =  0, 003333s

$$a = \frac{720m/s}{0,003333} = 216002,16\ m/s^{2}$$

8. Punkt materialny porusza się ruchem prostoliniowym w taki sposób, że jego przyspieszenie wzrasta proporcjonalnie do czasu. W ciągu pierwszych 10s ruchu przyspieszenie wzrosło od zera do 5m/s². Jaka będzie prędkość ruchu punktu materialnego po 10s oraz jaką drogę przebył punkt w tym czasie, jeżeli w chwili t=0 punkt materialny znajdował się w spoczynku?

Wzrost „a” jest proporcjonalny do „t”, a(t) = ½ t.

t₀ = 0,

t₁ = 10 [s],

t₂ = 20 [s],

a = 5 [m/s²]

v_k = ? (prędkość końcowa)

s_k = ? (droga końcowa)

Z funkcji przyspieszenia a(t) = ½ t, można potwierdzić zależność 5(10) = ½ * 10

Prędkość po 10 sekundach od spoczynku będzie wyrażona całką:

ʃ ½ tdt = ¼ t²

¼ * 10² = ¼ * 100 = 25 [m/s]

Wynika z tego że po 10 [s] ruchu ciało osiągnie prędkość 25 [m/s].

ʃ ¼ t² dt = 1/12 t³ |¹⁰₀ = 250 / 3 = 83,(3) [m]

Odp: Ciało po 10 sekundach ruchu zapierdzielało 25 [m/s] i przebyło drogę 83,(3) metra.

DYNAMIKA

1. Wagon o masie 10⁴kg odczepił się od poruszającego się składu pociągu i przebywając jeszcze drogę 20m …..

m=10⁴kg = 10000 kg

s= 20m

t= 20s

g= 10 m/s²

F_T - siła tarcia =?

µ - współczynnik tarca = ?

V₀ =?

F_T =  μ ×  F_n

F =  m ×  a

$$s = \ s_{0} + \ V_{0} - \ \frac{a{t}^{2}}{2}$$

s₀ = 0

V₀t = 0

$$s = \ - \ \frac{a{t}^{2}}{2}$$

2s =   − at² 

$$\frac{2s}{t^{2}} = a$$

$$a = \ \frac{2\ \times 20}{20^{2}} = \frac{40}{400} = \ 0,1\frac{m}{s^{2}}\ $$

F_T =  m ×  a

F_T = 10000  × 0, 1 = 1000 N ←sila tarcia

$$\mu = \frac{F_{T}}{F_{n}}$$

$$\mu = \frac{1000}{10000} = 0,01\ \mathbf{\leftarrow wspolczynnik\ tarcia}$$

$$a = \ \frac{V}{t}$$

V =  t  × a

V = 20  × 0, 1 = 2 m/s² ←predkosc poczatkowa

Odp. Siła tarcia wynosi 1000 N, współczynnik tarcia= 0,01 prędkość początk0wa = 2 m/s²

2. Ciało zsuwa się z równi pochyłej o kącie nachylenia α=45° w ten sposób, że zależność przebytej przez ciało drogi od czasu dana jest równaniem S=A + Bt + Ct² …

W pewnym polu sił równania ruchu cząstki o masie m=0,5kg są następujące: x= 5t² –t, y = 2t³ , z = -3t+2 …..

P(t) = mv(t)v, i,j,k wielkości wektorowe

Px (t) = 0,5 (10t - 1) i

Py(t) = 0,5 * 6t² = 3t² j

Pz(t) = 0,5 * (-3) = -1,5 k

P(t) = px(t) + py(t) + pz(t)

F(t) = ?

F(t) = ma(t)

F(t) = Px (t)i + Py(t)j + Pz(t)k

F(t) = 0,5 * (10 i + 12Tj)

8. Siła napędzająca ciało zmienia się wraz z przesunięciem według wzoru F(x) = D+ Bx + Cx² …..

10. Jaką co do wartości siłą F skierowaną pionowo do góry należy działać na skrzynię o masie m= 50kg umieszczona na równi pochyłej, aby poruszała się ona ruchem jednostajnym w górę? ….

m=50 kg

l = 5m

h = 3m

$$T = \ \frac{\text{mg}}{60}$$

$$T = \ \frac{50 \times 10}{60} = 8,3\ N$$

$$sin\alpha = \frac{h}{l} = \frac{3}{5} = 0,6\ $$

suma sił wzdłuż równi

F − sinα = T + mg  × sinα

$$F = \frac{(T + mg\ \times sin\alpha)}{\text{sinα}}$$

$$F = \frac{(8,3 + 50\ \times 10\ \times 0,6)}{0,6} = 513,83\ N$$

RUCH OBROTOWY

2. Samochód którego koła maja średnicę 76 cm jedzie z prędkością 90 km/h. Obliczyć prędkość kątową kół wokół ich osi. Jakie było przyspieszenie kątowe kół, jeżeli po włączeniu hamulców…

d= 76 cm – średnica koła = 0,76 m

r= 0,76:2 = 0,38 m

V= 90 km/h = 25 m/s

ε= prędkośc kątowa = ?

s_h= droga hamowania=?

