Związki geometryczne w przypadku ciała 3-wymiarowego: $\gamma_{\text{xz}} = \frac{\text{δx}}{\text{δz}} + \frac{\text{δz}}{\text{δx}}$; $\gamma_{\text{zy}} = \frac{\text{δz}}{\text{δy}} + \frac{\text{δy}}{\text{δz}}$;$\ \gamma_{\text{xy}} = \frac{\text{δu}}{\text{δy}} + \frac{\delta v}{\delta x}$; $\varepsilon_{x} = \frac{\text{δu}}{\text{δx}}$; $\varepsilon_{y} = \frac{\text{δv}}{\text{δy}}$; $\varepsilon_{z} = \frac{\text{δw}}{\text{δy}}$. Macierz odkształceń w punkcie to uporządkowany zbiór odkształceń liniowych i kątowych trzech włókien przechodzących przez ten punkt i równoległych do osi układu odniesienia. Stan gr i naprężenia dop Napisz warunki wytrzymałościowe stosowane w metodzie 1. naprężeń dopuszczalnych i 2. metodzie stanów granicznych 1. $\sigma_{\text{dop}} \leq \frac{\sigma_{\text{nieb}}}{n}$ σ_dop = {σ_pl- mat. Plastyczny, $R_{m} = \frac{\text{Fmax}}{A_{0}}$ mat kruchy} na rozciąganie: $\sigma_{\text{dop}} \leq \frac{\sigma_{\text{nieb}}}{n}$ ; na ściskanie ${|\sigma}_{\text{dop}}| \leq \frac{\sigma_{\text{nieb}}}{n}$ 2. $P_{\text{dop}} \leq \frac{P_{\text{nieb}}}{n}$ gdzie P_nieb = P_gr . Warunki: 1. Stan uplastycznienia następuje w plastycznej ilości prętów 2. stan przemieszczenia kinematycznie dopuszczalny 3.stan naprężenia statycznie dopuszczalny. Twierdzenie o wartości dolnej i górnej obciążenia granicznego. Tw1. Obciążenie graniczne układu jest większe lub co najwyżej równe obciążeniu odpowiadającemu statycznie dopuszczalnemu schematowi zniszczenia układu (schemat w którym spełnione są w-ki równowagi) P_gr ≥ P_st Tw2. Obciążenie graniczne układu jest mniejsze lub co najwyżej równe obciążeniu odpowiadającemu kinematycznie dop schem zniszczenia układu P_gr ≤ P_kin. Z Powyższych twierdzeń wynika P_st ≤ P_gr ≤ P_kin. Met wyzn obciążenia granicznego: *m. statyczna: stat dopuszczalne schematy zniszczenia spełniają w-ki 1 i 3. P_gr ≥ P_stⁱ → P_gr = sup_i(P_stⁱ) kres górny lub ekstremum jako wart gr. *m. kinematyczna: kinematycznie dop schematy zniszczenia spełniają w-ki 1 i 2. . P_gr ≤ P_stⁱ → P_gr = inf_i(P_kinⁱ) Metoda kinematyczna: kinematyczny schemat zniszczenia powinien być ukł. O jednym stopniu swobody; stan przemieszczenia układu powinien być zgodny z wiązami, a praca tych sił na przemieszczeniach ukł. była dodatnia (ujemna); obciążenia zew odpowiadające rozpatrywanemu schem. Należy obliczyc z równań równowagi ( lub stos zasadę pracy wirtualnej); obc gr. Jest najmniejszą wartością z wartości odpowiadających poszczególnym sch.zn

