1. Opis położenia punktu w układzie współrzędnych

Położenie poruszającego się punktu P w przyjętym układzie współrzędnych można określić przez x,y,z Współrzędne są funkcjami zmiennej t(czasu), otrzymujemy x=f₁(t) y=f₂(t) z=f₃(t)

1. Definicja prędkości średniej i chwilowej punktu

Wielkość wektorowa, która określa zarówno szybkość ruchu, jak i jego kierunek w danej chwili.

Prędkość chwilowa:

Prędkość średnia;

Jednostką jest metr na sekundę.

1. Definicja przyśpieszenia punktu

Wielkość wektorowa, która określa zmiany wektora prędkości w czasie (zarówno wartości, jak i kierunku).

Przyspieszenie chwilowe:

Przyspieszenie średnie;

Jednostka: metr na sekundę na sekundę.

1. Ruch prostoliniowy jednostajny i zmienny

Ruch zmienny to ruch, w którym droga przebywana przez ciało nie jest proporcjonalna od czasu. Kiedy prędkość ruchu zmienia się, tzn. rośnie lub maleje, ruch taki nazywamy ruchem zmiennym. Jeśli wartość prędkości rośnie, ruch nazywamy przyspieszonym, a jeśli maleje - opóźnionym. W ruchu zmiennym występuje przyspieszenie, które definiujemy jako stosunek przyrostu prędkości do czasu, w którym on nastąpił i oznaczamy symbolem a

Ruch jednostajny prostoliniowy jest ruchem, w którym ciało porusza się ze stałą prędkością (v), czyli ciało pokonuje takie same odcinki drogę (przemieszczenie - s) w każdej jednostce czasu . Aby można było mówić o ruchu jednostajnym na ciało nie może działać żadna siła lub siły, które na nie działają muszą się wzajemnie równoważyć (w tym ruchu spełniona jest I zasada dynamiki Newtona).
Prędkość jest wielkością wektorową, kierunek i zwrot jej wektora jest zawsze taki sam jak wektora przemieszczeniarównanie ruchu jednostajnie prostoliniowego

1. Ruch krzywoliniowy jednostajny i zmienny – przyśpieszenie styczne i normalne

przyspieszenie styczne: – charakteryzuje szybkość zmiany liczbowej wartości prędkości ruchu; gdy to ruch nazywamy jednostajnym;

gdy to jest to ruch jednostajnie zmienny;

przyspieszenie normalne: – charakteryzuje szybkość zmiany kierunku prędkości ruchu; w ruchu prostoliniowym:

Promień krzywizny R definiowany jest poprzez:

Przyspieszenie całkowite:

1. Ruch jednostajny po okręgu – droga, prędkość, przyśpieszenie liniowe i kątowe

Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem ruchu krzywoliniowego. Jest to ruch po torze o kształcie okręgu z prędkością o stałej wartości, tzn. . Ruch jednostajny po okręgu jest ruchem niejednostajnie przyspieszonym, tzn. kierunek i zwrot wektorów przyspieszenia a i prędkości v zmieniają się cały czas w trakcie ruchu, nie zmieniają się natomiast ich wartości.

Droga kątowa. Położenie punktu A na okręgu można wtedy jednoznacznie określić za

pomocą kąta ϕ; kąt ϕ nosi nazwę drogi kątowej Jednostką drogi kątowej ϕ jest radian.

s=ϕr

Prędkością kątową oznaczamy wielkość, której miarą jest iloraz kąta a zakreślonego przez promień wodzący punktu poruszającego się po okręgu do czasu t, w którym ten kąt został zakreślony

Prędkość liniową można więc przedstawić za pomocą prędkości kątowej i promienia w

Postaci v = ωr

Przyspieszenie styczne w przypadku ruchu jednostajnego po okręgu wynosi zero 0.

oznacza przyspieszenie kątowe przyspieszenie normalne

1. Pojęcie ciała sztywnego

Ciało sztywne – zbiór punktów których wzajemne odległości są stałe jego elementy (części, punkty) nie mogą się względem siebie przemieszczać.