⌀ − obwod kola

2πr= 2*3,14*0,38 = 2,3864 – obwód koła ≈2,4

⌀ = 2, 4

s_h= 2πr * 30 = 71,592 ≈ 71,6 m

• Wyliczanie prędkości kątowej

ω = f × 2  ×  π

$$f = \ \frac{V}{\varnothing} = \ \frac{25}{2,4} = 10,42\ Hz$$

$$\omega = 10,42 \times 2\ \times \ 3,14 = 65,4\ \frac{\text{rad}}{s}$$

• Przyspieszenie kątowe

$$\varepsilon = \frac{\omega}{t}$$

$$s = \ \frac{a{t}^{2}}{2}$$

$$a = \frac{V}{t}$$

$$s = \ \frac{\frac{V}{t}{t}^{2}}{2}$$

$$s = \ \frac{Vt}{2}$$

s = V ×  t

$$t = \ \frac{2s}{V}$$

$$t = \ \frac{2\ \times 71,6}{25} = 5,728s$$

$$\varepsilon = \frac{\omega}{t}$$

$$\varepsilon = \frac{65,4}{5,728} = 11,417\frac{\text{rad}}{s^{2}}$$

Odp: Droga hamowania= 71,6m, przyspieszenie kątowe= 11,417 rad/s², prędkość kątowa = 10,42Hz

3.Ciało o promieniu R i masie m toczy się poziomo bez poślizgu z prędkością r. ciało to następnie wtacza się po równi pochyłej nachylonej do poziomu pod kątem α=30° na wysokość h=3v²/4g….

R

m

α=30°

h=3v²/4g

I=?

$$W = \frac{V}{R}$$

$$\frac{IW^{2}}{2} + \ \frac{mV^{2}}{2} = m \times g \times h$$

$$\frac{I\frac{V}{R^{2}}^{2}}{2} + \ \frac{mV^{2}}{2} = m \times g \times \frac{3V^{2}}{4g}$$

$$\frac{I}{R^{2}} + \ m = m \times \frac{3}{2}$$

$\frac{I}{R^{2}} + \ m = \frac{1}{2}m\text{\ \ \ \ }$ / * R²

$I = \frac{1}{2}\ R^{2} \times m = \ \frac{1}{2}\ mR^{2}\ $

moment bezwładności walca

Przez bloczek o masie M i promieniu r przerzucono nieważka nić na końcach której zawieszono masy m1 i m2. Zakładając brak oporów ruchu wyznacz przyspieszenia tych mas.

M

R

m1

m2

a=?

a = ε * R

$$I = \frac{1}{2}MR^{2}$$

m₁a = Q₁ −  F₁

− m₂a = Q₂ −  F₂

Iε = (F₁ −  F₂)R

Q₁ = m₁  × g

Q₂ = m₂  × g

a = (m₁  +  m₂)=Q₁ −  Q₂ − (F₁ − F₂ )

$$F_{1} - F_{2} = \ \frac{\text{Iε}}{R} = \ \frac{\text{Ia}}{R^{2}}$$

$${a(m}_{1\ } + \ m_{2}) + a\ \times \frac{I}{R^{2}} = \ Q_{1} - \ Q_{2}$$

$${a(m}_{1\ } + \ m_{2} + \frac{I}{R^{2}}) = \ Q_{1} - \ Q_{2}$$

$$a = \ \frac{{(m}_{1\ } - \ m_{2}) \times g}{m_{1\ } + \ m_{2} + \ \frac{1}{2}M}$$

8.Łyżwiarz wykonując piruet obraca się z częstotliwością 2s^-1 przy czym jego moment bezwładności względem osi obrotu jest I₀=2kgm². Jak zmieni się jego prędkość kątowa, jeżeli przez rozstawienie rąk zwiększy on swój moment bezwładności do wartości I₁= 2,1kgm²?

DRGANIA I FALE

Jaka prace należy wykonać aby ścisnąć sprężynę zderzakową wagonu o x0=0,05m, jeżeli do ściśnięcia jej o x1= 0,01m …

x₀= 0,05

x₁ = 0,01

F₁ = 3000N

W=?

