warunki brzegowe

niezbędne uzupełnienie równania różniczkowego (układu równań różniczkowych) (por. zagadnienie brzegowe): definiują jednoznacznie rozwiązanie (całkę) spośród klasy możliwych rozwiązań (określonych z dokładnością do stałych, poprzez jednoznaczne określenie tych stałych całkowania)

stopień swobody

niezależny parametr opisujący ruch układu

obciążenia

obciążenie dopuszczalne

wielkość krańcowa obciążenia pomniejszona zastosowaniem współczynnika bezpieczeństwa

obciążenie fikcyjne

obciążenie belki fikcyjnej, wynikające z analogii Mohra: moment zginający belki rzeczywistej podzielony przez sztywność zginania

obciążenie okresowo zmienne

(cykliczne) obciążenie szybkozmienne, powtarzalne: niskocyklowe (do 10⁴ cykli) i wysokocyklowe

obciążenie ruchome

obciążenie zmieniające położenie (na belce)

siła wewnętrzna

(w punkcie), siła wypadkowa, z jaką cząstki odrzuconej części układu działają na wybrany punkt przekroju (zakłada się oddziaływania typu kulombowskiego: układ sił redukuje się do wypadkowej); siła wewnętrzna jest funkcją wektorową wektora wodzącego punktu i wersora normalnej zewnętrznej płaszczyzny przekroju

równania Hooke'a

równania fizyczne materiału liniowo sprężystego:
(1. postać):   ε_ij = [(1 + ν) σ_ij − ν σ_kk δ_ij] / E,
(2. postać):   σ_ij = 2G ε_ij + λ ε_kk δ_ij,
(3. postać):   σ_ij - σ_mδ_ij = 2G (ε_ij - ε_mδ_ij)   (prawo zmiany postaci)
                       σ_m = 3 K ε_m   (prawo zmiany objętości)

prawo zmiany objętości

jedna z postaci prawa Hooke'a: związek pomiędzy aksjatorami naprężenia i odkształcenia (jedno równanie): A_σ = 3K A _ε, K - moduł ściśliwości objętościowej

prawo zmiany postaci

jedna z postaci prawa Hooke'a: związek pomiędzy dewiatorami naprężenia i odkształcenia (5 niezależnych równań): D_σ = 2G D_ε, G - moduł odkształcenia postaciowego

warunki równoważności układów sił zewnętrznych i wewnętrznych

układ sił wewnętrznych przypisany jednej z części układu jest równoważny układowi sił zewnętrznych przyłożonych do odciętej, drugiej części:
(W_I) ≡ (Z_II)
dwa z nich są szczególnie często wykorzystywane:
dla siły podłużnej: N = ∫∫σ_x dF
dla momentu zginającego: M_y = ∫∫σ_x z dF
w.r. obowiązują niezależnie od stanu mechanicznego materiału (zarówno w zakresie sprężystym jak i poza nim)

zasada de Saint-Venanta

jeżeli na niewielkiej części brzegu obciążenie rzeczywiste zastąpimy statycznie równoważnym, to w dostatecznie dużej odległości stan naprężenia, odkształcenia i przemieszczenia będzie się różnił dowolnie mało od rzeczywistego; zasada nie akceptowana w teorii sprężystości

naprężenie

gęstość sił wewnętrznych przy przekroju płaszczyzną o normalnej zewnętrznej równoległej do osi układu współrzędnych; takich płaszczyzn przekrojów może być w punkcie 6 (po 2 na każdy kierunek, różniące się zwrotem); na każdej płaszczyźnie przekroju występuje wektor naprężenia o 3 składowych, które transformują się zgodnie z prawem transformacji tensorowej, są więc składowymi tensora naprężenia; tensor naprężenia jest symetryczny; wymiar naprężenia: Pa, z reguły w technice: MPa

naprężenie efektywne

naprężenie rzeczywiste, określone z uwzględnieniem odkształcenia i/lub mikroszkodzeń materiału

naprężenie krytyczne

naprężenia ściskania odpowiadające sile krytycznej

naprężenie normalne

składowa normalna wektora naprężenia (oba indeksy są takie same, wobec czego najczęściej w zapisie pojawia się tylko jeden indeks)

