• Wartość pieniądza a czas: procent, odsetki

• Przyszła wartość kapitału: oprocentowanie, oprocentowanie proste i składane. Modele akumulacji kapitału przy śródrocznej kapitalizacji, modele akumulacji kapitału w przedziale czasowym zawierającym ułamkową część okresu, modele akumulacji kapitału przy zmiennej stopie procentowej.

• Podstawowe stopy procentowe: pojęcie, rodzaje, stopa zwrotu.

• Bieżąca wartość kapitału: dyskontowanie,

• Wycena instrumentów dłużnych: metodą zdyskontowanych przepływów pieniężnych.

• Rachunek rent.

• Kredyty: schematy spłaty, koszt kredytu, rzeczywista stopa procentowa kredytu.

• Składki jednorazowe netto i składki bieżące w ubezpieczeniach na życie.

• Ocena projektów inwestycyjnych.

Literatura:

• J. J. Kozubski: Matematyczne modelowanie wybranych procesów finansowych, Wydawnictwo UG, Gdańsk 1998;

• M. Podgórska: Matematyka finansowa, Wydawnictwo naukowe PWN 2009;

• M. Sobczyk: Matematyka finansowa, Wydawnictwo Placet, Warszawa 2003;

• K. Bednarz: Finanse dla niefinansistów. Zmienna wartość pieniądza w czasie. Wydawnictwo C.H. Beck, Warszawa 2010.

• M. Matołka, J. Światłowski: Matematyka finansowa i funkcje finansowe arkusza kalkulacyjnego, Wydawnictwo Wyższej Szkoły Bankowej, Poznań 2003;

WARTOŚĆ PIENIĄDZA CZAS, OPROCENTOWANIE 13.10.2014

Czym zajmuje się matematyka finansowa?

• Zbiór zastosowań matematyki w operacjach finansowych.

Czynniki skorelowane ze zmianą wartości pieniądza w czasie:

• Inflacja

• Ryzyko

• Preferowanie konsumpcji bieżącej nad konsumpcją przyszłą

• Możliwość inwestowania

ODSETKI:

Definicja ekonomiczna:

Odsetki to kwota płacona za użytkowanie wypożyczonego kapitału pieniężnego w ciągu pewnego czasu.

Definicja 2:

Odsetkami (O) uzyskanymi z kwoty K za dany okres przy okresowej stopie procentowej p nazywamy kwotę:

$$O = \ \frac{p}{100}*K = r*K$$

Gdzie:

p – okresowa stopa procentowa

r – jednostkowa okresowa stopa procentowa $r = \frac{p}{100}$

Przykład 2:

Obliczyć wysokość należnych odsetek za okres dwóch lat jeżeli wysokość wkładu bankowego jest równa K=1000zł, zaś roczna stopa procentowa wynosi 5%.

Dane:

K = 1000zł K,p=[%] r=$\frac{p}{100}$ R=0,05

O = r*K+r*K= 2*0,05*1000=100zł

Odsetki śródokresowe:

Przy danej okresowej stopie procentowej p to jednostki za ten okres są równe:

$$O = \ \frac{1}{i}*\frac{p}{100}*K = \frac{1}{i}*r*K$$

i – liczba naturalna dzieląca okres na śródokresy (kwartał: i=4, połowa roku: i=2, dzień: i=360).

Przykład 3

Obliczyć wysokość należnych odsetek za okres dwóch miesięcy, jeżeli wysokość wkładu bankowego K=1000zł, zaś roczna stopa procentowa wynosi 5%

$$O = \frac{1}{6}*0,05*1000 = \frac{50}{6}$$

Przykład 4:

Wyznaczyć czasy trwania depozytów bankowych:

a) od 10 marca do 15 lipca

b) od 23 lipca do 10listopada

Oraz obliczyć wartość odsetek dla obu depozytów przy rocznej stopie procentowej p=5% i początkowym kapitale K=1000zł

15|07

10|03

5 + 4 * 30 = 125

$$a)\ O = 1000*0,05*125*\frac{1}{360}$$

$$b)\ O = 1000*0,05*107*\frac{1}{360}$$

OPROCENTOWANIE:

• Zasada „pomnażania wartości kapitału z upływem czasu”

• Zasada „produktywności kapitału”

Symbole podstawowe:

• K₀ – kapitał początkowy

• O – odsetki

• K_n – Kapitał końcowy

K_n = K₀+O

• P – okresowa stopa procentowa

• R = jednostkowa okresowa stopa procentowa

Definicja 1.1

Stopą procentową nazywamy stosunek odsetek do wartości początkowej kapitału:

$$r = \ \frac{O}{\text{Ko}} = \frac{Kn - Ko}{\text{Ko}}$$

Definicja 1.5

Oprocentowanie jest czynnością okresową polegającą na dodawaniu odsetek od kapitału do tego kapitału.

OPROCENTOWANIE PROSTE

Definicja 2.1

Oprocentowanie proste polega na tym, że odsetki uzyskane w okresach poprzednich nie podlegają oprocentowaniu w okresie następnym a są jedynie dodawane do kapitału.

