1. Wydłużanie pręta przy rozciąganiu: | A) $\sum_{}^{}{F_{\alpha}:N - P = 0\ {= >}\ N = P}$ | ∫_Aσ dA = V(A) | $\sigma = \frac{N}{A} = \frac{P}{A}$ | B) Warunki geometryczne: | Założenia: | 1. Przekroje prostopadłe do osi pręta pozostają prostopadłe | 2. Płaskość przekroju zachowana | Odkształcenia liniowe: | $\varepsilon_{x} = \varepsilon = \frac{\left( dx - du \right) - dx}{\text{dx}} = \frac{\text{du}}{\text{dx}}$ | λ = l^′ − l … λ = U_x = l = ∫₀^lε ds = εl ε = const | $\varepsilon = \frac{l}{l} = \frac{\lambda}{l}$ … ε_y = (d^′ − d₀)/d₀ < 0 | C) Warunki fizyczne (Hooke’a): $\varepsilon = \frac{\sigma}{E}$ | ε_y = −Vε … V – wsp. Poissona | $\lambda = l = \int_{0}^{l}{\varepsilon\ dx = \int_{0}^{l}{\frac{\sigma}{E}\ dx = \int_{0}^{l}{\frac{V}{\text{AE}}\ dx = \frac{\text{Nl}}{\text{AE}}}}}$ | 2. Odkształcenia przy zmianie temp. | Średni wsp. Rozszerzalności liniowej w granicach temperatur t₁ i t₂ | $\alpha_{1,\ 2} = \frac{l}{l_{0}}*\frac{l_{2} - l_{1}}{t_{2} - t_{1}}$ | Wsp. Rozszerzalności liniowej: | $\alpha = \frac{1}{10}\operatorname{}{\frac{l}{t} = \frac{l}{l_{0}}*\frac{\text{dl}}{\text{dt}}}$ | Wyznaczenie odkształceń technicznych: l₂ − l₁ = α * l₀ * (t₂ − t₁) | Wyznaczenie l₁ za pomocą l₀: | l₁ − l₀ = α * l₀ * (t₁ − 0) | l₁ = l₀ + α * l₀ * (t₁−0) = l₀ * (1 + αt₁) | Zatem: | l₂ − l₁ = α(t₂−t₁) = > ε = α * t₁ stąd: | $\sigma = \frac{P}{A} + E\alpha*t$ | 3. Zależność T, Mg i q: | Rozpatrzmy prostą belkę obciążoną obciążeniem ciągłym q | $\sum_{}^{}{F_{y}:\ - T + q\ dx + T + dt = 0}$ | $\frac{\text{dT}}{\text{dx}} = - q$ (1) | $\sum_{}^{}{M_{B}:Mg + T\ dx - q\ dx*\frac{\text{dx}}{2} - Mg - dMg = 0}$ | $\frac{\text{dMg}}{\text{dx}} = T$ (2) | Podstawiamy (1) do (2): | $\frac{\text{dMg}}{dx^{2}} = \frac{\text{dT}}{\text{dx}} = - q$ | - podobne siły poprzeczne względem „x” wzdłuż osi pręta równe jest co do modułu obciążenia ciągłego | - druga pochodna momentu gnącego względem „x” jest równa natężenia obciążenia ciągłego | - pochodne momentu gnącego względem „x” jest równa sile poprzecznej | 4. Zależność E, σ, ϑ| Stan jednoosiowy: | (1) Stan naprężeń: | σ₁ = σ | σ₂ = 0 | $\tau_{\max} = \frac{\sigma_{1} - \sigma_{2}}{2}*\frac{\sigma}{2}$ | (2) Stan odkształceń: | $\varepsilon_{1} = \frac{\sigma_{1}}{E} = \frac{\sigma}{E}$ | $\varepsilon_{2} = - \vartheta\varepsilon_{1} = - \vartheta*\frac{\sigma}{E}$ | Zgodnie z teorią stanu odkształcenia: | $\gamma_{\max} = \gamma_{\text{xy}} = \varepsilon_{1} - \varepsilon_{2} = \frac{\sigma}{E} + \vartheta*\frac{\sigma}{E} = \frac{\sigma}{E}*\left( 1 + \vartheta \right)$, podstawiając σ = 2τ_xy otrzymamy: $\gamma_{\text{xy}} = 2\tau_{\text{xy}} - E^{- 1}(1 + \vartheta) = \frac{\frac{\tau_{\text{xy}}}{E}}{2*\left( 1 + \vartheta \right)} = \frac{\tau_{\text{xy}}}{G}$ | $\sigma = \frac{E}{2*\left( 1 + \vartheta \right)}$ - moduł sprężystości poprzecznej | 5. Τ przy skręcaniu prętów o przekrojach okrągłych: | Odkształcenia podstawowe: | $\gamma = \frac{CC^{'}}{\text{BC}}$; przyjmiemy zatem r odległość OF=ę od środka przekroju FF’ (z trójkąta FF’O)=ędę ponieważ: $\frac{FF^{'}}{\text{FD}} = tg\gamma \approx \gamma$ (małe kąty) | FF^′ = γ dx | Po porównaniu: $\gamma = e\frac{\text{dγ}}{\text{dx}}$ | $\gamma = \frac{\tau}{\sigma}$ | $\tau = \sigma\frac{\text{dγ}}{\text{dx}}$ ; $\frac{\text{dγ}}{\text{dx}} = const$ | względem osi elementu ∫_Aeτ dA − N_s = 0 | $\sigma\frac{\text{dy}}{\text{dx}}\int_{A}^{}{e^{2} - N_{s} = 0}$ | ∫e²dA = I_s ; $\frac{\text{dφ}}{\text{dx}} = \frac{N_{s}}{\sigma I_{s}}$ - styczne skręcanie | $\frac{\text{dφ}}{\text{dx}} = \frac{\tau}{\sigma e}$ ; $\tau = \frac{N_{s}}{I_{s}}e$ | 6. Przemieszczenie kątowe w pręcie skręcanym: | Przemieszczenie względem dwóch oddalonych o skończoną długość przekroju pręta, statycznie skręconego jest ich wzajemny obrót. Miarą tego obrotu jest kąt zwany kątem skręcenia. | $\frac{\text{dφ}}{\text{dx}} = \frac{\text{Ms}}{GI_{0}}$ | $\varphi = \int_{x_{1}}^{x_{2}}{\frac{\text{Ms}}{GI_{0}}\text{\ dx}}$ | Przyjmując x₁ = 0 oraz Ms=const, I₀ = const na odległość l, kąt skręcenia wału wynosi: | $\varphi = \frac{\text{Msl}}{GI_{0}}\ $ | 7. Zginanie proste: | $d\varphi = \frac{\text{dx}}{e} = \frac{\text{dx}\left( 1 + \varepsilon \right)}{e + \left| y \right|}$ | $\frac{e + \left| y \right|}{e} = 1 + \varepsilon$ … $\varepsilon = \frac{\left| y \right|}{\varphi}$ | Związki fizyczne: | σ = εE … $\sigma = E*\frac{\left| y \right|}{e}$ Prawo Hooke’a | 8. Zginanie ukośne | Jeżeli wektor momentu gnącego nie pokrywa się z kierunkiem jednej z głównych osi bezwładności przekroju, to taki przypadek obciążenia nazywamy zginaniem ukośnym. | Mg_z = M_gcosα± … Mg_y = M_gsinα± | zatem: $\sigma_{1} = \frac{Mg_{y}}{I_{y}}*z_{A} - \frac{Mg_{z}}{I_{z}}*y_{A}$ | oś obojętna: σ_A0 | $tg\alpha = \frac{I_{y}}{I_{z}}\text{tgβ}$ | $tg\beta = \frac{I_{z}}{I_{y}}\text{tgα}$ | $\frac{\text{sinα}}{\text{cosα}} = \frac{I_{y}}{I_{z}} = \frac{y_{A}}{z_{A}}$ | 9. Oś ugięcia | $\frac{1}{e} = - \frac{\text{Mg}}{EI_{z}}$ - z war. równowagi | Jednocześnie z geometrii krzywizn danej funkcji y=y(x) | $\frac{1}{e} = \frac{y^{''}}{\sqrt{\left\lbrack 1 + \left( y^{'} \right)^{2} \right\rbrack^{3}}} \approx \frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ | po porównaniu $\frac{dy^{2}}{dx^{2}} = - \frac{\text{Mg}}{EI_{2}}$ | Warunek ogólności: $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \pm \frac{\text{Mg}}{EI_{z}}$ | Łuk ujemny bo odwrotny zwrot. ↓→ | 10. Hooke’a | $\varepsilon_{x} = \frac{1}{E}\lbrack\sigma_{x} - \vartheta\left( \sigma_{y} + \sigma_{z} \right)\rbrack$ … $\gamma_{\text{xy}} = \frac{\tau_{\text{xy}}}{\sigma}$ | $\varepsilon_{y} = \frac{1}{E}\lbrack\sigma_{y} - \vartheta\left( \sigma_{x} + \sigma_{z} \right)\rbrack$ … $\gamma_{\text{xz}} = \frac{\tau_{\text{xz}}}{\sigma}$ | $\varepsilon_{z} = \frac{1}{E}\lbrack\sigma_{z} - \vartheta\left( \sigma_{x} + \sigma_{y} \right)\rbrack$ … $\gamma_{\text{yz}} = \frac{\tau_{\text{yz}}}{\sigma}$ | (σ₁, σ₂, σ₃) | $\varepsilon_{1} = \frac{1}{E}\lbrack\sigma_{1} - \vartheta\left( \sigma_{2} + \sigma_{3} \right)\rbrack$