naprężenie oktaedryczne

wektor naprężenia dla przekroju jednakowo nachylonego względem kierunków głównych; składowa normalna wektora na płaszczyźnie oktaedrycznej jest równa naprężeniu średniemu i jest niezmiennikiem, podobnie jak składowa styczna (używana w warunku plastyczności)

naprężenie pozorne

(umowne, nominalne) naprężenie odniesione do przekroju pierwotnego (próbki w statycznej próbie rozciągania, przed obciążeniem) albo przekroju ("netto") w okolicy karbu

naprężenie styczne

każda z 2 składowych stycznych wektora naprężenia (o kierunku równoległym do osi układu współrzędnych); w p.s.n. na brzegu nieobciążonym kierunek wypadkowego naprężenia stycznego jest styczny do brzegu

naprężenie średnie

1. średnie naprężenie normalne, σ_m = σ_kk / 3; trzecia część pierwszego niezmiennika (podstawowego) tensora naprężenia

2. średnia wartość naprężenia w cyklu

naprężenie wstępne

(montażowe) naprężenie (w konstrukcjach statycznie niewyznaczalnych) wywołane bez udziału zasadniczych obciążeń, np.spowodowane niedokładościami wykonawczymi lub zmianą temperatury

naprężenie zredukowane

naprężenie w jednosiowym stanie naprężenia, odpowiadające złożonemu stanowi naprężenia; wartość uzyskiwana z porównania miar wytężenia obu przypadków

odkształcenia plastyczne

odkształcenia trwałe; przeciwieństwo odkształceń sprężystych, znikających po zdjęciu obciążenia (po odciążeniu)

odkształcenie

ogólnie: zmiana konfiguracji pierwotnej materiału; istnieje wiele miar odkształcenia; miarą wykorzystywaną w wytrzymałości materiałów jest tensor odkształceń infinitezymalnych Cauchy'ego: jest on linearyzacją tensorów odkształcenia Lagrange'a (we współrzędnych materialnych) i Eulera (we współrzędnych przestrzennych) przy utożsamieniu konfiguracji aktualnej z pierwotną (interpretacja jego składowych: patrz odkształcenie liniowe i kątowe)

odkształcenie kątowe

(postaciowe) połowa zmiany kąta prostego, wyznaczonego kierunkami 2 osi układu współrzędnych

odkształcenie liniowe

wydłużenie (skrócenie) względne: względna zmiana długości odcinka o kierunku równoległym do osi układu współrzędnych

odkztałcenie oktaedryczne

odkształcenie liniowe i kątowe w przekroju jednakowo nachylonym względem kierunków głównych; odkztałcenie liniowe jest równe odkształceniu średniemu i jest niezmiennikiem, podobnie jak odkształcenie kątowe

odkształcenie średnie

średnie odkształcenie liniowe, ε_m = ε_kk / 3; trzecia część pierwszego niezmiennika (podstawowego) tensora odkształcenia

koła Mohra

graficzne przedstawienie naprężenia w układzie |τ|(σ); 3 koła o środkach wyznaczonych przez średnie z kolejnych dwóch naprężeń głównych i promieniach równych ekstremalnym naprężeniom stycznym, ich przecięcie z osią σ określa naprężenia główne; obszar zawarty między wielkim a małymi okręgami stanowi obszar możliwych rozwiązań (składowych stycznej i normalnej wektora naprężenia) dla transformacji przez obrót

wspornik

pręt utwierdzony na jednym końcu

odciążenie

zmniejszenie obciążenia czy naprężenia (przy sterowaniu siłą) albo odkształcenia (przy sterowaniu kinematycznym, przemieszczeniowym); por. statyczna próba rozciągania

moment bezwładności

całka z kwadratu współrzędnej po polu przekroju; najczęściej używany główny centralny moment bezwładności, obliczany względem osi głównej centralnej

moment bezwładności na skręcanie

iloraz momentu skręcającego przez moduł odkształcenia postaciowego i jednostkowy kąt skręcenia

moment statyczny

całka ze współrzędnej po polu przekroju

twierdzenie Steinera

(o transformacji momentów statycznych i bezwładności dla translacji układu współrzędnych osi centralnych y, z):
moment statyczny: S_y' = S_y + d_z F
moment bezwładności: I_y' = I_y + d_z² F,    I_y'z' = I_yz + d_y d_z F
(uwaga: we wzorach Steinera zawsze jedna z osi musi być centralna)