1. Ruch postępowy ciała sztywnego

Cialo w ruchu postępowym ma trzy stopnie swobody. Położenie trzech punktów A,B,C poruszającego się ruchem postępowym ciala możemy określić za pomoca promieni wektorow w chwili poczatkowej. Położenie ciala odpowiada chwili t=+ czyli po upływie czasua polożenie punktow oznaczamy przez A’,B’,C’.

Równania ruchu , , ,

Gdzie -jest przesunieciem jednakowym dla wszystkich punktow ciala.

Różniczkując otrzymujemy wektory prędkości:

Różniczkując wektory prędkości otrzymujemy:.

1. Ruch obrotowy ciała sztywnego wokół nieruchomej osi – prędkość i przyśpieszenie

Punkt bryly P, który porusza się po okregu o promieniu r. Jego prędkość jest wektorem stycznym do tego okregu, zwróconym w strone obrotu, o module rownym v=.

Równanie drogi punktu można zapisac jako s=r(t) wiedzac, ze v=.

Prędkość katowa jest wielkością jednakowa dla wszystkich punktow ciala sztywnego poruszającego się ruchem obrotowym natomiast prędkość liniowa ciala sztywnego zalezy od jego odległości od osi obrotu.

Przyspieszenie: styczne i normalne dowolnego punktu ciala sztywnego lezacego w odległości r od osi obrotu otrzymujemy różniczkując względem czasu wzor na prędkość liniowa otrzymując: , .

Wektor przyspieszenia zapiszemy jako pochodna wektora prędkości katowej względem czasu

1. Ruch płaski bryły –

pojęcie płaszczyzny kierującej

ruch plaski jest to taki ruch w którym przekroj bryly dowolna plaszczyzna stala stale pozostaje na tej płaszczyźnie. Ruchem plaskim ciala sztywnego nazywamy taki ruch w którym wszystkie punkty ciala poruszaja się w płaszczyznach równoległych do pewnej płaszczyzny, zwanej plaszczyzna ruchu plaskiego(plaszczyzna kierujaca). Dowolna prosta l prostopadkla do płaszczyzny kierującej , poprowadzona w ciele sztywnym pozostaje w czasie ruchu stale prostopadla do tej plaszczyny i porusza się ruchem postępowym. Wszystkie punkty ciala lezace na tej prostej poruszaja się po identycznych torach z tymi samymi prędkościami i przyspieszeniami.

1. Równania ruchu płaskiego – chwilowe położenie, prędkość i przyśpieszenie

Równania ruchu punktru P.

, .

Prędkość: Różniczkując względem czasu równanie otrzymamy prędkość dowolnego punktu przekroju poruszającego się po płaszczyźnie kierującej

= jest prędkością dowolnego punktu przekroju

= jest prędkością obranego bieguna A.

czyli wektor prędkości dowolnego punktu przekroju przedstawia się następująco .

Przyspieszenie: w przypadku ruchu plaskiego wektory i sa stale do siebie prostopadle a wiec =0, co upraszcza równanie do postaci gdzie: -przyspieszenie punktu r ruchu postępowym - przyspieszenie styczne punktu P pochodzące od obrotu ciala wokół punktu A.

-przyspieszenie normalne punktu P pochodzące od obrotu ciala wokół punktu A.

1. Pojęcie ruchu kulistego – określenie położenia bryły

Określenie położenia bryly sprowadza się do wyznaczenia położenia układu A, w którym ta Bryla spoczywa.

1. Równania ruchu kulistego bryły – prędkość i przyśpieszenie

prędkość: Przyjmując początek układu stalego i ruchomego srodek 0 ruchu kulistego, możemy napisac a po zróżniczkowaniu otrzymujemy wektor prędkości dowolnego puntku bryly w ruchu kulistym . Modul wektora prędkości jest rowny

Przyspieszenie: wektor przyspieszenia lezy na tzn. osi przyspieszenia katowego, przechodzi przez srodek ruchu i posiadającej kierunek prędkości konca wektora .

ale , czyli lub po uwzględnieniu znanego przekształcenia złożonego iloczynu wektorowego

1. Pojęcie ruchu ogólnego – przemieszczenie bryły, prędkość i przyśpieszenie

Bierzemy pod uwage dwa położenia bryly: I-poczatkowe i II – koncowe. Obieramy dowolny punkt w bryle za biegun układu współrzędnych A, związany z poruszajaca się Bryla. Z położenia I do II bryle można przeprowadzic za pomoca jednego przesuniecia i jednego obrotu dookoła osi przechodzącej przez obrany biegun

prędkość: Polozenie dowolnego punktu P bryly w układzie stalym możemy określić za pomoca promienia wektora = + po zrozniczkowaniu otrzymamy prędkość punktu P: = czyli = Przyspieszenie:

gdzie : = - przyspieszenie styczne,

= - przyspieszenie normalne. - przyspieszenie ruchu postępowego..