W = F × s

x₀    −    F₀

x₁    −    F₁

F₀  × x₁ = F₁ × x₀ 

$$F_{0} = \ \frac{F_{1}\ \times x_{0}\ }{x_{1}}$$

$$F_{0} = \ \frac{3000\ \times 0,05\ }{0,01}$$

F₀ =  15000 N

W = 15000 × 0, 05 = 750 J

3.Klocek o masie 2kg spada z wysokości 0,1m na sprężynę o współczynniku sprężystości k=1960N/m…

m= 2kg

h = 0,4 m

k= 1960 N/m

g = 10m/s²

x=?

F =   − kx

$$x = - \frac{F}{k}$$

W = F × s                    s = x

W = F × x

W = −kx²

Ep = W

Ep = mgh

mgh =   −  kx²

$$x^{2} = \ - \ \frac{\text{mgh}}{k}$$

$$x = \ - \sqrt{\ \frac{\text{mgh}}{k}}$$

$$x = \ - \sqrt{\ \frac{2 \times 10 \times 0,4}{1960}} = 0,0638\ m$$

ELEKTROSTATYKA

1.Znajdź odległość od środka kulki metalowej o promieniu r i ładunku q1, gdzie potencjał będzie stanowił 0,1 wartości potencjału na powierzchni lulki.

V₁ powierzchni metalowej kulki

$$V = k\frac{Q}{R}$$

$$V_{1} = k\frac{q_{1}}{r}$$

V₂ = 0, 1V₁

$$k\frac{q_{1}}{r_{2}} = 0,1\ k\ \frac{q_{1}}{r_{1}}$$

$$\frac{1}{r_{2}} = \frac{0,1}{r_{1}}$$

r₂ = 10 r₁

2.Natężenie pola elektrycznego ziemskiego równe jest średnio 130V/m i skierowane w dół. Jakiego przyspieszenia doznaje pyłek masie 10^-7 g, jeśli obdarzony jest ładunkiem…

E=130 V/m

m=10⁻⁷kg

q = 1, 6 * 10⁻¹⁷As

g=9,8 m/s^2

F = mg + Eq

ma  =  mg + Eq

$$a = \frac{g + Eq}{m}$$

$$a = \frac{9,8\ + \ 130*1,6*10^{- 17}}{10^{- 7}} = \ 9,8 + 208*10^{- 10} = 9,8 + 2,08*10^{- 8} = 9,8000000208\ m/s^{2}$$

[Eq/m]= [V/m*As/kg= J/Cm *C/kg= J/mkg= kg m^2/s^2 *1/mkg= m/s^2]

3.Przenosząć ładunek 1C w jednorodnym polu elektrycznym na odległość 5cm równolegle do linii pola wykonało prace 1J. jakie jest natężenie pola?

q=1C

r= 5 cm = 0,5m

W = 1J

E=?

W=Eqr

$$E = \frac{W}{\text{qr}}$$

E= $\frac{1J}{1C\ \times 0,05m} = \mathbf{20}\frac{\mathbf{V}}{\mathbf{m}}$

odp. Natężenie pola wynosi 20V/m

6.Przy przesuwaniu ładunku elektrycznego q= 0,0001C wykonano pracę W=1J. Ile wynosi różnica potencjałów pomiędzy punktem początkowym a końcowym?

q=0,0001C

W=1J

W = q × U

$$U = \ \frac{W}{q} = \ \frac{1J}{0,0001C} = 1000V$$

odp. Różnica potencjałów wynosi 1000V

7.W polu elektrycznym o natężeniu E=10000V/m przemieszcza się ładunek Q=0,0001C. Na jaką odległość został przeniesiony ładunek, jeżeli wykonana została praca 1J?

E=10000V/m

Q=0,0001C

W=1J

W = Eqr

$$r = \frac{W}{E \times q} = \ \frac{1}{10000\ \times 0,0001} = 1m$$

odp. Ładunek zostanie przesunięty na odległość 1m.

MAGNETYZM

1.Po cienkiej rurce o promieniu 5cm płynie prąd 100A. Podaj indukcje pola magnetycznego w środku rurki i na zewnątrz w odległości 5 cm od jej powierzchni. Uzasadnij w oparciu o prawo Ampera.

