Wołek

Zbadać stabilność układu zakmniętego

$$G_{1}(s) = \frac{2}{s + 1}\text{\ \ \ \ \ \ \ }G_{2}(s) = \frac{5}{s + 1}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }G_{3}(s) = \frac{3}{s + 2}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ }G_{4}(s) = \frac{4}{s}$$

$$G_{z}(s) = \frac{\frac{G_{1}(s)}{1 + G_{1}(s)}*\left( G_{2}(s) + \frac{G_{3}(s)}{G_{1}(s)} \right)}{1 + \left\lbrack \frac{G_{1}(s)}{1 + G_{1}(s)}*\left( G_{2}(s) + \frac{G_{3}(s)}{G_{1}(s)} \right) \right\rbrack*G_{4}(s)}$$

$$G_{z}(s) = \frac{\frac{\frac{2}{s + 1}}{1 + \frac{2}{s + 1}}*(\frac{5}{s + 1} + \frac{\frac{3}{s + 2}}{\frac{2}{s + 1}})}{1 + \left\lbrack \frac{\frac{2}{s + 1}}{1 + \frac{2}{s + 1}}*\left( \frac{5}{s + 1} + \frac{\frac{3}{s + 2}}{\frac{2}{s + 1}} \right) \right\rbrack*\frac{4}{s}} = \frac{\frac{\frac{2}{s + 1}}{\frac{s + 3}{s + 1}}*(\frac{5}{s + 1} + \frac{3(s + 1)}{2(s + 2)})}{1 + \frac{\frac{2}{s + 1}}{\frac{s + 3}{s + 1}}*\left( \frac{5}{s + 1} + \frac{3(s + 1)}{2(s + 2)} \right)*\frac{4}{s}} = \frac{\frac{2}{s + 3}*\frac{3(ss + 1)\hat{}\hat{})2 + 10(s + 2)s(}{2\left( s + 2 \right)*(s + 1)}}{1 + \frac{2}{s + 3}*\frac{3(ss + 1)\hat{}\hat{})2 + 10(s + 2)s(}{2(s + 2)*(s + 1)}*\frac{1}{s}} = \frac{\frac{3(ss + 1)\hat{}\hat{})2 + 10(s + 2)}{\left( s + 2 \right)*(s + 3)*(s + 1)}}{1 + \frac{3(ss + 1)\hat{}\hat{})2 + 10(s + 2)}{s*\left( s + 2 \right)*(s + 3)*(s + 1)}} = \frac{\frac{3(ss + 1)\hat{}\hat{})2 + 10(s + 2)}{\left( s + 2 \right)*(s + 3)*(s + 1)}}{\frac{s^{4} + 6s^{3} + 14s^{2} + 22s + 18}{s*\left( s + 2 \right)*(s + 3)*(s + 1)}} = \frac{3s(ss + 1)\hat{}\hat{})2 + 10s(s + 2)}{s^{4} + 6s^{3} + 14s^{2} + 22s + 18}\ $$

$$G_{z}(s) = \frac{3s(ss + 1)\hat{}\hat{})2 + 10s(s + 2)}{s^{4} + 6s^{3} + 14s^{2} + 22s + 18}$$

Badamy stabilność układu

$$G_{z}\left( s \right) = \frac{L\left( s \right)}{M(s)} = \frac{L(s)}{s^{4} + 6s^{3} + 14s^{2} + 22s + 18}$$

M(s) =  s⁴ + 6s³ + 14s² + 22s + 18

Badamy czy układ jest stabilny za pomocą reguły Hurwitza
1.
Wszystkie podwyznaczniki M(s) muszą istnieć i mieć taki sam znak
a₄=1
a₃=6
a₂=14
a₁=22
a₀=18
a₀,a₁,a₂,a_3, a₄ > 0
warunek konieczny jest spełniony zatem obliczamy warunek wystarczający

2. Wszystkie wyznaczniki Δ­_i muszą być większe od zera aby układ był stabilny

22	18	0
6	14	18
0	1	6

Δ₁=a₁=22



Δ₂=

a1	a0
a3	a4

22	18
6	14

Δ₂= 200

Δ₃=

22	18	0
6	14	18
0	1	6

Δ₃=804
Δ_i >0 zatem układ jest stabilny


Zbadać własności dynamiczne układu nieliniowego przedstawionego na rys.

$${x\left( t \right) = Asin\omega t\backslash n}{B = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ G\left( s \right) = \frac{2s}{4s^{3} + 3s^{2} + 4s + 2}\backslash n}{I = \frac{4B}{\text{πA}}\backslash n}{k\left( s \right) = G\left( s \right)*I\left( A \right)\backslash n}{G_{z} = \frac{I\left( A \right)G\left( s \right)}{1 + I\left( A \right)G\left( s \right)}\backslash n}$$