Charakterystyki figur geometrycznych Elementarne m. stat: ΔS_xi = y_iΔA_i ΔS_yi = x_iΔA_i Momenty statyczne to inaczej granica sum momentów elementarnych: $S_{x} = \operatorname{}{\sum_{i = 1}^{n}{\Delta S_{\text{xi}} =}}\operatorname{}{\sum_{i = 1}^{n}{y_{i}\Delta A_{i}} = \iint_{A}^{}{ydxdy = \int_{A}^{}\text{ydA}}}$ analog dla Sy. Moment bezwładności i dewiacyjny f. pł Elementarne momenty bezwł i dew:ΔJ_xi = y_i²ΔA_i ΔJ_yi = x_i²ΔA_i ΔJ_xiyi = x_iy_iΔA_i Mom bezwład, moment dew: J_x = ∬_Ay²dA (>0) J_xy = ∬_AxydA (>=<0) $\ J_{x} = \operatorname{}{\sum_{i = 1}^{n}{\Delta J_{\text{xi}} =}}\operatorname{}{\sum_{i = 1}^{n}{y_{i}^{2}\Delta A_{i}} = \iint_{A}^{}{y^{2}dxdy = \int_{A}^{}{y^{2}\text{dA}}}}$ Analogicznie dla Jy M dewiacyjny $J_{\text{xy}} = \operatorname{}{\sum_{i = 1}^{n}{\Delta Jxy =}}\operatorname{}{\sum_{i = 1}^{n}{y_{i}x_{i}\Delta A_{i}} = \iint_{A}^{}{xydxdy = \int_{A}^{}\text{xydA}}}$
Biegunowy moment bezwładności: $J_{0} = \operatorname{}{\sum_{i = 1}^{n}{\Delta J_{0i} =}}\operatorname{}{\sum_{i = 1}^{n}{\rho_{i}^{2}\Delta A_{i}} = \iint_{A}^{}{\rho^{2}dxdy = \int_{A}^{}{\rho^{2}dA}}}$ ρ_i² = x_i² + y_i² J₀ = ∬_Aρ²dxdy = ∫_Aρ²dA = ∫x_i² + y_i²)dA=∫_Ay²dA + ∫_Ax²dA = J_x + J_y Tw. Steinera
Obliczam momenty bezwł i dew danej fig względem nowych osi (X1,Y1) przesuniętych o a i b względem (X, Y) ponieważ: J_x1= ∬_Ay²dA = ∬_A(y + b)²dA= ∬_A(y² + 2by + b²)dA = J_x + 2bS_x + b²A J_y1= ∬_Ax²dA = ∬_A(x + a)²dA= ∬_A(x² + 2ax + a²)dA = Jy + 2aS_y + a²A
J_x1y1= ∬_Ax1y1dA = ∬_A(y+b)(x + a)dA=J_xy + aS_x + bS_y + abA Jeśli stare osie X,Y są osiami centralnymi to S_x = 0 i S_y = 0 i otrzymujemy wzory stanowiące treść twierdzenia Steinera: I_x1 = J_xc + b²A; I_y1 = J_yc + a²A I_x1yj = J_xcyc + abA

Definicje:Granica proporcjonalności σ_H inaczej maksymalne naprężenie dla którego jeszcze obowiązuje zależność liniowa- można wówczas korzystać z prawa Hoocke’a Granica sprężystości σ_E = σ_spr inaczej jest to zerowe odkształcenie , max naprężenia dla których ε=0. Po przekroczeniu σ_spr otrzymujemy odkształcenia stałę ε.Granica plastycznościσ_pl = R_pe = R_e inaczej wzrost odkształceń przy σ=const Granica wytrzymałości na rozciąganie: $R_{m} = \frac{F_{m}}{A_{0}}$ Fm to maksymalna siła rozciągająca Wartość siły poissona mieści się w warunkach od 0 do 0,5 i jest wielkością bezwymiarową.Moduł Younga E –stałą materiałową charakterystyczną dla danego materiału.Moduł ten charakteryzuje odporność materiału na oddziaływania przy rozciąganiu (ściskaniu) Liczba Poissona υ określa proporcjonalnośc zjaemnie do siebie prostopadłych wydłużeń $\upsilon = - \frac{\varepsilon 2}{\varepsilon 1} = - \frac{\varepsilon 3}{\varepsilon 1}$-stała materiałowa. Liczba Poissona – jest wielkością stałą dla danego materiału konstrukcyjnego, i zależyod wymiarów i kształtu elementu rozciąganego (ściskanego). Liczbę poissonaV wyznacza się jako V=e1/e Poddajemy pręt rozciąganiu; przyjmujemy, że odkształcenia poprzeczne są proporcjonalne do odkształceń podłużnych ε^′ = −υε [ε’-odk. Poprzeczne; ε-dokształćenia podłużne; υ WSP. Poissona] 0 < υ