1. Zasady dynamiki punktu materialnego

Zasada pierwsza- punkt materialny na który nie działają żadne siły lub działają siły wzajemnie równoważące się, pozostaje względem układu odniesienia w spoczynku lub ruchu jednostajnym prostoliniowym

Zasada druga- Zmiana ilości ruchu (pędu) jest proporcjonalna względem siły działającej i ma kierunek prostej, wzdłuż której ta siła działa.

Zasada trzecia- każdemu działaniu towarzyszy równe,lecz przeciwnie zwrócone oddziaływanie, czyli wzajemne oddziaływanie dwóch ciał są zawsze równe i skierowane przeciwnie

Zasada czwarta- Jeśli na punkt materialny o masie m działa jednocześnie kilka sił, to punkt uzyskuje przyśpieszenie równe sumie geometrycznej przyśpieszeń, jakie uzyskałby w wyniku niezależnego działania każdej z sił. Zasadę 4 nazwano prawem superpozycji.

Zasada piąta- Każde 2 punkty materialne przyciągaja się wzajemnie z siłą wprost proporcjonalną do iloczynu mas i odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości r między nimi. Kierunek siły leży na prostej łączącej te punkty. Prawo to nazywamy prawem grawitacji

1. Siła bezwładności – zasada d’Alamberta

Siła bezwładności jest równa iloczynowi masy przez przyśpieszenie ruchu. jej zwrot zaś jest zawsze przeciwny niż zwrot przyśpieszenia. Sila bezwl. Jest =0 gdy gdy nie występuje przyśpieszenie

Zasada d’Alamberta- w ruchu swobodnego punktu materialnego układ sił czynnych równoważy się z pomyślana siłą bezwładności

W ruchu punktu nieswobodnego siły czynne i reakcje więzów równoważą się z pomyślaną siłą bezwładności

1. Zasada pędu masy i impulsu siły punktu materialnego

Pęd punktu materialnego jest wektorem stałym jeżeli suma geometryczna sił działających na punkt materialny jest równa zeru.

gdzie:

Pojęcie impulsu siły

- elementarny impuls siły, wektor o kierunku i zwrocie takim jak wypadkowa działających sił

Impuls elementarny siły działającej na punkt materialny jest równy elementarnemu przyrostowi pędu tego punktu

Przyrost pędu masy poruszającego się punktu jest równy impulsowi całkowitemu działających sił.

1. Zasada krętu punktu materialnego

Krętem poruszającego się punktu materialnego względem obranego bieguna 0 nazywamy wektor równy iloczynowi wektorowemu promienia r przez p poruszającego się punktu. Kręt jest więc momentem pedu względem obranego bieguna

Po zróżniczkowaniu składowych otrzymamy:

więc:

Pochodna wektora krętu względem czasu jest równa momentowi głównemu wszystkich sił działających na dany punkt materialny.

Jeżeli moment sił działających na poruszający się punkt materialny jest względem jakiegoś bieguna równy zero, to kręt poruszającego się punktu wzgldem tego bieguna jest wektorem stałym.

1. Dynamiczne równania ruchu punktu materialnego

nazywamy dynamicznym równaniem ruchu.

Analitycznie:

Całkowanie dynamicznych równań ruchu – przykłady

1.określanie działającej siły: różniczkujemy dwukrotnie względem czasu i znajdujemy składowe przyśpieszenia po czym należy podtsawić je do równań ruchu i w ten sposób znajdujemyszukaną siłę.

2. gdy ruch jest pod wpływem siły F=0: równanie dynamiczne ma postac ma=0, całkujemy i przyjmujemy że w chwili t=0, i całkujemy drugi raz, otrzymujemy: w ten sposób dojdziemy do równań ruchu jednostajnego i prostoliniowego.