ściskanie

układ sił przekrojowych redukuje się do siły ściskającej (patrz: siła podłużna); dla prętów krępych stosuje się rozwiązanie rozciągania z odpowiednią zmianą znaków; dla prętów smukłych należy sprawdzić stateczność

rozciąganie (czyste)

prosty pręt pryzmatyczny, utwierdzony w jednym punkcie na osi, obciążony na denkach obciążeniem powierzchniowym o stałej intensywności, o kierunku i zwrocie zgodnym z normalną zewnętrzną; możliwe jest uzyskanie ścisłego rozwiązania analitycznego odpowiedniego zagadnienia brzegowego liniowej teorii sprężystości (stąd nazwa czyste rozciąganie, rozwiązanie wykorzystuje się do rozwiązania rozciągania prostego dokonuje się na podstawie zasady de Saint-Venanta); stan naprężenia jest jednorodny i jednoosiowy (w przekroju poprzecznym wyłącznie naprężenia normalne); stan odkształcenia jest jednorodny, trójosiowy (patrz: liczba Poissona); wydłużenie pręta jest proporcjonalne do siły podłużnej, długości pręta a odwrotnie proporcjonalne do sztywności na rozciąganie

Układy statycznie wyznaczalne charakteryzują się tym, że siły wewnętrzne występujące w poszczególnych elementach tych układów mogą być wyznaczone z równań równowagi.

Obliczenia wytrzymałościowe elementu rozciąganego lub ściskanego wykonuje się w celu sprawdzenia czy są spełnione warunki wytrzymałościowe

                 


gdzie P - siła rozciągająca (ściskająca), A - pole przekroju poprzecznego elementu rozciąganego (ściskanego), k_r - naprężenie dopuszczalne przy rozciąganiu, k_c - naprężenie dopuszczalne przy ściskaniu.

Naprężenie dopuszczalne na rozciąganie i ściskanie k_r  i k_c

                 


gdzie R_c, R_m, R_e - wytrzymałość na ściskanie i rozciąganie, n - współczynnik bezpieczeństwa.

Często spełnienie powyższych warunków wytrzymałościowych  nie wystarcza do właściwego zaprojektowania konstrukcji. Z tego względu musi być jeszcze spełniony warunek sztywności

                 


Według tego warunku odkształcenie lub przemieszczenie punktów projektowanego elementu nie powinno przekroczyć wartości odkształcenia lub przemieszczenia, przyjętego dla danej konstrukcji jako dopuszczalne.

nośność graniczna

obciążenie powodujące wyczerpanie możliwości pracy konstrukcji bądź jej elementu

nośność plastyczna

obciążenie (przekroju albo konstrukcji) powodujące pojawienie się jakiegoś schematu zniszczenia (np. powstanie przegubu plastycznego w przekroju pręta, zamianę konstrukcji w mechanizm kinematyczny) czyli możliwości wystąpienia przyrostów odkształceń bez przyrostu obciążeń

nośność sprężysta

obciążenie powodujące wyczerpanie możliwości pracy w zakresie sprężystym czyli osiągnięcie naprężenia równego granicy plastyczności (uplastycznienie pierwszych włókien); może być definiowane dla siły przekrojowej albo obciążenia konstrukcji

zginanie (czyste)

obciążenie pręta pryzmatycznego obciążeniem powierzchniowym przyłożonym do denek pręta, liniowo zmiennym (po wysokości przekroju), redukującym się do momentu zginającego, równoległego do głównej centralnej osi bezwładności; zagadnienie brzegowe teorii sprężystości daje się rozwiązać ściśle (stąd nazwa: czyste), patrz: twierdzenie o płaskich przekrojach