$\frac{\text{ΔV}}{V}$=$\frac{\left( l + \varepsilon l \right)\left( a + \varepsilon^{'}a \right)\left( b + \varepsilon^{'}b \right) - abl}{\text{abl}}$ [εl=Δl; ΔV- wzrost objętości] $\frac{\text{ΔV}}{V}$=$\frac{l\left( 1 + \varepsilon \right)a\left( 1 - \upsilon\varepsilon^{} \right)b\left( 1 + \upsilon\varepsilon^{} \right) - abl}{\text{abl}}$ $\frac{\text{ΔV}}{V}$=(1+ε)(1 − υε)² − 1 = (1+ε)(1−2υε−υ²ε²) − 1 = 1 − 2υε + υ²ε² + ε − 2υε² + υ²ε² − 1 = ε − 2υε = ε(1 − 2υ) (1 − 2υ) musi być≥0 0 ≤ υ ≤ 0, 5


Naprężenia normalne wywołane są siła podłużną N(x) i mają stały rozkład na powierzchni przekroju: $\sigma\left( x \right) = \frac{N(x)}{A}$ A- pole przekroju poprzecznego pręta [mkw]. Jest to równanie równowagi. Wydłużeniem Δl nazywamy różnicę pomiędzy długością pręta odkształconego, a początkową długością pręta, ujemna wartośc Δl oznacza skrócenie pręta. Względną zmianę długości pręta po odszktałćeniu nazywamy odkształceniem podłużnym. $\frac{\text{Δl}}{l} = \varepsilon\left( x \right) = \frac{\sigma(x)}{E} = \frac{N(x)}{\text{EA}}$; E- moduł sprężystości podłużnej materiału pręta- moduł Younga Równania fizyczne określają odkształcenia wywołane przyczynami fizycznymi, siłami zmianą temperatury (dla cylindrycznego pręta) $\Delta l = \int_{0}^{l}{\varepsilon\left( x \right)\text{dx}} = \int_{0}^{l}{\frac{S}{\text{EA}}dx = \frac{\text{SL}}{\text{EA}}}\ $S- stała siła rozciągająca. (dla pionowego cylindrycznego pręta o długości L zmiana długości wywołana jego ciężarem własnym γ) $\Delta l = \int_{0}^{l}{\varepsilon\left( x \right)\text{dx}} = \int_{0}^{l}{\frac{\text{γAx}}{\text{EA}}dx = \frac{\gamma l^{2}}{\text{EA}}}$ oznaczając γAl jako G $\Delta l = \frac{\text{GL}}{2EA}$’ wydłużene wywołane obciążenie a.termicznym ε_t = Δt * α_t→ Δl = Δt * α_t * l $\varepsilon = \frac{\sigma(x)}{E} + \Delta t*\alpha_{t}$ α_t- WSP. Proporcjonalności= WSP. Rozszerzalności liniowej ε_t− odkształcenia na skutek temperatury b. montażowym $\Delta l = \delta = \frac{\text{Nl}}{\text{EA}} \rightarrow N = \frac{\text{σA}}{l}\delta$ $\varepsilon = \frac{\delta}{l - \delta} = (\delta \ll ) \approx \frac{\delta}{l}$ Rówania geometryczne: zawierają zależności między przemieszczeniami końców pręta, a jego wydłużeniem. Δl = δ_kcosα_k oznacza to, że wydłużenie pręta jest równe rzutowi przemieszczenia jego końca na kierunek pręt

Zginanie (naprężenia normalne)
Zw. Geometryczne: $\varepsilon = \frac{- y}{\rho}$ odkształcenia włókna są wprost proporcjonalne do współrzędnej y (im dalej od warstwy obojętnej tym większe odkształcenia).