3. ruch pod wpływem siły stałej F=const.: piszemy równanie w postaci całkujemy to równanie podwójnie i przyjmujemy warunki początkowe dla t=0 i dla r₀=v_o oraz r=r₀ mamy:

1. Drgania swobodne i tłumione punktu materialnego

Drgania swobodne: punkt materialny o masie m porusza się ruchem prostoliniowym pod działaniem siły F, przyciągającej ten punkt do stałego punktu 0, zwanego środkiem drgań(F=-cx, c-współ. Proporcjonalności)

F=mx lub mx=-cx

=>

1. stała amplituda drgań

(ωt+φ)- faza drgań

Drgania tłumione:

R-siła tłumiąca β-współczynnik tłumienia.

1.małe tłumienie: wtedy gdy ω>n

W tym przypadku ruch wykonuje drgania ale nie jest okresowy. Przy małym tłumieniu okres drgań jest niewiele większy od okresu drgań swobodnych.Można obliczyć sąsiednie amplitudy, wiemy ze stosunek bezwzględny tych amplitud jest stały i rowna się

Stosunek ten nazywa się dekrementem drgań..

2. duże tłumienie: Zachodzi wtedy gdy ω/n

Nie jest ruchem okresowym, w przypadku dużego tłumienia nie wykonuje drgań

3. Krytyczne tłumienie: wtedy gdy n=ω

Ruch ten jest ruchem nieokresowym.

1. Drgania wymuszone punktu materialnego – rezonans mechaniczny

Rezonans mechaniczny to zjawisko polegające na przepływie energii pomiędzy kilkoma (najczęściej dwoma) układami drgającymi. Warunkami koniecznymi do zajścia rezonansu mechanicznego są:

-jednakowa częstotliwość drgań własnych (lub swobodnych) układów

-istnienie mechanicznego połączenia między układami

1. Ruch punktu materialnego po gładkiej równi pochyłej

Chcąc opisać ruch punktu materialnego musimy wybrać układ odniesienia. Następnie

wybieramy najdogodniejszy dla opisu matematycznego danego problemu układ

współrzędnych.

Jeżeli potrafimy znaleźć P{x,y,z} i przypisać temu punktowi czas t, to możemy skonstruować

wektor wodzący Krzywa opisana w czasie przez koniec wektorar

nazywa się trajektorią lub torem ruchu punktu P.

1. Ruch wahadła matematycznego

Punkt materialny zawieszony na nierozciągliwej i nieważkiej nici. Jest to idealizacja wahadła fizycznego.

Ważną cechą wahadła fizycznego i matematycznego jest stałość okresu drgań dla niewielkich wychyleń wahadła.

Ogólne równanie ruchu wahadła matematycznego:

1. Zderzenie proste i ukośne ciał

2. Dynamiczne równania ruchu układu punktów materialnych

Układem punktów materialnych nazywamy zbiór punktów, którym przypisane są pewne masy. Układ swobodny to taki w który nie istnieją żadne ograniczenia, które krępowały by ruch punktów. Układ nieswobodny jeżeli występują jakiekolwiek ograniczenia ruchu. w postaci wektorowej. w ukladzie :

1. Zasada pędu masy i impulsu siły dla układu punktów materialnych

Zasada pedu ukladu punktow materialnych:

Pochodna względem czasu wektora ogolnego pedu ukladu punktow materialnych jest rowna wektorowi glownmu sil zewnetrzych dzialajacych na dany uklad.

Analitycznie

1. Kręt układu punktów materialnych

Krętem ogólnym układy punktów materialnych względem przyjętego bieguna nazywamy sumę geometryczną poszczególnych wektorów krętów

Twierdzenie o pochodnej krętu:

Pochodna wektora krętu ogólnego układu względem czasu względem dowolnego bieguna jest równa wektorowi momentu głównego sił zewnętrznych, działających na ten układ względem tego samego bieguna.

Układ punktów materialnych -zbiór punktów materialnych, w którym położenie każdego punktu jest zależne od położenia innych punktów.

Układ punktów swobodnych -układ punktów materialnych, których ruch nie jest ograniczony żadnymi więzami.