Twierdzenie 2.1

Model obrazujący wielkość kapitału przyszłego K_n uzyskanego z kapitału bieżącego K_o, po n okresach, przy jednostkowej okresowej stopie procentowej r i okresowym oprocentowaniu ma postać:

 Kn^(p) = K_o * (1 + nr)

OPROCENTOWANIE SKŁADANE (KAPITALIZAJA)

Definicja 3.1

Oprocentowanie składane (kapitalizacja okresowa) polega na tym, że odsetki z poprzedniego okresu są doliczane do kapitału i wraz z nim podlegają oprocentowaniu w okresie następnym.

Twierdzenie 3.1

Model obrazujący wielkość kapitału przyszłego Kn^(s), po n okresach, przy jednostkowej okresowej stopie procentowej r i okresowym oprocentowaniu składanym ma postać:

K_n^(s) = K_o * (1 + r)ⁿ

Przykład 4. Deponujemy w banku 2000 zł na okres 3 lat przy następujących warunkach depozytu:

• Roczna stopa procentowa wynosi 20%;

• Odsetki naliczane są za każdy roczny okres od stanu konta na koniec poprzedniego okresu i dopisywane do kwoty depozytu na koniec każdego roku;

• W przypadku zerwania umowy depozytu przed upływem trzech lat bank wypłaca kwotę depozytu wraz z odsetkami dopisanymi przed momentem zerwania umowy depozytu.

2400	2880	2454
2000	2000	2000

Czas w okresach rocznych

Własności oprocentowania składanego:

• Ciąg

  • Geometryczny: pierwszy wyraz ciągu : A_o = K_o

Iloraz : q = 1 + r 

• Jaka jest relacja pomiędzy : K^pn  ?  K^sn

K^pn   =  K^sn                     n = 1

K^pn   <   K^sn                    n > 1

Model akumulacji kapitału przy śródokresowej kapitalizacji przybiera postać:

$$K^{s}n\ = \ K_{o}*{(1 + \frac{r}{i})}^{\text{ni}}$$

Oprocentowanie proste i śródokresowe naliczanie odsetek

Dokonując oprocentowania składanego:

• Okresowego przy jednostkowej stopie procentowej r

• Śródokresowego przy okresowej stopie procentowej $\frac{r}{i}$, (gdzie i jest liczbą naturalną dzielącą okres na śródokresy)

Otrzymujemy po upływie n okresów większy lub równy efekt końcowy w drugim przypadku

K^sn  ≪  K^pn

Przykład 5.

Wyznacz przyszłą wartość 100zł po dwóch latach przy oprocentowaniu składanym o rocznej stopie procentowej równej 20% dla rocznych, półrocznych i kwartalnych okresów oprocentowania.

K_o=100 zl

r^o=0, 2

K_n=100(1 + 0, 2)²=122, 10

$$\mathbf{K}_{\mathbf{n}}\mathbf{= 100}\left( \mathbf{1 +}\frac{\mathbf{0,2}}{\mathbf{2}} \right)^{\mathbf{4}}\mathbf{= 149,18}$$

$$\mathbf{K}_{\mathbf{n}}\mathbf{= 100\ }{\mathbf{(1 +}\frac{\mathbf{0,2}}{\mathbf{4}}\mathbf{)}}^{\mathbf{8}}\mathbf{= 147,74}$$

Kapitalizacja ciągła

Model akumulacji kapitału przy kapitalizacji ciągłej ( i -> ∞ ), przybiera postać:

K_∞n⁽⁸⁾ =  K_o * e^nr

Oprocentowanie okresowo podziałowe to oprocentowanie okresowe przy danej okresowej stopie procentowej i założeniu, że czas trwania depozytu jest wielokrotnością okresu oprocentowania części tego okresu.

Twierdzenie

Model akumulacji powstały przy zastosowaniu kapitalizacji okresowo-przedziałowej ma postać:

K_n + a = K_o * (1+r)ⁿ * (1+ar)                  o < a < 1   n ∈ N

a = kapitałowa część okresu n

Przykład 6.

Kapitał początkowy wynosi 1000zł. Wyznaczyć kapitał końcowy dla rocznej stopy procentowej r=0,2 i kapitalizacji roczno przedziałowej w okresie 40 miesięcy.

K_o=1000

r = 0, 2

$$\mathbf{K}_{\mathbf{n}}\mathbf{= 1000*}\left( \mathbf{1 + 0,2} \right)^{\mathbf{3}}\mathbf{*}\left( \mathbf{\ 1 +}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{12}}\mathbf{*0,2} \right)\mathbf{= 1843,2}$$

Dyskonto 11 XII 2014

Dyskontem nazywa się różnicę pomiędzy wartością przyszłą a bieżącą.

D =  K_n * K_o

Dyskontowanie to technika rachunkowa sprowadzająca, przy danej stopie dyskontowej, wartości przyszłe kapitału do wartości bieżącej w celu ich porównania.

Dyskonto proste:

Dyskonto proste jest równe kwocie odsetek naliczanych zgodnie z zasadami oprocentowania prostego za n lat przy stopie r.