Zw. Fizyczne $\sigma = \sigma x = E\varepsilon = - \frac{E}{\rho}y$
W-ki równowagi: (1)∫_AσdA = N ≡ 0 (2) ∫_AzσdA = My ≡ 0 z oznacza naprężenia działające na ramieniu z; (3)∫_AyσdA = −Mz ≡ 0
(1)$\rightarrow \ - \int_{A}^{}{\frac{E}{\rho}y\ \text{dA}} = 0 \rightarrow \frac{E}{\rho}\int_{}^{}\text{ydA} = -$ $\frac{E}{\rho}Sz = 0$ oś z przechodzi przez środek ciężkości (ukł. jest centralny)
(2) )$\rightarrow \ - \int_{A}^{}{z\frac{E}{\rho}y\ \text{dA}} = 0 \rightarrow \frac{E}{\rho}\int_{}^{}\text{yzdA} =$ $- \frac{E}{\rho}Iyz = 0$ Iyz=0 oznacza, że mamy do czynienia ze zginaniem prostym ( czyli warstwa obojętna prostopadla do pł momentu zginającego) (3) )$\rightarrow \ - \int_{A}^{}{\frac{E}{\rho}y\ \text{dA}} = M \rightarrow \frac{E}{\rho}\int_{}^{}{y^{2}\text{dA}} =$ $\frac{E}{\rho}Iz = M \rightarrow \ \frac{1}{\rho} = - \frac{M}{\text{EJ}}$ $\sigma = - \frac{E}{\rho}y$ =$\frac{M}{\text{EJ}}E_{y} = \frac{M}{I}y \rightarrow \mathbf{\sigma =}\frac{\mathbf{M}}{\mathbf{I}}\mathbf{y}$ wzór na naprężenia normalne, które są proporcjonalne do współrzędnej y. σ_max ≤ kr naprężenia dopuszczalne na rozciąganie σ_min ≥ kc naprężenia dopuszczalne na ściskanie
Wyprowadzenie wzoru Żurawskiego$\sum_{}^{}{Pix = 0}$: $- \int_{A0}^{}{\tau\left( x \right)dA + \int_{A0}^{}{\sigma\left( x + \Delta x \right)dA - \tau\left( b \right)\Delta X = 0}/:\frac{1}{\text{Δx}}\ }$zakładamy, że ostatni składnik jest rozłożony równomiernie po grubości.bτ=$\int_{A0}^{}\frac{\sigma\lbrack\left( x + \Delta x \right) - \sigma(x)\rbrack}{\text{Δx}}dA = \int_{}^{}{\lbrack\frac{M\left( x + \Delta x \right)}{J}y - \frac{M\left( x \right)}{J}y\rbrack\frac{1}{\text{Δx}}}dA = \frac{1}{J}\int_{}^{}{\frac{M\left( x + \Delta x \right) - M(x)}{\text{Δx}}ydA =}\frac{1}{J}\frac{M\left( x + \Delta x \right) - M(x)}{\text{Δx}}\int_{}^{}{ydA = \left| \Delta x \rightarrow 0 \right|}$ b$b\tau = \frac{1}{J}\frac{\text{dM}}{\text{dx}}\int_{\text{Ao}}^{}\text{ydA} = \frac{T}{J}S_{z}^{0}$ $\frac{\text{dM}}{\text{dx}}$- siła poprzeczna, S_z⁰moment statyczny części Ao względem osi obojętnej. Ostatecznie $\tau = \frac{TS_{z}^{0}}{\text{Jb}}$

Związki geometryczne w przypadku ciała 3-wymiarowego: $\gamma_{\text{xz}} = \frac{\text{δx}}{\text{δz}} + \frac{\text{δz}}{\text{δx}}$; $\gamma_{\text{zy}} = \frac{\text{δz}}{\text{δy}} + \frac{\text{δy}}{\text{δz}}$;$\ \gamma_{\text{xy}} = \frac{\text{δu}}{\text{δy}} + \frac{\text{δv}}{\text{δx}}$; $\varepsilon_{x} = \frac{\text{δu}}{\text{δx}}$; $\varepsilon_{y} = \frac{\text{δv}}{\text{δy}}$; $\varepsilon_{z} = \frac{\text{δw}}{\text{δy}}$. Macierz odkształceń w punkcie to uporządkowany zbiór odkształceń liniowych i kątowych trzech włókien przechodzących przez ten punkt i równoległych do osi układu odniesienia. Stan gr i naprężenia dop Napisz warunki wytrzymałościowe stosowane w metodzie 1. naprężeń dopuszczalnych i 2. metodzie stanów granicznych 1. $\sigma_{\text{dop}} \leq \frac{\sigma_{\text{nieb}}}{n}$ σ_dop = {σ_pl- mat. Plastyczny, $R_{m} = \frac{\text{Fmax}}{A_{0}}$ mat kruchy} na rozciąganie: $\sigma_{\text{dop}} \leq \frac{\sigma_{\text{nieb}}}{n}$ ; na ściskanie ${|\sigma}_{\text{dop}}| \leq \frac{\sigma_{\text{nieb}}}{n}$ 