R=r=5cm = 0,05m

I= 100A

μ₀ − przenikalnosc magnetyczna

μ₀ = 4π  × 10⁻⁷ H/m

Wewnątrz rurki

$$B_{1} = \frac{\mu_{0}\ \times I}{2\ R}$$

$$B_{1} = \frac{4\pi\ \times 10^{- 7}\ \ \times 100}{2\ \times 0,05} = 0,0001256 = 12,56\ \times 10^{- 5}\text{\ T}$$

Indukcja pola na zewnątrz rurki w odległości 5cm

$$B_{2} = \frac{\mu_{0}\ \times I}{2\ \pi r}$$

$$B_{2} = \frac{4\pi\ \times 10^{- 7}\ \ \times 100}{2\ \times 3,14 \times 0,05} = \ 0,00004 = 40\ \times 10^{- 5}\text{\ T}$$

odp. Indukcja pola magnetycznego w środku rurki równa się 12, 56  × 10⁻⁵ T, na zewnątrz w odległości 5cm 40  × 10⁻⁵ T.

3.Oblicz opór drutu platynowego o długości l₁= 0,08m oraz średnicy d₁= 10^-5m, jeśli wiadomo że opór drutu platynowego o długości 1m oraz średnicy d₂ = 10^-3m wynosi R₂=0,5Ω.

l₁= 0,08m l₂= 1m

d₁= 10^-5m d₂ = 10^-3m

R₁=? R₂=0,5Ω

$$R = \rho \times \frac{l}{s}$$

$$R_{1} = \rho \times \frac{l_{1}}{s_{1}}$$

$$R_{2} = \rho \times \frac{l_{2}}{s_{2}}$$

$$s_{2} = \pi r_{2}^{2} = \ \pi\ \left( \frac{d_{2}}{2} \right)^{2}$$

$$R_{2} = \rho\frac{l_{2}}{\pi\left( \frac{d_{2}}{2} \right)^{2}\ }$$

$$\rho = \frac{R_{2}\pi\left( \frac{d_{2}}{2} \right)^{2}}{\ l_{2}}$$

$$\rho = \frac{0,5 \times 3,14 \times \left( \frac{10^{- 3}}{2} \right)^{2}}{\ 1}$$

$$\rho = 0,5 \times 3,14 \times 10^{- 6} \times \frac{1}{4} = 0,3925 \times 10^{- 6}\text{\ Ωm}$$

$$R_{1} = \rho \times \frac{l_{1}}{\pi\left( \frac{d_{1}}{s} \right)^{2}}$$

$$R_{1} = 0,3925 \times 10^{- 6} \times \frac{0,08}{3,14\left( \frac{10^{- 5}}{2} \right)^{2}}$$

$$R_{1} = 0,3925 \times 10^{- 6}\frac{0,08}{3,14 \times \ \frac{10^{- 10}}{4}}$$

$$R_{1} = \frac{0,0314 \times 10^{- 6}}{0,785\ \times 10^{- 10}} = \ \frac{0,0314\ \times 10^{4}}{0,785} = \frac{314}{0,785} = 400\ \mathrm{\Omega}\ $$

odp. Opór elektryczny wyniesie 400Ω

5. Po dwóch równoległych, nieskończonych przewodnikach płyną prądy o natężeniach I1=3I2 w przeciwnym kierunku. Znajdź punkty w których indukcja pola magnetycznego jest równa zero, jeśli odległość pomiędzy nimi wynosi d.

I₁ = 3 L₂

to moze sie zdarzyc tylko w odległości x od I₂ i od d + x od I₁

$$\frac{uo \times I_{1}}{2\ \pi(d + x)} = \frac{\ uo \times I_{2}}{2\ \pi\ x}$$

$$\frac{3}{2\ x}\ = \ d + x$$

x  =  2d

7.Drut o długości l = 50 cm w którym płynie prąd i=10A, tworzy kąt α = 30o z jednorodnym polem magnetycznym o indukcji B = 1,5 T. Znaleźć wielkość i kierunek siły działającej na drut.

l=0,5 m

I=10 A

α= 30 stopni

B=1,5 T

F=?

F = I  × l × B × sinα

F = 10  ×  0, 5 × 1, 5 × 0, 5 = 3, 75 N

8.Drut o długości l = 60 cm i masie m = 10 g jest zawieszony na dwóch sprężystych przewodach w poziomym polu magnetycznym o indukcji B = 0,4 T. Jaka powinna być wielkość i kierunek prądu, aby siły magnetyczne zrównoważyły siłę grawitacji?

L=0,6 m

m=0,01 kg

B=0,4 T

F = mg

F = I  × l × B

B × I × L = mg

$$I = \frac{\text{mg}}{\text{BL}}$$

$$I = \frac{0,01*9,8}{0,4*0,6} = 0,4\ A$$