Układ punktów nieswobodnych -układ punktów materialnych, których ruch jest ograniczony nałożonymi na te punkty więzami.

W układzie punktów materialnych występują siły wewnętrzne i zewnętrzne. zależności S_ij = -S_ji wynika, że

Podobnie suma momentów sił wewnętrznych względem dowolnego punktu wynosi zero, gdyż siły te parami się równoważą. Zapisujemy to wzorem

gdzie promień wektor

1. Ruch układu o zmiennej masie

gdzie

Wzór przedstawia tzw. Równanie Mieszczerskiego, charakteryzujące ruch układu o zmiennej masie.

Przedstawionej postaci wektorowej odpowiadają trzy równania analityczne np. w układzie ortokartezjańskim

1. Definicja i równania pracy mechanicznej siły stałej

Pojecie pracy mechanicznej laczy się nierozerwalnie z przesunieciem. Praca sily stalej na prostoliniowym przemieszczeniu kierunku dzialania sily, nazywamy iloczyn tej sily przez długość przesuniecia.

A = F * s

-jeśli kierunek sily tworzy z kierunkiem przesuniecia kat α to :

1. Praca mechaniczna siły zmiennej

Praca elementarna sily zmiennej F na przesunieciu elementarnym ds. nazywamy iloczyn skalarny sily przez to przesuniecie elementarne

,

czyli:

1. Praca mechaniczna na torze kołowym

Gdy sila F dziala na punkt poruszający się po torze kolowym, pracą elementarną na przesunieciu elementarnym nazywamy iloczyn skalarowi sily przez to przesuniecie

1. Praca mechaniczna siły sprężystości

Praca taka zachodzi np. w sprężynie na której zamocowana jest siła F zakładając iż siła ta spowoduje wydłużenie λ to siła sprężystości jest wielkościa zmienną mianowicie jest ona proporcjonalna do wydłużenia sprężyny

c- stała sprężyny

Praca elementarna siły siły sprężystości jest równa

praca całkowita

1. Praca mechaniczna siły ciężkośc

Taka praca zachodzi gdy mamy do czynienia z punktem materialnym m , na który dziala jednorodne pole ciężkości ziemi

gdy X=0, Y=0, Z=0

praca całkowita

1. Moc i sprawność układu

Moca chwilowa nazywamy sosunek pracy elementarnej do czasu dt w którym ta praca zostala wykonana

Sprawnością mechaniczna maszyny lub silnika nazywamy stosunek pracy (lub mocy) użytecznej do pracy (lub mocy) włożonej.

Ao = An + At

η = An/Ao = Pn/Po

Ao – praca wlozona, An – praca uzyteczna, At – str. pracy w silniku

1. Zasada pracy i energii kinetycznej

Energia kinetyczna poruszającego się punktu materialnego rosnie lub maleje o wielkość pracy wykonanej przez sily działające na ten punkt materialny – energia kinetyczna ma wymiar pracy. Praca tych sil odgrywa role dopływu en. Kinetycznej do punktu materialnego. Jeżeli na poruszający się punkt materialny nie działają żadne sily lub sily działające wzajemnie się równoważą to Ek tego punktu jest wielkości stala

δA = dE => A_1-2 = E ₂ - E ₁

1. Praca w polu sił

Praca jest skalarem, prace wykonuje jedynie składowa siły styczna do toru, może przyjmować wartości zarówno ujemne, dodatnie jak i równe 0.

Praca elementarna w polu sił jest równa δA=Xdx+Ydy+Zdz (X,Y,Z- składowe siły pola)

Praca całkowita jest całką A_1-2=∫(Xdx+Ydy+Zdz).

Praca może być wykonywana po okręgu, po osiach współrzędnych i po linii prostej. W ogólnym przypadku praca zależy od kształtu toru (niepotencjalne, wirowe). Pola w których praca nie zależy od kształtu toru nazywamy potencjalnymi. A_1-2=U₁-U₂. W polu potencjalnym praca po dowolnej linii zamkniętej jest równa 0.