2. $P_{\text{dop}} \leq \frac{P_{\text{nieb}}}{n}$ gdzie P_nieb = P_gr . Warunki: 1. Stan uplastycznienia następuje w plastycznej ilości prętów 2. stan przemieszczenia kinematycznie dopuszczalny 3.stan naprężenia statycznie dopuszczalny. Twierdzenie o wartości dolnej i górnej obciążenia granicznego. Tw1. Obciążenie graniczne układu jest większe lub co najwyżej równe obciążeniu odpowiadającemu statycznie dopuszczalnemu schematowi zniszczenia układu (schemat w którym spełnione są w-ki równowagi) P_gr ≥ P_st Tw2. Obciążenie graniczne układu jest mniejsze lub co najwyżej równe obciążeniu odpowiadającemu kinematycznie dop schem zniszczenia układu P_gr ≤ P_kin. Z Powyższych twierdzeń wynika P_st ≤ P_gr ≤ P_kin. Met wyzn obciążenia granicznego: *m. statyczna: stat dopuszczalne schematy zniszczenia spełniają w-ki 1 i 3. P_gr ≥ P_stⁱ → P_gr = sup_i(P_stⁱ) kres górny lub ekstremum jako wart gr. *m. kinematyczna: kinematycznie dop schematy zniszczenia spełniają w-ki 1 i 2. . P_gr ≤ P_stⁱ → P_gr = inf_i(P_kinⁱ) Metoda kinematyczna: kinematyczny schemat zniszczenia powinien być ukł. O jednym stopniu swobody; stan przemieszczenia układu powinien być zgodny z wiązami, a praca tych sił na przemieszczeniach ukł. była dodatnia (ujemna); obciążenia zew odpowiadające rozpatrywanemu schem. Należy obliczyc z równań równowagi ( lub stos zasadę pracy wirtualnej); obc gr. Jest najmniejszą wartością z wartości odpowiadających poszczególnym sch.zn

Charakterystyki figur geometrycznych Elementarne m. stat: ΔS_xi = y_iΔA_i ΔS_yi = x_iΔA_i Momenty statyczne to inaczej granica sum momentów elementarnych: $S_{x} = \operatorname{}{\sum_{i = 1}^{n}{\Delta S_{\text{xi}} =}}\operatorname{}{\sum_{i = 1}^{n}{y_{i}\Delta A_{i}} = \iint_{A}^{}{ydxdy = \int_{A}^{}\text{ydA}}}$ analog dla Sy. Moment bezwładności i dewiacyjny f. pł Elementarne momenty bezwł i dew:ΔJ_xi = y_i²ΔA_i ΔJ_yi = x_i²ΔA_i ΔJ_xiyi = x_iy_iΔA_i Mom bezwład, moment dew: J_x = ∬_Ay²dA (>0) J_xy = ∬_AxydA (>=<0) $\ J_{x} = \operatorname{}{\sum_{i = 1}^{n}{\Delta J_{\text{xi}} =}}\operatorname{}{\sum_{i = 1}^{n}{y_{i}^{2}\Delta A_{i}} = \iint_{A}^{}{y^{2}dxdy = \int_{A}^{}{y^{2}\text{dA}}}}$ Analogicznie dla Jy M dewiacyjny $J_{\text{xy}} = \operatorname{}{\sum_{i = 1}^{n}{\Delta Jxy =}}\operatorname{}{\sum_{i = 1}^{n}{y_{i}x_{i}\Delta A_{i}} = \iint_{A}^{}{xydxdy = \int_{A}^{}{x\text{ydA}}}}$
Biegunowy moment bezwładności: $J_{0} = \operatorname{}{\sum_{i = 1}^{n}{\Delta J_{0i} =}}\operatorname{}{\sum_{i = 1}^{n}{\rho_{i}^{2}\Delta A_{i}} = \iint_{A}^{}{\rho^{2}dxdy = \int_{A}^{}{\rho^{2}\text{dA}}}}$ ρ_i² = x_i² + y_i² J₀ = ∬_Aρ²dxdy = ∫_Aρ²dA = ∫x_i² + y_i²)dA=∫_Ay²dA + ∫_Ax²dA = J_x + J_y Tw. Steinera
Obliczam momenty bezwł i dew danej fig względem nowych osi (X1,Y1) przesuniętych o a i b względem (X, Y) ponieważ: J_x1= ∬_Ay²dA = ∬_A(y + b)²dA= ∬_A(y² + 2by + b²)dA = J_x + 2bS_x + b²A
J_y1= ∬_Ax²dA = ∬_A(x + a)²dA= ∬_A(x² + 2ax + a²)dA = Jy + 2aS_y + a²A
J_x1y1= ∬_Ax1y1dA = ∬_A(y+b)(x + a)dA=J_xy + aS_x + bS_y + abA
Jeśli stare osie X,Y są osiami centralnymi to S_x = 0 i S_y = 0 i otrzymujemy wzory stanowiące treść twierdzenia Steinera: I_x1 = J_xc + b²A; I_y1 = J_yc + a²A I_x1yj = J_xcyc + abA