zginanie poprzeczne

obciążenie pręta pryzmatycznego obciążeniem powierzchniowym na pobocznicy pręta, redukującym się do (zmiennego po osi) momentu zginającego i siły poprzecznej; rozwiązanie przybliżone z zastosowaniem hipotezy płaskich przekrojów (Bernoulliego)

zginanie proste

układ sił przekrojowych redukuje się do momentu zginającego, działającego równolegle do głównej centralnej osi bezwładności; na podstawie zasady de Saint-Venanta przyjmuje się rozwiązanie jak dla zginania czystego

zginanie ukośne

układ sił przekrojowych redukuje się do momentu zginającego nie równoległego do głównej centralnej osi bezwładności; superpozycja prostego zginania względem obu osi głównych centralnych

zginanie ze ściskaniem

przypadek geometrycznie nieliniowy; konieczne odstępstwo od zasady zesztywnienia; zasada superpozycji, z uwagi na interakcję obciążeń dotyczy jedynie sumowania wyników od poszczególnych obciążeń działających łącznie z siłą podłużną (a i to w niewielkim zakresie siły ściskającej)

wektor naprężenia

wektor gęstości sił wewnętrznych na płaszczyźnie cięcia równoległej do osi układu współrzędnych; ma składową normalną i styczną (która jest z kolei rozkładana na składowe o kierunkach równoległych do osi)

płaski stan naprężenia

stan, w którym współrzędne w jednym wierszu i jednej kolumnie (symetrycznego) tensora naprężenia są równe zero; najczęściej nie odpowiada mu jednocześnie płaski stan odkształcenia; przykład: tarcza

płaski stan odkształcenia

stan, w którym współrzędne w jednym wierszu i jednej kolumnie (symetrycznego) tensora odkształcenia są równe zero; najczęściej nie odpowiada mu jednocześnie płaski stan naprężenia; przykład: ława fundamentowa

W wyniku skręcania pręta w jego przekrojach występują tylko naprężenia styczne. Naprężenia styczne podczas skręcania zmieniają się proporcjonalnie do ich odległości od środka przekroju.

       


Na zewnętrznej powierzchni elementu skręcanego naprężenia są największe, i wynosi

                 


gdzie Io - biegunowy moment przekroju względem środka tego przekroju, Ms - moment skręcający, r - odległość od warstwy zewnętrznej pręta.

Stosunek biegunowego momentu bezwładności do promienia przekroju kołowego nazywamy wskaźnikiem wytrzymałości przekroju na skręcanie.

                 


Obliczenia prętów poddanych skręcaniu sprowadzają się do warunku wytrzymałościowego i warunku sztywności.

Maksymalne naprężenia styczne w przekroju poprzecznym określamy ze wzoru

                 


gdzie ks - naprężenie dopuszczalne przy skręcaniu ks = (0,5 ÷ 0,6)kr, Wo = 0,2 d3 (dla pręta o przekroju kołowym o średnicy d).

Drugi warunek sprowadza się do określenia wartości kąta skręcenia j pręta i porównania tej wartości z wartością dopuszczalnego kąta skręcenia jdop.

                 


gdzie l - długość pręta, G - moduł sprężystości postaciowej materiału

przemieszczenie

(punktu) różnica między położeniem w konfiguracji końcowej i pierwotnej; obrazem jest wektor przemieszczenia

przemieszczenie możliwe

(punktu) wektor łączący dwa możliwe położenia punktu; zależy jedynie od więzów i nie musi być przemieszczeniem rzeczywistym punktu

przemieszczenie wirtualne

(przygotowane, pomyślane)(punktu) wektor współliniowy z prędkością wirtualną punktu (wynikającą z więzów układu)

granica plastyczności

naprężenie (pozorne), przy którym pojawiają się pierwsze odkształcenia plastyczne; dla materiału z wyraźną granicą plastyczności jest to naprężenie odpowiadające plateau płynięcia; dla materiału nie wykazującego wyraźnej granicy plastyczności jest to wielkość umowna; por. statyczna próba rozciągania

---