Aby określić pole sil tzn podac wektor położenia:

F=F(x,y,z) ; X=X(x,y,z) ; Y=Y(x,y,z) ; Z=Z(x,y,z)

praca elementarna w polu sil zatem jest rowna:

δA = Xdx + Ydy + Zdz

, gdzie x,y,z to skladowe pola sil

- w przypadku gdy praca pola sil zalezy od kształtu toru to nazywamy takie pola sil polami niepotencjalnymi (wirowymi)

- w przypadku gdy nie zalezy od kształtu toru to pola takie nazywamy potencjalnymi (niewirowe)

1. Potencjalne pole sił

pole w którym praca całkowita nie zależy od kształtu toru, a od współrzędnych punktów końcowego i początkowego i równa się różnicy potencjałów A_1-2=U₁-U₂. W każdym punkcie tego pola, siła działająca na ciało wyrażona jest wzorem grad U = -F, a rotacja siły wynosi rot F=0. Siły pola są prostopadłe do pow. Ekwipotencjalnych, z którymi tworzą układ ortogonalny. Siły skierowane są ku niższemu potencjałowi. Przykładem jest pole grawitacyjne i elektrostatyczne.

Funkcję U(x,y,z)=-Φ(x,y,z) nazywamy potencjałem pola sił, jest to funkcja położenia, której pochodne cząstkowe względem odpowiednich kierunków są równe składowym siły pola w takich kierunkach, wziętym ze znakiem ujemnym (gradient jest równy sile pola ze znakiem minus).

1. Zasada zachowania energii mechanicznej

(energia mechaniczna, czyli energia ruchu E_k i położenia E_p) - W polu potencjalnym suma energii kinetycznej i potencjalnej w każdym położeniu jest wielkością stałą.

E_k+E_p=const.

dE+dU=const (postać różniczkowa)

mv²/2+mgh=const. (postać dla poruszającego się punktu)

1. Równowaga punktu w polu sił ciężkości

zachodzi w położeniu, gdzie energia potencjalna osiąga ekstremum. Szczególnie równowaga stała zachodzi, gdy osiąga minimum. (kryterium stateczności Mindinga i Dirichletra). Zasada zachowania energii ma postać mv²/2+mgz=const z czego wynika równość z = (v_o²+v²)/2g + z_o. Maxymalna wysokość osiagnie w z_max=v_o²/2g + z_o. Z tego wynika, że na tym samym poziomie punkt ma tę samą prędkość, punkt przejdzie przez wszystkie garby toru nie przekraczając z_max.

Rozróżniamy równowagę stałą (punkt porusza się w pobliżu położenia równowagi), chwiejną (prędkość oddala go na stałe od poł. równ.), obojętną (punkt trafia w pobliżu na nowe poł. równ.). F+R=0

1. Dynamiczne równania ruchu postępowego ciała sztywnego

*Pod działaniem sił zewnętrznych:

F_i+ΣW_ik+(-m_ia_i)=0 gdzie -m_ia_i są siłami bezwładności

m-masa punktowa

a-wektor przyspieszenia masy

F-wypadkowa sił zew.

W_ik=W_ki –siła wew. oddziaływania masy m_k na masę m_i

*W przypadku więzów należy po prawej stronie wprowadzić siły reakcji więzów.

Ruch obrotowy

M=Σ(m_i*r_i²*ε)

Ruch środka masy układu

mr_s=Σm_ir_i

p=m_ir_s(r z kropką)=m_iv_s

ma_s=ΣF_i

Zasada pędu układu

F=(d/dt) P

1. Twierdzenie o pochodnej krętu bryły materialnej

Pochodna wektora krętu ogólnego układu (bryły) względem czasu względem dowolnego bieguna jest równa wektorowi momentu głównego sił zewnętrznych, działających na ten układ (bryłę) względem tego samego bieguna.

dK^o/dt = M^o

1. Charakterystyka ruchu płaskiego bryły materialnej

Prędkość:

V_p=r_p*ω=r_p*(V_i/r_i) r-promień

Analityczne określenie predkości w ruchu płaskim

V_p=V_a+V_pa (V_a-predkość ruchu postepowego wokół bieguna A)

(V_pa-prędkość ruchu obrotowego, prędkość punktu od obrotu przekroju dookoła bieguna)

Przyspieszenie:

a_p=a_A+a_pA

1. Dynamiczne równania ruchu bryły materialnej – przykłady rozwiązań