D = 0

0 = odsetki

Dyskonto składane:

Zdyskontowana wartość kapitału początkowego przy oprocentowaniu składanym, po n latach i minimalnej stopie procentowej r wynosi:

$$K_{o} = \frac{K_{n}}{{(1 + r)}^{n}}$$

W przypadku kapitalizacji śródokresowej, wzór ten przyjmuje postać:

$$K_{o} = \frac{K_{n}}{\left( 1 + \frac{r}{i} \right)^{n*i}}$$

Twierdzenie 1:

Wartość bieżąca powstała z sum wartości zdyskontowanych K_t (t=1,…,n) następujących po okresie bieżącym, przy danej jednostkowej stopie dyskontowej d, wyraża się wzorem.

$$K_{n}^{\left( o \right)} = \frac{K_{1}}{1 + d} + \ \frac{K_{2}}{\left( 1 + d \right)^{2}} + \ldots + \frac{K_{n}}{\left( 1 + d \right)^{n}}$$

Jeżeli mamy zdyskontować kapitał w przedziale czasowym będącym częścią okresu ( przy stopie dyskontowej d) czynnik dyskontujący przyjmuje postać:

$$\frac{1}{1 + a*d}$$

Przykład 1:

Pan Kowalski otrzymał ofertę zakupu pięcioletniej bonu depozytowego przynoszącego dochodów:

• Po pierwszym roku 5 j.p.

• Po drugim roku 4 j.p.

• Po trzecim roku 3 j.p.

• Po czwartym roku 2 j.p.

• Po piątym roku 1 j.p.

Przy jakiej cenie nominalnej pan Kowalski zdecyduje się na zakup bonu, jeżeli znana jest mu roczna stopa dyskontowa d=25% ?

$$K_{n} = \frac{5}{(1 + 0,25)} + \frac{4}{{(1 + 0,25)}^{2}} + \frac{3}{{(1 + 0,25)}^{3}} + \frac{2}{{(1 + 0,25)}^{4}} + \frac{1}{{(1 + 0,25)}^{5}}$$

K_n = 9, 24

Przykład 2:

Panu Nowakowi złożono ofertę zakupu rocznego bonu depozytowego przynoszącego dwóch kolejnych okresach. Po pierwszych pięciu miesiącach dochód wynosi 1 j.p., a po siedmiu następnych 2 j.p. Przy jakiej cenie nominalnej Pan Nowak zdecyduje się na zakup bonu, jeżeli znana jest mu roczna stopa dyskontowa d=25% przy kapitalizacji rocznej?

$$K_{o} = \frac{1}{1 + \frac{5}{12}*0,25} + \ \frac{2}{1,25}$$

K_o = 2, 51

Wycena papieru wartościowego polega na zdyskontowaniu osiąganych w przyszłości wpływów z posiadanego papieru, do okresu bieżącego.

Weksle 11 XII 2014

Co można zrobić z wekslem?

• Zatrzymać do terminu zapłaty,

• Zapłacić za towar lub usługę,

• Oddać w zastaw,

• Złożyć w banku do dyskonta:

  • Wartość nominalna weksla K_n

  • Odsetki dyskontowe D_h

  • Wartość aktualna weksla K_a = K_n - D_h

D_h – dyskonto handlowe

Odsetki dyskontowe, dyskonto handlowe

Wartość dyskonta handlowego wyraża się wzorem:

D_H=K_n * d * n

Dla czasu wykorzystania kapitału mierzonego w dniach:

D_H=K_n*d* t/360

( t- liczba dni od przyjęcia weksla do dyskonta do dnia jego płatności)

Przykład 3:

Za sprzedane towary o wartości aktualnej 4000 zł. Hurtownia przyjęła weksel płynny za 15 dni. W dniu zakupu stopa dyskontowa wynosiła 17%. Oblicz wartość nominalną weksla.

K_a = K_n − D_H

$$K_{a} = K_{n}*d\frac{t}{360}$$

$$K_{a} = K_{n}\left( 1 - d\frac{t}{360} \right)$$

$$K_{n} = \frac{K_{a}}{1 - d\frac{t}{360}} = \ \frac{4000}{1 + 0,17*\frac{15}{360}}$$

K_n = 4028

Przykład 4:

Wystawca weksla o sumie wekslowej 5000zł na 20 dni przed jego wykupem wystąpił o przedłużenie terminu płatności o dalsze 30 dni. Jaka powinna być wartość weksla odnowionego jeśli roczna stopa dyskontowa wynosi 17%

$$K_{n} = \frac{5000(1 + \frac{0,17*20}{360})}{1 - \ \frac{0,17*50}{360}}$$

Dyskonto i cena zakupu bonów:

Dyskonto i stopa dyskontowa:

D =  K_n − K_z

$$D = \ K_{n}*d*\frac{t}{360}$$

$$d = \ \frac{D}{K_{n}}*\frac{360}{t}$$

Cena zakupu:

$$K_{z} = K_{n}\left( 1 - \frac{d*t}{360} \right)$$

Rentowność bonów skarbowych:

$$r = \frac{K_{n} - K_{o}}{K_{o}}*\frac{360}{t}$$